Egalité d'intégrales avec des puissances de sin et de cos

Marie18 · 06-02-2016 22:30:25

Bonsoir tout le monde

Je voudrais un peu d'aidé Svp . C'est urgent
On veut démontrer que quel que soit n appartenant à N In=Jn tél que : In= intégrale de 0 à pi sur 2 de ( sin (t)*2n dt ) et Jn= intégrale de 0 à pi sur 2 de ( cos (t)*2n dt)
On donne Io =Jo = pi sur 2

Merci de bien vouloir jeter un petit coup d'oeil

freddy · 06-02-2016 23:57:19

Salut,

en codant en LateX, je comprends : [tex]I_n=2n\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(t)dt[/tex] et [tex]J_n=2n\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)dt[/tex].

Sommes nous d'accord ?

Si oui, il suffit de calculer les deux intégrales en se souvenant qu'une primitive de sin est -cos et qu'une primitive de cos est sin, et le tour est joué.

Marie18 · 07-02-2016 00:13:22

Désolé je n'ai pas pu codé mais le sin et le sont à la puissance 2n @freddy

Fred · 07-02-2016 08:07:44

Bonjour,

Tu es en Terminale???

F.

yoshi · 07-02-2016 08:36:06

Salut,

Petites remarques :
1. le symbole * est utilisé pour désigner une multiplication, ^ désigne la puissance.
2. Désolée, je n'ai pas pu coder : ça, c'est inexact. Soit tu n'as pas essayé, soit tu n'as pas réussi.
Parce que coder en LateX est toujours possible : il suffit de suivre les instructions de cette page : Code LateX

Donc :
[tex]I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\,\sin^{2n}(t)\,dt[/tex] et [tex]J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\,\cos^{2n}(t)\,dt[/tex]
avec [tex] I_0 = J_0 =\frac{\pi}{2}[/tex].

C'est bien ça ?

Si oui, alors, je comprends mieux la question de Fred. Je n'ai pas trouvé "l'astuce" pour le moment, parce que s'il n'y a pas d'astuce, cela ne me semble pas du niveau Terminale....

@+

freddy · 07-02-2016 13:37:10

Salut,

je vais te mettre sur la piste, ce sujet est du type de ceux qu'on avait à faire en maths dans feu la série C d'avant la série S spé maths.

Donc tu vas établir, par une intégration par parties, que [tex]I_n = \frac{2n-1}{2}I_{n-1}[/tex]. De la même manière, tu trouveras une relation identique pour [tex]J_n[/tex]. Normalement, c'est une question qui aurait dû t'être posée. Tu as dû oublier de nous le dire ...

Ensuite, tu devrais pouvoir conclure aisément.

PS : conclure aisément par récurrence, bien entendu. En me relisant, je m'aperçois que ça allait sans dire, mais ça va mieux en le disant.

Dernière modification par freddy (07-02-2016 21:49:06)

Marie18 · 07-02-2016 13:39:58

Bonjour
Oui je suis en terminale . Pour le code latex ils m'ont demander d'installer java chose que je n'ai pas . Merci pour votre attention , je viens de trouver la réponse il suffit de convertir cos en sin puis utiliser un changement de variable
A bientôt

Marie18 · 07-02-2016 13:41:58

Merci freddy mais y a pas de questions avant celle-ci

freddy · 07-02-2016 13:51:37

Marie18 a écrit :

Bonjour
Oui je suis en terminale . Pour le code latex ils m'ont demander d'installer java chose que je n'ai pas . Merci pour votre attention , je viens de trouver la réponse il suffit de convertir cos en sin puis utiliser un changement de variable
A bientôt

Re,
tu nous montrerais comment tu as fait, stp ?! Juste pour voir ...
Installe java, c'est gratuit, après tu "insères une équation", et tu verras, c'est simple.
Nous, nous codons en manuel, encore plus simple après 15 minutes d'apprentissage.

Dernière modification par freddy (07-02-2016 13:52:27)

Fred · 07-02-2016 16:24:10

Bonjour Marie,

C'est bien la preuve que j'imaginais pour établir l'égalité, mais le changement de variables est hors-programme en Terminale!!!
Comment as-tu réussi à rédiger cela??? Moi, je l'aurai rédigé à partir de considérations d'aires....

F.

Ostap Bender · 07-02-2016 17:45:30

Bonjour à tous.

Sauf erreur de ma part, l'intégration par parties est hors programme en terminale. En France du moins.

Effectivement, on peut se débrouiller par des considérations d'aires. Il faut être convaincant : c'est plus de la rhétorique que des mathématiques.
Sinon, si on n'a pas froid aux yeux, on peut aussi travailler à l'aide de la formule du binôme, elle aussi hors programme en terminale.

On commence par remarquer que pour [tex]p[/tex] entier naturel non nul
[tex]\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}e^{2pit}\mathrm dt = 0[/tex].
Ensuite par parité, [tex]I_n = \int_0^{\frac\pi2} \sin^{2n}(t)\,\mathrm dt = \dfrac12\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \sin^{2n}(t)\,\mathrm dt[/tex]
On écrit
[tex]\begin{align*}
I_n &= \dfrac12\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \sin^{2n}(t)\,\mathrm dt\\
&= \dfrac12\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \left( \dfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\right)^{2n}\mathrm dt\\
&= \dfrac12\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \left(\dfrac{1}{(2i)^{2n}}\sum_{k=0}^{2n}\begin{pmatrix}
2n\\k
\end{pmatrix}e^{kit}(-1)^{2n-k}e^{-i(2n-k)t}\right)\,\mathrm dt\\
&= \dfrac12\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\begin{pmatrix}
2n\\n
\end{pmatrix}\dfrac{(-1)^{2n-n}}{(2i)^{2n}}\,\mathrm dt\\
&= \dfrac{\pi}{2^{2n+1}}\begin{pmatrix}
2n\\n
\end{pmatrix}
\end{align*}[/tex]
Puisque lorsque [tex]k\neq n[/tex] on a [tex]p = 2k-2n \neq0[/tex] et les intégrales correspondantes sont nulles.

