Lunules de Léonard de Vinci [Résolu]

britneyb · 10-04-2007 18:28:38

Bonjour, j'ai un autre petit problème :

1. Dans un cercle de centre O et de rayon "a" est inscrit un carré ABCD.

a. Tracer les demi-cercles de diamètres [AB],[BC],[CD] et [DA] comme indiqué sur la figure. Les surfaces coloriées sont des lunules.

Ca ressemble à sa :

http://perso.orange.fr/debart/histoire/ … hypo_4.gif

b. L'objectif est de démontrer que la somme des aires de lunules es tégale à l'aire du carré.
Pour cela, calculer en fonction de "a".
-le côté et l'aire du carré;
- le rayon et l'aire de chacun des demi-cercles tels que le demi cercle de diamètre [AD].
Par différence, montrer que l'aire de chaque lunules est égale à a²/2. Conclure

Alors voici mon problème, je pense arriver à faire toute la suite une fois que je saurais comment calculer le côté du carré, seulement voilà,après une longue réflexion je bloque toujours pour le côté, ce qui me fait bloquer de partout.

Merci de votre aide par avance !!!!

yoshi · 10-04-2007 19:05:24

Bonsoir,

Encore un problème ???
Décidément, c'est pas ton jour...
Bon, C'est un résultat qu'on peut connaître par coeur, sinon --> Au secours, feu Monsieur Pythagore !!!
d étant le côté du carré, sa diagonale mesure [tex]d \sqrt 2[/tex], et la demi-diagonale :
[tex]a=\frac{d \sqrt 2}{2}[/tex]
et donc
[tex]d=\frac{2a}{\sqrt 2}=a \sqrt 2[/tex]

Voilà, ça devrait suffire, mais tu ne me sembles quand même pas assez réveillée...

@+

[EDIT]
Note bien que je fais ça ainsi parce que la question demande d'abord le côté et après l'aire...
Sinon, je prends le carré comme un losange : Aire = gde diag X petite diag/2 = 2a*2a/2 = 2a²
et
[tex]d=\sqrt{2a^2}=a \sqrt 2[/tex]

britneyb · 10-04-2007 20:12:35

ah oui c'est vrai en + dans mon dernier DM il y avait un exercice où fallait calculer un côté et je n'ai eu aucun problème , mais en fait j'ai des problèmes quand il n'y a pas de chiffres.

Merci !!! donc le côté c'est [tex]a \sqrt 2[/tex]
et l'aire c'est [tex](a \sqrt 2)[/tex]²

Dernière modification par britneyb (10-04-2007 20:12:53)

yoshi · 10-04-2007 20:14:56

oui !

britneyb · 10-04-2007 20:24:09

Donc pour le rayon et l'aire des demi-cercle :

[tex]r=\frac{a \sqrt 2}{2}[/tex]

et l'aire :

[tex]A=\pi \left(\frac{a \sqrt 2}{2}\right)^2[/tex]

Dernière modification par britneyb (10-04-2007 20:24:25)

yoshi · 10-04-2007 20:35:05

Re-Bonsoir,

Attention, hein...

- Il y a un demi-disque de centre, le milieu de [AB], appelons son aire A1...
- Et un quart de disque de centre O, appelons son aire A2..

L'aire du lunule ce n'est pas ni A1-A2, ni A2-A1... D'accord ?
C'est A1 - A3, où A3 est l'aire de la "tranche de disque", en blanc sur ton dessin, de ce morceau qui reste quand tu as enlevé le triangle au quart de disque...

Mais j'en dis trop...

britneyb · 10-04-2007 22:31:45

Oui d'accord mais on demande l'aire des demi-disques (partie coloriés + non coloriés car c'est tels que le demi-cercle de diamètre [AD]) donc le rayon et l'aire de chacun des demi-disques c'est bien ce que j'ai dit non ??

Pour les lunules donc il faut obtenir comme aire a²/2 :

(sur la figure que j'ai dans l'exercice il n'y a pas de triangle, la figure que j'ai donné était à titre indicatif par contre lol)

pour un lunule donc il faut bien faire :

le demi-disque - la petite partie entre le carré et le lunule ?
mais comment on calcule cette partie, oulala je suis totalement perdu

yoshi · 11-04-2007 06:49:29

Bonjour,

Le "lunule" c'est la partie hachurée entre les deux ars de cercle...

Si tu veux comprendre, il te faut refaire le dessin à la main (c'est en Géométrie une façon de "s'approprier" l'énoncé) pour comprendre ce que j'ai dit :
- Prends une feuille de papier quadrillé, une règle et un compas,
- Trace un carré de 6 carreaux de côté..
- Appelle [AB] l'un des côtés, I le milieu de [AB] et O le centre du carré

Maintenant, pour tracer un lunule :
- Tu traces le quart de cercle de centre O (et de rayon OA) --> quart de cercle parce que l'angle [tex]\hat{AOB}[/tex] est un angle droit,
- Tu colories en vert la surface (l'intérieur, si tu préfères) du triangle rectangle AOB
(La vois-tu, maintenant, laissée blanche, cette fameuse surface dont j'ai désigné l'aire par A3 ?)
- Tu traces le demi-cercle de centre I et de rayon IA

Et tu hachures la surface comprise entre les 2 arcs de cercle....

