Equation d'une tangente passant par l'origine à une exponentielle

Tonton René · 20-02-2016 16:18:47

Bonjour
Je ne parviens pas à trouver l'équation de la tangente passant par l'origine à la courbe de la fonction y = e ^{- cos x}
J'essayais de résoudre l'équation au point de tangence en écrivant l'égalité a x = e ^{- cos x} mais sans y parvenir

Grace à Geogebra j'ai trouvé que l'équation de cette droite était y = 0,5826 x ( 0,5826 étant e ^{- cos x} ) mais je ne parviens pas à le démontrer

Merci d'avance à la personne qui pourra m'aider

yoshi · 20-02-2016 17:25:46

Bonjour,

Bienvenue à bord...

Soit je n'ai rien compris à ce que tu veux, soit tu t'es trompé...
La dérivée de [tex]e^u[/tex] est [tex]u'e^u[/tex]
Donc [tex]\left(e^{-\cos x}\right)' = (-\cos x)'e^{-\cos x}=\sin x\times e^{-\cos x}[/tex] où [tex]u =-\cos x[/tex]

Le coefficient directeur de la tangente en un point d'une courbe est la valeur de la dérivée en ce point.
Tu demandes tangente à l'origine : donc pour x = 0.

Alors [tex]m = \sin(0)e^{-\cos(0)}=0[/tex] ta tangente est horizontale...
[tex]e^{-\cos(0)}=e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0.3678794...[/tex]
L'équation est donc [tex]y=\frac{1}{e}[/tex]
Ta courbe :

Je m'absente 2 h

@+

yoshi · 20-02-2016 19:22:03

Re,

C'est bon, ça y est j'ai compris ce que tu veux... Va falloir que j'apprenne à lire !
Je m'y mets tout de suite.

@+

yoshi · 20-02-2016 21:06:25

Bonsoir,

J'ai lancé Geogebra pour voir...
Je trouve un coeff dir compris entre 0.57 et 0.58 et plus près de 0.58 que de 0.57.
Je ne suis arrivé à avoir un incrément plus fin que 0.01 et surtout le voir... Pas trouvé.

Bon, je vais tenter quelque chose que je n'aime pas trop, parce que je me demande si j'ai bien le droit de faire ça...
J'ai eu dans l'idée comme toi de chercher x pour que [tex]ax=e^{-\cos x}[/tex]
Sauf que a c'est la valeur de la dérivée pour l'abscisse du point de tangence.
Je vais donc le faire en 2 fois, je vais chercher x puis en déduire a.
J'ai donc à résoudre [tex]\sin x\times e^{-\cos x}\times x = e^{-\cos x}[/tex]
Je simplifie par [tex]e^{-\cos x}[/tex] qui n'est jamais nul...
Et j'ai quelque chose d'un peu plus sympathique :
[tex]x\sin x = 1[/tex]
dont je ne sais pas trouver une solution exacte, seulement approchée :
[tex]x\approx\pm 1,11415714087193...[/tex]
qui me donne : [tex]a \pm 0.5775083769429213...[/tex]

J'attends de voir des explications théoriques de ceux qui sont plus forts que moi.

@+

freddy · 21-02-2016 08:34:45

Salut,

sans m'estimer plus fort que toi (comparaison n'est pas raison) , je crois que tu as tout bien résumé : on cherche une droite passant par l'origine, donc de la forme [tex]y=ax[/tex] qui intersecte ET tangente la courbe d'équation [tex]y=e^{-\cos x}[/tex].
Donc on cherche [tex]x_0[/tex] tel que [tex]\begin{cases} ax_0=e^{-\cos x_0} \\ a=\sin x_0 e^{-\cos x_0} \end{cases}[/tex]

Ensuite, c'est du ressort du calcul numérique et d'une méthode de calcul du zéro d'une fonction (dichotomie, Newton, ... ) (théoriquement, il y a la dessous un peu de topologie et un théorème de point fixe qui assure qu'une solution existe bien).

Dernière modification par freddy (21-02-2016 22:36:20)

yoshi · 21-02-2016 08:56:51

Salut l'ami;

Ça me plaît mieux avec [tex]x_0[/tex] au lieu de [tex]x[/tex].
A quoi, ça tient, hein...

Merci

@+

camille23 · 21-02-2016 12:24:04

Bonjour,

il existe une autre valeur : [tex]a_2 \pm 0.916590598763879...[/tex] dans une période [tex][-\pi,\pi][/tex]
et une infinité d'autres si le domaine de définition n'est pas limité...

freddy · 21-02-2016 16:15:33

camille23 a écrit :

Bonjour,
il existe une autre valeur : [tex]a_2 \pm 0.916590598763879...[/tex] dans une période [tex][-\pi,\pi][/tex]
et une infinité d'autres si le domaine de définition n'est pas limité...

