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devil

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Une suite de distributions

Bonjour,
j'ai la question suivante: on considère la suite [tex]f_n(x)=n e^{-|x|}[/tex]
la question est de prouver que[tex] f_n \to b \delta[/tex] dans [tex]\mathcal{D'}[/tex] en déterminant la constante b.
Voici ce que j'ai fait. Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a
[tex]<f_n,\varphi>= n \displaystyle\int_{-\infty}^0 e^x \varphi(x) dx + n \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x} \varphi(x) dx[/tex]
En utilisant le développement de Taylor Lagrande de \varphi(x) au voisinage de 0, d'ordre 1,
[tex]\varphi(x)=\varphi(0)+x \varphi'(\xi_x), \xi_x \in (0,x)[/tex]
on a
[tex]<f_n,\varphi>= n [\displaystyle\int_{-\infty}^0 e^x \varphi'(\xi_x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x} \varphi'(\xi_x) dx][/tex]
le problème est que ca diverge quand n tend vers l'infini.  Que faire dans ce cas?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Dernière modification par devil (15-02-2016 13:02:43)

Fred

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Re : Une suite de distributions

Bonjour,

  Je pense que tu as fait une erreur d'énoncé et qu'il manque un [tex]n[/tex] dans l'exponentielle. Si c'est le cas, je commencerai par faire un changement de variables...

F.

devil

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Re : Une suite de distributions

Bonjour,
oui, effectivement [tex]f_n(x)=e^{-n|x|}[/tex]
est-ce qu'il est correcte de répondre ceci:
comme [tex](f_n)[/tex] est une suite positive, et [tex]\int  \dfrac{f_n}{2} =1[/tex], et [tex]supp f_n = B(0,1/n)[/tex], alors [tex]\dfrac{f_n}{2}[/tex] converge vers[tex] \delta[/tex] dans [tex]D'[/tex], et par conséquent [tex]f_n[/tex] converge vers [tex]2 \delta[/tex] dans [tex]D'[/tex]?

Je vous remercie par avance.

Fred

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Re : Une suite de distributions

Bonjour,

  Si tu as un théorème qui te dit cela dans ton cours (unité approchée), je suis d'accord.

F.

Fred

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Re : Une suite de distributions

J'ai répondu trop vite! Tu n'as pas la propriété sur le support, il te faut un théorème un petit peu plus général...