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#1 27-01-2016 11:40:47
- devil
- Membre
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Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Bonjour,
si une distribution [tex]T[/tex] sur[tex] \mathbb{R}[/tex] vérifie[tex] xT=0[/tex], cela signifie que[tex] T[/tex] s'annulle sur les fonctions de la forme[tex] x \varphi[/tex], où [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex].
Comment en déduire que [tex]T[/tex] est proportionnelle à[tex] \delta[/tex]?
J'ai lu que c'est parce que [tex]Ker(xT)=\{\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <T,x \varphi > = $[/tex], et [tex]Ker(\delta)=\{\varphi \in \mathcal{D}(\R): <\delta,\varphi>=0\}[/tex] et donc[tex] ker \delta[/tex] est inclus dans [tex]ker (xT).[/tex] Mais je ne comprend pas cette explication.
Je vous remercie par avance.
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#2 27-01-2016 13:28:53
- Fred
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Bonjour,
Ce n'est pas si facile...
L'idée est que nous fonction [tex]\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex] peut s'écrire sous la forme
[tex]\varphi(x)=\varphi(0)\theta(x)+x\psi(x)[/tex], où [tex]\theta,\psi\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex] et [tex]\theta[/tex] ne dépend pas de [tex]\varphi[/tex]. Si on admet cela, alors on sait que
[tex]\langle T,\varphi\rangle= \langle T,\theta\rangle \varphi(0)+\langle T,x\psi\rangle=\lambda \langle \delta,\varphi\rangle[/tex]
où [tex]\lambda=\langle T,\theta\rangle.[/tex]
Reste à démontrer l'écriture précédente. Pour cela, on fixe [tex]\theta[/tex] n'importe quelle fonction de [tex]\mathcal D(\mathbb R)[/tex] telle que [tex]\theta(0)=1[/tex]. Alors, on peut écrire
[tex]\varphi(x)=\varphi(0)\theta(x)+\gamma(x)[/tex] avec [tex]\gamma\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex]. Mais alors, [tex]\gamma(0)=0[/tex] et donc [tex]\gamma(x)=x\psi(x)[/tex] comme souhaité.
F.
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#4 27-01-2016 18:43:10
- Ostap Bender
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Il faudrait peut-être faire un effort, non ? Il me semble que c'est TA question.
Tu peux calculer [tex]\displaystyle <xT,\psi(x)>[/tex] ou c'est trop fatigant ?
Ostap Bender
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#5 27-01-2016 20:20:13
- devil
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Ostap Bender, non ce n'est pas MA question, dans la dernière égalité de Fred,il ne reste que le terme avec [tex]\theta(x)[/tex], pourquoi le terme avec [tex]\psi(x)[/tex] a disparu? S'il vous plaît.
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#6 27-01-2016 20:39:49
- Ostap Bender
- Membre
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Bien ce que je craignais. Trop fatigant.
Ostap Bender
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#8 28-01-2016 18:48:33
- devil
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Pardon, je n'avais pas utiliser que xT=0. Maintenant c'est en effet clair.
S'il vous plaît, comment expliquer que ker [tex]\delta[/tex] est inclus dans ker T?
Je vous remercie par avance pour votre aide.
Dernière modification par devil (29-01-2016 11:12:26)
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#9 30-01-2016 12:03:11
- devil
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
S'il vous plaît, d'où vient l'écriture de[tex] \varphi(x)= \varphi(0) \theta_0(x)+ x\psi(x)[/tex]?
où[tex] \theta(0)=1[/tex].
Vous avez expliqué que ce choix nous permet d'avoir [tex]\gamma(0)=0[/tex], mais je ne comprend pas d'où vient cette forme.
Merci par avance.
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#10 30-01-2016 17:43:09
- Fred
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Encore une fois, Devil, pose toi les bonnes questions. [tex]\theta_0[/tex] est fixé, tu as donc une formule qui te définit [tex]\psi[/tex]. Reste à prouver que [tex]\psi\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex]. Et je suis à peu près sûr que dans ton cours, ou dans les exercices, tu as un résultat de division pour les fonctions de [tex]\mathcal D(\mathbb R)[/tex].
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#11 30-01-2016 18:21:17
- devil
- Membre
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
1- Non, je n'ai aucun résultat de division pour les fonctions test dans mon "cours". Quel est le résultat le plus important de ces divisions? S'il vous plaît.
2- Par ailleurs, voici une autre méthode de solution que j'ai rédigé pour les solutions de l'équation[tex] xT=0.[/tex]
Soit [tex]\psi \in \mathcal{D}(\R*)[/tex]. On a [tex]<xT,\psi>= <T,x \psi>[/tex]
on note[tex] \varphi(x)= x \psi(x)[/tex] qui est dans [tex]\mathcal{D}(\R)[/tex], ainsi on a que pour tout[tex] \psi \in \mathcal{D}(\R*): <T,\varphi>=0[/tex] ce qui montre que [tex]Supp T = {0}[/tex].