Tu montrerais ? Car selon mes rapides calculs, il n'y a qu'une seule solution ...

camille23 · 21-02-2016 18:09:43

Bonsoir,
C'est une plaisanterie Monsieur freddy ?

Par tout moyen à votre disposition, Geogebra, WolframAlpha, ….
Les intersections des courbes y=sin(x) et y=1/x donnent 2 points dans l'intervalle [tex][0,\pi][/tex]
A = (1.114157140871925, 0.897539461280485)
B = (2.772604708263913, 0.360671680684977)
et les abscisses de ces deux points sont les abscisses des points de contact C et D de tangentes issues de O
à la courbe [tex]y=e^{-cos(x)}[/tex]
C = (1.114157140871925, 0.643435082084311) Pente (OC) : 0.577508376942922
D = (2.772604708263913, 2.541343409683169) Pente (OD) : 0.916590598763879

Pouvez-vous, vous, détailler VOS rapides calculs ?

freddy · 21-02-2016 18:56:05

Re,

Avec plaisir, demoiselle ou damoiseau :

In[1]:=FindRoot[{a*x==Exp[-Cos[x]],x*Sin[x]==1},{a,1},{x,1}]

Out[1]= {a -> 0.577508, x -> 1.11416}

C'est codé sur Mathematica. Je lui ai demandé de résoudre ce système d'équations non linéaires d'inconnues a et x.
Avec ce dernier, quand il y a plusieurs solutions, il a la fâcheuse habitude de toutes les donner, et il est vraiment bavard :-)
Je viens de lui suggérer d'autres valeurs initiales, il maintient sa réponse ;-)
Me suggères-tu de mettre à jour ma version ?

PS : si je lui propose de démarrer avec les valeurs initiales (-1,-1), il me donne une réponse symétrique. Normal.
Wolfram me dit la même chose.
Je vais regarder avec Géogebra.

Dernière modification par freddy (21-02-2016 19:17:44)

yoshi · 21-02-2016 19:57:07

Bonsoir,

Geogebra et Wolfram disent la même chose...
Wolfram est précis :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*sin%28x%29%3D1

Petits calculs via Python, tests valeurs de xsin(x) :
1.11415 0.999990082687059518
1.11416 1.00000397078340380

2.77260 1.00001047735205520
2.77261 0.999988224174833507

Donc, Camille23 a raison...

J'avais remarqué ça depuis ma réponse rectifiée.
Je ne l'ai pas, moi, évoqué pour rester dans le cadre du questionnement et de la valeur fournie par Tonton René...
J'attendais qu'il se manifeste pour en dire plus.

@+

camille23 · 21-02-2016 20:39:20

freddy a écrit :

Donc on cherche [tex]x_0[/tex] tel que [tex]\begin{cases} ax_0=e^{-\cos x_0} \\ a=\sin x_0 e^{-\cos x_0} \end{cases}[/tex]

il s'agit donc bien de trouver les valeurs de x telles que xsin(x)=1. Raisonnons simplement :
Pour [tex]x=0[/tex] et [tex]x=\pi[/tex] on a [tex]x\sin(x)=0[/tex]
Pour [tex]x=\pi/2[/tex] on a [tex]x\sin(x)=\pi/2 > 1[/tex] Conclusion : ... !!!

Et trouvez pourquoi vos réponses sont si limitées sur Mathemetica.
En posant x*sin(x)=1 sur WolframAlpha on obtient les abscisses des points A et B que j'ai données à 18h09 plus d'autres...

yoshi · 21-02-2016 20:57:34

Re,

En posant x*sin(x)=1 sur WolframAlpha on obtient les abscisses des points A et B que j'ai données à 18h09 plus d'autres...

Cf mon post#11 de 19 h 57...

Au fait << TontonOutai OutaiTonton ? >>

@+

freddy · 21-02-2016 21:23:23

Re,

depuis ce matin, je me suis mis dans la tête qu'il fallait chercher un truc entre la courbe et la première bissectrice ... Voilà ce que c'est de vieillir, on change d'idées de moins en moins vite.

Pour Mathematica, je ne le connais pas assez. C'est juste un outil de calcul comme d'autres utilisent R ou MathLab (je ne les connais pas).

En regardant avec un peu plus d'attention que ce matin le graphe de [tex]y=exp(-\cos x)[/tex], et en arrêtant la fixette sur la première bissectrice, on voit mieux le "truc". Comme quoi, "tout seul, on va plus vite, mais à plusieurs, on va plus loin" (proverbe africain).

freddy · 22-02-2016 09:36:31

Salut,

on apprend tous les jours : la solution était locale + il faut penser à vider la valeur de la solution de la mémoire. A partir de ce moment là, en changeant la valeur initiale de la recherche, je trouve bien d'autres solutions ...
Merci à Camille23.

