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#1 20-01-2016 22:58:31
- convergence
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Ouverts
Salut;
J'ai deux petites question sur les ouverts: Soit [tex]E=F\cup G[/tex] et [tex]A\subset F\cap G[/tex], montrer que si A est ouvert dans F et est ouvert dans G alors A est ouvert dans E
A ouvert dans F veux dire que [tex]A=\Omega_1 \cap F[/tex] , A ouvert dans G veut dire que [tex]A=\Omega_2 \cap G[/tex] , mais comment obtenir que A est l'intersection d'un ouvert avec E ?
Ma 2éme question est montrer que si [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux ouverts de [tex](\mathbb{R},|.|)[/tex] alors [tex]A+B[/tex] est ouvert
Merci.
Dernière modification par convergence (21-01-2016 10:55:19)
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#2 21-01-2016 11:16:34
- Ostap Bender
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Re : Ouverts
Bonjour convergence.
La deuxième question est simple.
Soit [tex]x[/tex] un réel et [tex]A[/tex] un ouvert, alors la translatée [tex]A+\{x\}[/tex] est un ouvert. C'est l'image réciproque de l'ouvert [tex]A[/tex] par la translation réciproque [tex]y\mapsto y-x[/tex].
Par suite [tex]A+B = \bigcup_{x\in B} A+x[/tex] est un ouvert comme réunion d'ouverts.
Ostap Bender
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#4 21-01-2016 14:38:06
- convergence
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Re : Ouverts
comment faire s'il vous plait ? on a que [tex]E=F\cup G[/tex]
si je prend A=(O_1\cap F)\cup (O_2\cap G) je ne trouve rien , je fais comment pour trouver votre résultat ?
merci
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#6 21-01-2016 15:14:35
- convergence
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Re : Ouverts
J'ai des problèmes avec [tex]\subset[/tex] si je prend [tex]x \in A[/tex] pouvez vous m'aider a montrer que [tex]x \in (O_1\cap O_2) \cap E[/tex]
l'autre inclusion je l'ai faite , merci de me donner des indication s'il vous plait
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#8 21-01-2016 17:41:04
- convergence
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Re : Ouverts
Soit [tex]x\in A[/tex] alors [tex]x\in (O_1 \cap F)\cap (O_2 \cap G)[/tex] ce qui veut dire que [tex]x\in O_1\cap O_2 \cap (F\cap G)\subset O_1\cap O_2 \cap E[/tex] ?
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#10 23-01-2016 20:12:56
- convergence
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Re : Ouverts
s'il vous plait Je ne comprend pas pourquoi [tex]A+\{x\}[/tex] est ouvert
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#11 23-01-2016 23:36:40
- Ostap Bender
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Re : Ouverts
Bonsoir.
Tu prends un élément [tex]y[/tex]de [tex]\displaystyle A+\{x\}[/tex]. Tu peux écrire [tex]y = a + x[/tex] avec [tex]a\in A[/tex]. Maintenant puisque [tex]A[/tex] est ouvert, il existe un voisinage [tex]V[/tex] de [tex]a[/tex] inclus dans [tex]A[/tex]. Il te reste à vérifier que [tex]\displaystyle V+\{x\}[/tex] est un voisinage de [tex]y = a+x[/tex] et qu'il est inclus dans [tex]\displaystyle A+\{x\}[/tex].
Ostap Bender
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