Pour trouver l'aire de cette surface hachurée, il yr faut bien
- calculer l'aire A1 du demi disque de centre I et de rayon IA
- lui soustraire l'aire A3 de la partie blanche (sur le dessin que tu viens de faire) coincée entre le quart de cercle de centre O (et de rayon OA) et le côté [AB] du carré...

Peut-être tes ennuis viennent-ils d'une confusion entre le cercle (la ligne qu'on trace au compas) et le disque (la surface à l'intérieur) ?

Est-ce plus clair cette fois?

britneyb · 11-04-2007 19:46:55

Je crois que je me suis emmélé les pinceaux un peu + qu'avant là
J'ai bien fait le dessin mais par contre je ne comprend toujours pas comment calculer,

en fait le lunule c'est bien la partie en forme de croissant ki est la plus éloigné du centre du carré (par exemple) ???

et pour calculer ce fameux lunule là je ne comprend plus.

yoshi · 11-04-2007 20:38:11

Bonsoir,

Oui le lunule, c'est bien ça..

Reprenons..
Ne t'occupe pas du carré, juste du triangle AOB rectangle en O (repasse-le en jaune), du demi-cercle de centre I (repasse-le en rouge) et du quart de cercle de centre O (repasse-le en vert)...
Reprends le dessin que tu as fait (selon ma suggestion) et munis-toi d'une paire de ciseau..

Découpe le long de [OB] (jaune)
Découpe le long de [OA] (jaune)
Découpe de A à B le long du demi-cercle (rouge) de centre I milieu de [AB]
Tu as maintenant entre les mains une sorte de tranche de tarte ou de camembert... OK ? avec deux côtés [OA] et [OB] jaune, et un demi-cercle rouge... Quant au quart de cercle vert, il est à l'intérieur de ton morceau de camembert...

Découpe maintenant le long de [AB] : tu as maintenant d'une part un triangle rectangle en O (jaune) et d'autre part le demi-disque (avec l'arc de cercle rouge) de centre I milieu de [AB] ([AB] en jaune) ... Toujours ok ?
Et bien pour arriver au lunule (au croissant), tu vas devoir enlever au demi-disque (dont les contours sont rouge et jaune) le morceau coincé entre la corde [AB] jaune et l'arc de cercle (vert) juste au dessus...

Ca y est tu l'as entre les mains ta lunule ?

Aire lunule = Aire demi-disque de centre I milieu de [AB] - (Aire quart de disque de centre O- aire triangle AOB)
Ce que j'ai appelé A3 c'est : Aire quart de disque de centre O- aire triangle AOB..

Suppose que tu dessines un quart de disque et que tu découpes le triangle rectangle, il te reste la partie (en blanc sur ton dessin) et coincée entre l'arc de cercle et sa corde [AB]

Rayon du demi disque de centre I : [tex]r=\frac{a \sqrt 2}{2}[/tex] Aire : [tex]\frac{\pi \times R^2}{2}[/tex]

Rayon du quart de disque : a... Aire du quart de disque [tex]\frac{\pi a^2}{4}[/tex]

OA = OB = a Aire triangle AOB : [tex]\frac{OA \times OB}{2}[/tex]

@+

britneyb · 12-04-2007 01:48:39

Oui j'ai compris maintenant, donc pour l'aire et le rayon des demi-disques j'avais juste.

Donc il faut faire cette opération :
[tex]{{\pi \left({{a \sqrt 2} \over 2}\right)^2} \over 2}-\left({{\pi a^2} \over 4}-{{a^2}\over 2}\right)[/tex]

Après je me perd, je ne sais plus par quoi commencer.

Dernière modification par britneyb (12-04-2007 02:06:47)

yoshi · 12-04-2007 07:23:59

Bonjour,

Attention, tu insistes !!! Il y a un demi-disque et un quart de disque !

Bon, il n'y a pas de quoi être perdue, il faut continuer le calcul...

Tu supprimes les parenthèses précédées d'un moins...

Tu simplifies ta première fraction et tu constates qu'elle est égale à la 2e, elles s'annulent donc

Et comme tu as 4 lunules identiques....

@+

britneyb · 12-04-2007 13:36:06

Désolé pr le latex mais je maîtrise très mal donc voici en normal :

Pi*(2a²/4) / 2 - Pia²+2a²/4
Pia²/2 - Pia²/2

C'est cela ???

