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Aby0

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Convergence d'une integrale

Bonjour,
Je cherche à montrer la convergence de l'intégrale de 0 à pi ln(2-2cosx).
J'ai utilisé le DL de cos(x) en 0 pour essayer de trouver une équivalence:
cosx~1-x²/2
1-cosx~x²/2
2-2cosx~X²
ln(2-2cosx)~2ln(x) ?
Je sais pas si je suis bien parti ou non.

Ostap Bender

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Re : Convergence d'une integrale

Bonsoir Aby.

Ce n'est pas très bien parti. Je doute que tu aies dans ton cours un théorème qui te permette de prendre des logarithmes d'équivalents.

Première question : Où se situe l'impropreté de ton intégrale ?

Ostap Bender

freddy

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Re : Convergence d'une integrale

Salut,

je vais préciser : c'est ta dernière équivalence qui est fausse (le DL de la composée de deux fonctions ne fonctionne pas comme cela) ; de plus, elle ne règle pas ton problème en zéro, ce qu'un DL est censé faire  ...
Mais si tu réfléchis bien, la valeur de cette intégrale est amusante ;-)

Aby0

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Re : Convergence d'une integrale

Montrer la convergence de l’intégrale est la première question d'un exercice dont le but est justement de calculer l'intégrale, donc je sais qu'elle est égale à 0 mais je ne peux pas l'utiliser :)

freddy

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Re : Convergence d'une integrale

Re,

attends qu'Ostap veuille bien te montrer la convergence, je suis sûr qu'il en brûle d'envie :-)
Sinon, je m'y collerai.

Ostap Bender

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Re : Convergence d'une integrale

Je brûle surtout d'impatience de voir la réponse à ma question.

Où se situe l'impropreté de ton intégrale ? Pour quelles valeurs de [tex]a[/tex] les intégrales [tex]\int_a^t\ln(2-2\cos x)\,\mathrm dx[/tex] ne sont pas des intégrales au sens de Riemann mais des intégrales généralisées ou impropres ?

Ostap Bender.

Aby0

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Re : Convergence d'une integrale

Je dirais en 0 puisque 2-2cos(x) doit être strictement positive ?

Ostap Bender

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Re : Convergence d'une integrale

Bien, connais-tu une expression simple de [tex]1-\cos x[/tex] ?

Ostap Bender

Aby0

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Re : Convergence d'une integrale

la seule expression que je vois serait 1-cos(x)=2sin²(x/2).

Ostap Bender

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Re : Convergence d'une integrale

Elle me convient très bien !

J'ai envie de dire que l'intégrale de [tex]\ln(\sin^2(x/2))[/tex] va être de même nature que celle  [tex]\ln((x/2)^2)[/tex]. Mais je ne peux pas parler d'équivalents comme ça, comme on l'a vu plus haut. Du coup, je m'intéresse à la différence de ces deux fonctions.

Peux-tu me démontrer que [tex]\int_0^\pi \left( \ln(\sin^2(x/2)) - \ln((x/2)^2) \right)\,\mathrm dx [/tex] converge ?

Ostap Bender

Aby0

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Re : Convergence d'une integrale

je comprends pas vraiment pourquoi on peux pas utiliser l'equivalence ln(sinx)~ln(x) en 0?

sinon pour l'integrale j'arrive à : 2∫ln(sin(x/2)/(x/2))dx , mais je serais encore tenté d'utiliser l'equivalence pour montrer la convergence...

Ostap Bender

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Re : Convergence d'une integrale

Tu ne peux pas utiliser l'equivalent[tex] \ln(\sin x)\sim\ln(x)[/tex] en 0 parce que tu ne l'as pas démontré.

Démontre-le (c'est vrai) et c'est terminé (ou presque).

Sinon, que peux-tu dire de la limite lorsque x tend vers 0 de [tex]\ln\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)[/tex] ?
Que peux-tu en conclure pour la convergence de mon intégrale ?

Ostap Bender

Aby0

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Re : Convergence d'une integrale

La limite est de 0, je peux donc en déduire que la  limite de l’intégrale est égale à une constante donc elle est convergente.

Ostap Bender

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Re : Convergence d'une integrale

Oh que c'est mal écrit !

La limite (c'est la limite d'une fonction) est une constante ! Une limite, ça ne varie pas, c'est unique.

La limite de l'intégrande, [tex]\displaystyle \ln\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)[/tex] , existe. Donc l'intégrale n'est pas vraiment impropre. C'est une bonne grosse intégrale de Riemann.

Maintenant, peux-tu me démontrer que [tex]\int_0^\pi \ln((x/2)^2) \,\mathrm dx [/tex] converge ?

Ostap Bender

Aby0

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Re : Convergence d'une integrale

ln((x/2)²)=2ln(x/2)=2[ln(x)-ln(2)]
Or l'intégrale de ln(x) de 0 à pi donne 2pi(ln(pi)-1)
donc l'integrale de ln((x/2)²) est convergente

Ostap Bender

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Re : Convergence d'une integrale

Effectivement, on trouve  [tex]\int_0^\pi \ln((x/2)^2) \,\mathrm dx [/tex] par un petit calcul de primitive (et un passage à la limite en zéro).

As-tu tous les éléments pour constituer une preuve complète de la convergence de ton intégrale de départ ?

Si c'est oui, je te propose de démontrer l'équivalence en zéro entre [tex]\ln(\sin x)[/tex] et [tex]\ln(x)[/tex].

Ostap Bender

Aby0

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Re : Convergence d'une integrale

oui, merci beaucoup!

Donc pour l’équivalence:
on effectue le DL en 0 a l'ordre 1: sin(x)=x+o(x)
ce qui donne ln(sin(x)) = ln(x+o(x)) = ln(x)+ln(1+o(1)).
On peut donc en conclure l’équivalence ln(sin(x))~ln(x) en 0

Ostap Bender

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Re : Convergence d'une integrale

Présenté comme ça, c'est correct, à condition de bien conclure en disant que [tex]\ln(1+o(1)) = o(1) = o(\ln(x))[/tex]. L'équivalence en résulte.

Je rappelle qu'il n'y a pas de résultat général : en zéro, on a [tex]1 + x \sim 1 + x^2[/tex] mais [tex]\ln(1+x)\sim x[/tex] et [tex]\ln(1+x^2)\sim x^2[/tex].

D'accord ?

Ostap Bender