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devil

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questio 5

Bonjour,
j'essaye de calculer la dérivé de log[x| dans [tex]\mathcal{D}'[/tex].

1- Tout d'abord, il n'est pas préciser si c'est [tex]\mathbb{R}[/tex] ou bien[tex] \mathbb{R^*}[/tex], mais à mon avis, c'est   [tex]\mathbb{R^*}[/tex].

2- On remarque que log[x| est continue sur[tex] \mathbb{R}^*[/tex], elle est donc localement intégrable sur [tex]\mathbb{R^*}[/tex]. C'est une bonne justification?

3- Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}*)[/tex]. On a:
[tex]<T,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x|\varphi(x) dx[/tex]

pourquoi [tex] \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx =0[/tex] ?

3- on travail donc avec
[tex]<T',\varphi>= - \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x|\varphi'(x) dx[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on trouve que

[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx = \log(\epsilon) \varphi(-\epsilon) + \displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx,[/tex]
et
[tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x|\varphi'(x) dx= - \log(\epsilon) \varphi(\epsilon) - \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx.
[/tex]
Ainsi,
[tex]<T',\varphi>=-\lim_{\epsilon \to 0} [\log(\epsilon) \varphi(-\epsilon) - \log(\epsilon) \varphi(\epsilon)]
+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx - \displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
[/tex]

Si on calcule [tex]-\lim_{\epsilon \to 0} [\log(\epsilon) \varphi(-\epsilon) - \log(\epsilon) \varphi(\epsilon)][/tex], en écrivant le développement de Taylor-Young d'ordre 1 au voisinage de 0, on a

[tex]= \lim_{\epsilon \to 0} [\epsilon \log(\epsilon) [\varphi'(\xi_1) + \varphi'(\xi_2)]][/tex]
et on a
[tex]|\epsilon \log(\epsilon) [\varphi'(\xi_1) + \varphi'(\xi_2)]| \leq 2 \sup_{x \in K} |\varphi'(x)| |\epsilon \log(\epsilon)|[/tex]
et comme
[tex]\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon \log(\epsilon) =0[/tex], alors la limite est , et on a
[tex]<T',\varphi> = \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx - \displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx)[/tex]

Est-ce que vous remarquez des ereurs?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Fred

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Re : questio 5

Bonjour,
j'essaye de calculer la dérivé de log[x| dans [tex]\mathcal{D}'[/tex].

1- Tout d'abord, il n'est pas préciser si c'est [tex]\mathbb{R}[/tex] ou bien[tex] \mathbb{R^*}[/tex], mais à mon avis, c'est   [tex]\mathbb{R^*}[/tex].

A mon avis, c'est plutot [tex]\mathbb R[/tex]

2- On remarque que log[x| est continue sur[tex] \mathbb{R}^*[/tex], elle est donc localement intégrable sur [tex]\mathbb{R^*}[/tex]. C'est une bonne justification?

Sur [tex]\mathbb R^*[/tex] oui, sur [tex]\mathbb R[/tex] non, à cause de ce qui se passe en 0.
Il faut ensuite vérifier que ta fonction est intégrable sur un intervalle contenant 0. Mais tu connais une primitive de la fonction logarithme...

3- Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}*)[/tex]. On a:
[tex]<T,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x|\varphi(x) dx[/tex]

pourquoi [tex] \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx =0[/tex] ?

Ce n'est pas vrai! Mais tu peux écrire directement que
[tex]<T,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x|\varphi(x) dx[/tex]
(l'intégrale entre 0 et l'infini est bien la limite, quand [tex]\varepsilon\to0[/tex], de l'intégrale entre [tex]\varepsilon[/tex] et l'infini.

F.

devil

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Re : questio 5

S'il vous plaît, comment déduire que [tex]log|x|[/tex] et localement intégrable sur tout [tex]\mathbb{R}[/tex]? Quelle est le lien avec la primitive? qui est [tex]1/x[/tex] ou [tex]-1/x[/tex] selon si [tex]x[/tex] est strictement positif ou strictement négatif?

Je vous remercie par avance.

Fred

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Re : questio 5

Fais attention Devil! Tu as des problèmes d'intégration. Hier tu ne savais pas intégrer x^2, aujourd'hui c'est log(x).....
Avant de faire des choses compliquées, il faut savoir faire des choses simples!

Pour montrer que la fonction est intégrable, on peut calculer l'intégrale et démontrer qu'elle est finie.

devil

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Re : questio 5

pardon, c'était  une faute inattention, pardon.

Merci par avance.

Dernière modification par devil (23-01-2016 18:43:22)

devil

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Re : questio 5

Bonjour,
pourquoi utiliser cette écriture
[tex]<T,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x|\varphi(x) dx[/tex]
au lieu de cette écriture
[tex]<T,\varphi>=  [\displaystyle\int_{-\infty}^0 \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \log|x|\varphi(x) dx[/tex]?
Je vous remercie par avance.

Ostap Bender

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Re : questio 5

Difficile de répondre. Ce sont TES écritures, pas les miennes. Je ne sais pas ce que tu veux en faire ! (même si j'ai une petite idée.)

En revanche les valeurs absolues dans les deux écritures me semblent une pure coquetterie.

En tout cas les deux nombres sont égaux.

Ostap Bender