Mais vu que ça s'annule je comprends pas...?

Dernière modification par britneyb (12-04-2007 13:42:15)

yoshi · 12-04-2007 15:52:10

Salut,

[tex]A_0={{\pi \left({{a \sqrt 2} \over 2}\right)^2} \over 2}-\left({{\pi a^2} \over 4}-{{a^2}\over 2}\right)={{\pi \left({{2a^2} \over 4}\right)} \over 2}-\left({{\pi a^2} \over 4}-{{a^2}\over 2}\right)[/tex]

[tex]A_0=\frac{\frac{\pi a^2}{2}}{2}-\left({{\pi a^2} \over 4}-{{a^2}\over 2}\right)[/tex]

[tex]A_0=\frac{\pi a^2}{4}-\left({{\pi a^2} \over 4}-{{a^2}\over 2}\right)[/tex]

Et comme ça, tu y vois plus clair ?

@+PS Au contraire, je trouve que tu maîtrises latex pas si mal que ça, et même pas mal du tout...

britneyb · 12-04-2007 17:15:32

Oui je maîtrise un petit peu mais pour faire tout ces calculs je mettais emmélé avec les codes donc j'ai abandonné le latex, mais je reprend de suite !!!

D'accord pour les calcul, c'est plus clair en effet

Donc le résultat :

[tex]A_0=\frac{\pi a^2}{4}-{{\pi a^2} \over 4}+{{a^2}\over 2}[/tex]

[tex]A_0={{a^2}\over 2}[/tex]

D'où le [tex]{{a^2}\over 2}[/tex] qui apparaît dans a consigne

Par contre on me dit : Par différence, montrer que l'aire de chaque lunule est égale à [tex]{{a^2}\over 2}[/tex]. Conclure.

Conclure ??? il y a quoi à dire la dessus ? A part que l'aire d'un lunule est égale a [tex]{{a^2}\over 2}[/tex]

Dernière modification par britneyb (12-04-2007 18:02:11)

yoshi · 12-04-2007 18:21:49

Bonsoir,

C'est sous ton nez !
Quelle est l'aire du carré ?
Combien y a-t-il de lunules identiques ? Quelle est l'aire de toutes les lunules ?

Alors, conclusion ?

@+

britneyb · 12-04-2007 18:57:54

Aire du carré : (aV2)² soit 2a²

Il y a 4 lunules identiques

l'aire des 4 lunules c'est 4a²/2 soit 2a²

ah !!!!!!!!! d'accord !!! Conclusion : la somme des aires des lunules est égale à l'aire du carré.

- Encore un petit problèmes d'aire, j'ai un problème avec la géométrie c'est incroyable ça !!!!!!

Démontrer que la somme des aires des lunules est égale à l'aire du triangle ABC. Pour cela calculer la somme des aires a+b en fonction de AC, la somme c+d en fonction de BC, puis la somme S+a+c en fonction de AC.
En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que : b+d=S

Bon commençons par le commencement !!!

pour calculer a+b il faut faire le théorème de pythagore aussi ?

Dernière modification par britneyb (12-04-2007 19:20:07)

yoshi · 12-04-2007 20:18:32

Bonsoir,

N'oublie pas trop souvent quand même les usages dans les rapports sociaux...

britneyb a écrit :

Pour cela calculer la somme des aires a+b en fonction de AC

Je présume que tu as voulu écrire : en fonction de AB...
C'est pratiquement le même problème, sauf que tu n'auras pas un quart de disque, mais un morceau de disque d'angle inconnu...
Je présume que le centre de chacun des arcs de cercle intérieur est le milieu de [AC] que j'appellerai I.
On a [BI] médiane relative à l'hypoténuse, donc IA = IB = IC = AC/2...

Bon, ceci posé la somme des aires a+b et c+d sont chaque fois les aires des demi-disques respectivement de centre M milieu de [AB] et N milieu de [AC]...
Donc ça, tu sais faire --> voir l'exo précédent...

A priori comme ça, pour la suite j'utiliserais bien, les angles étant exprimés en radians, avec les notations :
[tex]\alpha=\hat{AIB}\;et\;\beta=\hat{BIC}\;sachant que\; \alpha + \beta = \pi[/tex]
les formules suivantes
A1 =Aire triangle AIB + a=[tex]{1 \over 2}IB^2 \alpha[/tex]
et
A2 = Aire triangle BIC + a=[tex]{1 \over 2}IB^2 \beta[/tex]
Sachant en outre que : Aire triangle AIB + Aire triangle BIC = S...
ON additionne A1 et A2, on factorise, on tombe dans la facto sur [tex]\alpha + \beta[/tex] qu'on s'empresse de remplacer par [tex]\pi[/tex]....
Après c'est du bricolage..
Le th de Pythagore intervient probablement parce que AB² +BC² = AC²...