Et on sait que toute distribution à support nulle est proportionnelle à Dirac, donc [tex]T=c\delta[/tex].
Je sens que je mélange un peu entre les fonctions tests qui sont dans [tex]\mathcal{D}(\R*)[/tex] et [tex]\mathcal{D}(\R),[/tex] comment arranger cette formulation de manière logique? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
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#12 30-01-2016 18:32:21
- Fred
- Administrateur
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Re-
Je suis ABSOLUMENT sûr que tu as déjà démontré plus tôt que si [tex]\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex] vérifie [tex]\varphi(0)=0[/tex], alors il existe [tex]\psi\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex] tel que [tex]\varphi(x)=x\psi(x)[/tex].
Et ta démonstration ne fonctionne pas. Les dérivées de la masse de Dirac sont aussi à support égal à [tex]\{0\}[/tex].
F.
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#13 30-01-2016 19:02:14
- devil
- Membre
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
1- Donc démontrer que le Support de T ={0} ne nous aide pas à conclure? C'est bien ce que vous voulez dire?
2- S'il vous plaît, est-ce qu'il y a possibilité de montrer logiquement que le ker de Diac est inclus dans le ker de T?
Je vous remercie par avance pour votre aide.
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#14 31-01-2016 13:38:21
- Fred
- Administrateur
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Re-
1. Oui.
2. Ma réponse du post #2 démontre exactement cela.... (si u et v sont deux formes linéaires, dire que le noyau de u est inclus dans le noyau de v est équivalent à dire que v est un multiple de u).
F.
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#17 08-02-2016 18:06:32
- devil
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Bonjour,
j'ai la question suivante:
déterminer [tex]T \in \mathcal{D'}(\mathbb{R})[/tex] en sachant que [tex]fT=\delta[/tex] et que [tex]f \in C^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] telle que [tex]f(x) \neq 0[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Je lis dans la solution ceci: on remarque que [tex]fT=\delta[/tex] et [tex]f\dfrac{\delta}{f(0)}=\delta[/tex], et par conséquent [tex]f(T-\dfrac{\delta}{f(0)})=0[/tex], et puisque la solution de[tex] fT=0[/tex] est [tex]T=0[/tex], alors [tex]T=\dfrac{\delta}{f(0)}[/tex]
Je ne comprend pas cette solution, et pourquoi utiliser f(0)? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
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#18 08-02-2016 21:10:07
- Fred
- Administrateur
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Qu'est-ce que tu ne comprends pas exactement???
On introduit [tex]f(0)[/tex] car on cherche une solution particulière à cette équation et que [tex]\frac 1{f(0)}\delta[/tex] en est une.
F.
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#19 08-02-2016 21:17:12
- devil
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
comment on voit que c'est f(0) qu'il faut utiliser? Et il y a une méthode plus directe et plus logique? Car rien ne m'interpelle sur l'utilisation de f(0).
Je vous remercie par avance.
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#20 08-02-2016 21:36:19
- Fred
- Administrateur
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
Moi, si je dois résoudre [tex]fT=\delta[/tex], je vais d'abord chercher une solution particulière. Comme il y a [tex]\delta[/tex] dans le second membre, je vais commencer par la rechercher sous la forme [tex]a\delta[/tex]. Et là, on voit que c'est [tex]a=1/f(0)[/tex] qu'il faut poser...
F.
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#25 09-02-2016 11:05:58
- devil
- Membre
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Re : Equation xT=0 dans l'espace des distributions
C'est compris je crois. On écrit
[tex]
<f(a\delta),\varphi> = <\delta,\varphi f(x)a>= \varphi(0)
[/tex]
qui implique que [tex]\varphi(0) f(0) a=\varphi(0)[/tex] qui implique que [tex]f(0)a=1[/tex], et donc [tex]a=1/f(0).[/tex]
Vous êtes d'accord?
Ça c'est compris. Il me reste à comprendre comment on trouve [tex]T \in \mathcal{D'}(\mathbb{R})[/tex] telle que [tex]xT'=\delta.[/tex]
Je lis une solution qui dit qu'on a [tex]xT'=\delta[/tex] et [tex]x(-\delta)'=\delta[/tex], et donc [tex]x(T+\delta)'=0[/tex], donc [tex](T+\delta)'=c \delta= cH'[/tex].
Je ne comprend pas cette logique. Logiquement, comment on trouve la solution de [tex]xT'=\delta[/tex]? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
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