P.S : comme indiqué par Camille23, par le TVI + la périodicité de sin et cos, il y a une infinité de solutions. Est-ce un sujet du niveau secondaire, ou bien, comme d'habitude, le demandeur n'a t-il pas tout dit de son énoncé ...

Dernière modification par freddy (23-02-2016 07:24:42)

camille23 · 23-02-2016 10:34:52

Bonjour,

Pour information : XCas est un outil de calcul formel de niveau Lycée.c'est un logiciel libre gratuit.

en une ligne : fsolve([a*x-e^-cos(x),a-sin(x)*e^-cos(x)],[a,x],[0.5,1],dnewton_solver)
résultat immédiat : [0.577508376943,1.11415714087] pour a et x respectivement

en une ligne : fsolve([a*x-e^-cos(x),a-sin(x)*e^-cos(x)],[a,x],[2,3],dnewton_solver)
résultat immédiat : [0.916590598764,2.77260470827] pour a et x respectivement

C'est exactement le système d'équation de freddy (21-02-2016 08:34:45) avec 2 groupements de valeurs initiales pour newton.

Tonton René · 25-02-2016 12:07:36

Je tiens particulièrement à m'excuser auprès de vous tous, car faute de recevoir un e-mail m'informant que quelqu'un avait répondu à ma question, je n'avais pas ré-ouvert Bibm@th pensant que personne ne m'avais répondu ...
Je tiens donc à vous remercier tous pour vos réponses qui vont même au-delà de ce que j'espèrais !
Comme quoi, l'entraide n'est pas un vain mot sur ce site !
Encore merci !

yoshi · 25-02-2016 13:05:31

Cher Toton René,

Si, si c'est une fonctionnalité du forum qui existe :
il faut aller dans ton profil, rubrique Vie privée et cocher la case : Suivre automatiquement les sujets auxquels on a répondu.
Je viens de le faire pour toi , c'est pourquoi tu as reçu la notification qui t'a incité à revenir lire le présent message.

Si tu es satisfait des réponses apportées, c'est bien...

@+
Yoshi
- Modérateur -

Tonton René · 25-02-2016 14:51:31

Merci pour le renseignement
Je reviendrai très certainement solliciter de l'aide quand j'aurai un problème !
A +

Tonton René · 25-02-2016 16:00:51

Je relisais "à tête reposée" les réponses que vous m'avez faites et pour lesquelles je ne suis pas intervenu entre-temps, faute de m'être reconnecté au site
J'estime que je vous dois de plus amples informations sur le sujet :
1°) Le texte de la question de cet exercice était :
"On se propose de rechercher les tangentes à la courbe représentative de la fonction y = e^{- cos x} passant par l'origine O du
repère
a est un nombre et A le point de la courbe ayant pour abscisse a . Ecrire une équation de la tangente en A à la courbe et prouver que cette tangente passe par O si et seulement si, a.sin(a) = 1 "
2°) Voici maintenant ce que j'ai répondu :
L’expression d’une tangente à une courbe et passant par un point d’abscisse a est :

Dernière modification par Tonton René (25-02-2016 16:03:02)

freddy · 25-02-2016 16:18:14

Salut,

dans toute la discussion ci-dessus, tu es parfaitement armé pour répondre à ton sujet. Mais stp, la prochaine fois, donne l'énoncé complet ...

yoshi · 25-02-2016 16:19:39

Salut,

En fait ton sujet est différent de la question posée, plus simple je trouve.
La dérivée de [tex]y =^{-\cos x}[/tex] est [tex]y'=\sin x\times e^{-\cos x}[/tex]
Le coefficient directeur de la tangente en [tex]A(a\;;\;e^{-\cos a})[/tex] est donc [tex]m = \sin a\times e^{-\cos a}[/tex]
L'équation de la tangente en A est donc
[tex]y-e^{-\cos a}= \sin a\times e^{-\cos a}(x-a)[/tex]
Cette tangente passe par O si et seulement si son ordonnée à l'origine est 0 :
[tex]y= \sin a\times e^{-\cos a}x-a\sin a\times e^{-\cos a}+e^{-\cos a}[/tex]
Donc l'ordonnée à l'origine vaut :
[tex]-e^{-cos a}(a\sin a -1)[/tex]
Cette tangente passe par O si et seulement si son ordonnée à l'origine est 0, donc si et seulement si [tex]a\sin a = 1[/tex]
et on retombe sur nos pieds avec la recherche des solutions approchées de [tex]x\sin x = 1[/tex] et on était donc guidé sur cette fameuse équation que j'avais trouvé sans être trop sûr d'avoir le droit de faire une simplification.
Heureusement, freddy avait clarifié les choses...

@+

[EDIT] Ave, freddy !

Tonton René · 25-02-2016 17:58:24

OK, c'est parfait maintenant !
Toi et Freddy êtes réellement forts !
Merci à vous deux particulièrement

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 20-02-2016 16:18:47

Equation d'une tangente passant par l'origine à une exponentielle

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