Forum de mathématiques - Bibm@th.net

convergence

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Ensemble ouvert

Bonjour,

comment montrer que cet ensemble est ouvert dans un espace métrique

[tex]
\{x\in E, d(x,A)<d(x,B)\}[/tex]

merci

Fred

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Re : Ensemble ouvert

Bonjour,

  Plusieurs méthodes sont possibles :
1. En utilisant la continuité de [tex]x\mapsto d(x,A)[/tex] et [tex]x\mapsto d(x,B)[/tex] et en utilisant le fait que l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est un ouvert.
2. En prenant [tex]x[/tex] dans cet ensemble, et en trouvant [tex]r>0[/tex] de sorte que [tex]B(x,r)[/tex] soit inclus dans cet ensemble. Avec cette preuve, il va falloir bricoler en utilisant la définition de [tex]d(x,A)[/tex] et l'inégalité triangulaire...

F.

Ostap Bender

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Re : Ensemble ouvert

Bonsoir.

Tu peux démontrer que son complémentaire est fermé.

Sinon tu peux démontrer que [tex]f_A~:~x\longmapsto d(x,A)[/tex] est continue.

Ostap Bender

convergence

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Re : Ensemble ouvert

Si je prend [tex]x\in C= \{x\in E, d(x,A)<d(x,B)\}[/tex], alors [tex]d(x,A)<d(x,B)[/tex] et je dois trouver r>0 tel que [tex]x\in B(x,r)\subset C[/tex] soit [tex]y\in B(x,r)[/tex], alors [tex]d(x,y)<r[/tex] ,pour avoir [tex]y\in C[/tex] il faut que [tex]d(y,A)-d(y,B)<0[/tex]

On a [tex]|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)[/tex] et [tex]|d(x,B)-d(y,B)|\leq d(x,y)[/tex] et la je ne sais pas comment terminer

convergence

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Re : Ensemble ouvert

comment choisir [tex]r[/tex] s'il vous plait?

Fred

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Re : Ensemble ouvert

Il va falloir à un moment que tu mettes les mains dans la définition de [tex]d(x,A)[/tex].
Commence par démontrer que si [tex]d(x,y)\leq r[/tex], alors
[tex] d(x,A)-r\leq d(y,A)\leq d(x,A)+r[/tex].

convergence

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Re : Ensemble ouvert

Je reviens aprés plus de 10 jours (malade) ,
[tex]
d(x,A)=\inf_{z\in A} d(x,z)[/tex]

Par contre je n'ai pas d'idée pour l'inégalité

convergence

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Re : Ensemble ouvert

C'est bon pour l'inégalité elle vient du fait que [tex]|d(x,A) - d(y,A)| \le d(x,y)[/tex] mais je dois faire quoi après ?

Ostap Bender

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Re : Ensemble ouvert

Bonsoir.

Est-ce que ton inégalité ne montre pas que [tex]f_A~:~x\longmapsto d(x,A)[/tex] est continue ? du style [tex]\eta = \epsilon[/tex]...

Ostap Bender

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Re : Ensemble ouvert

Oui, mais je ne veux pas utiliser le fait que l’ensemble est l'image inverse d'un ouvert par une fonction continue

Ostap Bender

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Re : Ensemble ouvert

Le client est roi !

Tu peux prendre ma première suggestion, dans ce cas.

Ostap Bender

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Re : Ensemble ouvert

on ne peux pas montrer que [tex]B(x,r)\subset \{x\in E; d(x,A)<d(x,B)\}[/tex]

convergence

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Re : Ensemble ouvert

Je crois que j'ai trouvé il suffit de prendre [tex]r=d(x,B)-d(x,A)[/tex] c'est ça ?

convergence

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Re : Ensemble ouvert

S'il vous plait quelqu'un peux m'aider le choix $r= d(x,B)-d(x,A)$ ne m'aide pas