On effectue le même calcul pour [tex]J_n[/tex] en écrivant cette fois [tex]\cos^{2n}(t) = \left( \dfrac{e^{it}+e^{-it}}{2}\right)^{2n}[/tex] ce qui conduit au même résultat.

Ostap Bender

Dernière modification par Ostap Bender (07-02-2016 17:47:40)

Marie18 · 07-02-2016 18:08:09

Bonsoir

Désolé j'ai un problème dans mon ordi , je n'ai pas pu installer Java . Pour la question precedente on part de In . on connait que (cos(t))^2n = (sin(pi sur 2 -t))^2n puis on pose A=pi sur 2 - t ; t=0 → A=pi sur 2 et quand t=pi sur 2 → A=0 de plus dt = -dA

on trouve In =intég(pi sur 2 →0 ) de cos(A)^2n * -dA = Jn (avec l'inversion des bornes par le moins )

freddy · 07-02-2016 19:26:24

Ostap Bender a écrit :

Bonjour à tous.
Sauf erreur de ma part, l'intégration par parties est hors programme en terminale. En France du moins.

Je crois que c'est bien une erreur de ta part, du moins jusqu'à la fin du siècle dernier.
Ensuite, Yoshi ou Fred pourraient nous dire, mais je pense qu'en TS spé math, c'est encore d'usage.
Quant à la solution géométrique de Fred, je la trouve géniale de simplicité.

Freddy de la Bibmath.

Fred · 07-02-2016 19:34:58

Ostap Bender a raison. L'intégration par parties n'est plus au programme de Ts. Pas plus que la méthode de Marie qui est plus ou moins la même que la mienne.

freddy · 07-02-2016 19:37:37

Re,

dommage, car la solution de Marie est très élégante. Sic transit gloria mundi !

Marie18 · 07-02-2016 19:55:42

Merci à vous tous

yoshi · 07-02-2016 19:59:04

Salut,

Eh oui, Fred a raison : on taille, taille,taille...
Je suis retourné à la source...
Chapitre intégration :
http://cache.media.education.gouv.fr/fi … 195984.pdf
p. 7 et 8
Vous remarquerez, dans la colonne Commentaires, cette mention spécifique :
L’intégration par parties n’est pas un attendu du programme.
Ca n'est pas un attendu du programme : moi je traduisais ça (quand j'étais encore en service) par savoir non exigible.

Le prof de Marie doit donc penser aussi que donner ça en DM ou en Activités et pas en Interro n'est pas faire de cette notion qu'elle soit exigible, mais que travailler avec est de nature à ouvrir l'esprit de ceux à qui on a donné cet os à ronger.
D'accord quand on fait ça, on est "border line"... Mais tant qu'on ne l'exige pas et que sa méconnaissance éventuelle n'a pas de conséquence chiffrée fâcheuse, j'ai toujours considéré que l'IPR en visite allait me faire une remarque à laquelle j'étais préparé...
Tout ce qui n'est pas explicitement interdit peut être autorisé...

Je me souviens d'un Chef d'Etablissement qui nous avait réunis pour nous dire : je ne peux pas vous donner l'autorisation de...
Et comme il n'avait pas dit : vous avez l'interdiction formelle de ..., nous étions passés outre (sans retours de bâton).

@+

freddy · 08-02-2016 11:00:13

Salut Yoshi,

et tu as bien eu raison ! En droit français, tout ce qui n'est pas interdit est autorisé.
C'est pourquoi, en mai 68, il était devenu formellement "interdit d'interdire", tellement il y avait trop d'interdictions de tout, sauf de penser :-)
Comme la langue a beaucoup de nuances à sa disposition pour dire sans interdire, sans non plus autoriser vraiment, il faut bien savoir lire, "en creux" en particulier, pour comprendre tout ce qu'on peut faire et jusqu'où ne pas aller.
On a d’ailleurs une grande école nationale pour apprendre tout ça, mais c'est un autre sujet.

Conclusion : on ne saura pas l'origine de ce sujet, mais ce ne peut être celui d'un niveau de classe Terminale car aucun moyen technique à disposition pour résoudre la question, sauf si le prof essaie discrètement de les préparer aux années qui vont suivre (ou si Marie nous dit dans quel pays francophone elle se trouve).

yoshi · 08-02-2016 11:26:41

Salut freddy,

(ou si Marie nous dit dans quel pays francophone elle se trouve).

D'après l'adresse IP de la connexion : la France !

@+

Marie18 · 08-02-2016 20:16:19

Salut
En fait j'habite au Maroc et nous l'avons au programme de terminale

yoshi · 08-02-2016 20:56:08

Bonsoir,

Ah bin, je vais chercher pourquoi le Whois LookUp se trompe à partir de l'adresse IP de ton fournisseur d'accès : il te localise même dans le nord de la France, à Roubaix !!! :-)
C'est ma 2e erreur aujourd'hui (mais là, je ne suis pas responsable). Il est temps que j'aille me coucher ^_^

@+

Fred · 08-02-2016 21:13:27

Bizarre.... trouverip localise bien cette ip au Maroc.
Mais c'est très imprécis. Ma propre IP est localisé à Magny-le_Hongre, à 500km de chez moi!

F.

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