Connais-tu cette formule de calcul d'aire (avec l'angle) ?..
Si oui, mon intuition est bonne...
Si non, je chercheraii une autre piste demain (même si on peut contourner ta non-connaissance éventuelle par un petit calcul de proportionnalité : ça revient au même, mais ça rallonge la sauce...)

@+

PS
Si tu veux afficher tes images, encadre l'url de l'image entre les tags img et /img, ainsi que j'ai modifié ton post...

britneyb · 13-04-2007 02:03:57

Merci pour l'image !! Je ne connaîs pas tout les codes c'est pour cela.

Non je ne connaîs pas cette formule pour calculer les aires avec les angles

Je maintiens en fonction de AC

voici l'énoncé en image :

yoshi · 13-04-2007 07:21:23

Bonjour,

Hier soir, j'ai réinventé la roue !!!
Si l'énoncé avait été complet, ça m'aurait épargné cette peine ! ;-) Bien fait pour moi, si j'avais suivi le conseil que je t'avais donné pour l'exercice précédent, je l'aurais vu ce demi-cercle...
La nuit portant conseil, je m'apprêtais donc à simplifier beaucoup ce que j'avais écrit, et voilà que l'énoncé complet apparaît ! Bon, il y a bien un demi-cercle de diamètre [AC] : puisqu'il est donné, je ne vais pas en apporter la preuve, même en 2/3 lignes de texte...

Bon, reprenons...
L'énoncé, j'en suis désolé pour toi (tu n'y es pour rien) comporte une faute de frappe (même si ça peut se faire aussi comme ça) :
- la somme des aires a + b est bien à à calculer en fonction de AB
- la somme des aires c + d est à calculer en fonction de BC
- la somme des aires S + a + c est bien à à calculer en fonction de AC

Pourquoi est-ce que je suis si sûr de moi ?
Parce qu'on a dans l'ordre :
- le demi-disque de diamètre [AB] dont l'aire a + b calculée en fonction de AB est : ........... (1)
- le demi-disque de diamètre [BC] dont l'aire c + d calculée en fonction de BC est : ........... (2)
- le demii-disque de diamètre [AC] dont l'aire S +a + c calculée en fonction de AC est : .......... (3)

TU peux remarquer encore, si tu n'es toujours pas convaincue, que ci dessus, sont citées les 3 longueurs AB, BC et AC qui serviront ensuite avec l'application du théorème de Pythagore : AB² + BC² = AC²...

Donc, plan :

1. Calculer les aires (1), (2) et (3) demandées. (Il serait plus précis d'employer l'expression "exprimer en fonction de" plutôt que "calculer en fonction de". Le seul calcul à faire : remplacer, dans la formule, [tex]\left({AB \over 2}\right)^2[/tex] par [tex]{AB^2 \over 4}[/tex]). Attention cependant qu'il s'agit là encore de demi-disques...

2. A partir des formules trouvées au point 1., exprimer maintenant AB² en fonction de (a + b), BC² en fonction de (c + d) et AC² en fonction de (S + a + b)

3. Cela fait, dans le théorème de Pythagore AB² + BC² = AC², remplacer AB², BC² et AC² par les expressions trouvées ci-dessus,

4.Simplifier le tout : il ne reste plus que b + d = S...

Voilà,

@+

PS
Pour l'aire (1), si je veux la calculer en fonction de AC, je vais devoir écrire : (AC² - BC²) à la place de AB²
Je vais vérifier le degré de difficulté supplémentaire.

Re-PS : ce n'est pas plus difficile, mais il n'y a plus de théorème de Pythagore à la fin, puisqu'il a été appliqué pour l'aire (1)... Non, décidément, il faut bien calculer a + b en fonction de AB...

britneyb · 13-04-2007 13:02:15

Ah désolé pour l'énoncé, le début ne me semblaît pas utile pour la suite lol
Je confirme pour AC qui est AB !!! Vous avez juste à 100% ! Le grand-père (ancien prof de maths) d'une amie a également dit qu'il y avais une erreur !

a+b : demi-disque...[AB] : (pi*AB²/4)/2 Question : Est-ce nécessaire ?= pi * AB²/8
c+d : demi-disque...[BC] : (pi*BC²/4)/2
S+a+c : demi-disque...[AC] : (pi*AC²/4)/2

Bien, maintenant pour b+d=S.

Donc il faut faire (a+b)+(c+d)-(S+a+c)

En appliquant le théorème de pythagore :

AB²+BC²=AC²
(pi * AB²/8)²+(pi * BC²/8)²=(pi * AC²/8)²

Et là je patauge par contre

Dernière modification par britneyb (13-04-2007 13:40:15)

yoshi · 13-04-2007 16:04:05

Bonjour,

[tex]a + b =\frac{\pi AB^2}{8}[/tex]
on est d'acord...

Mais c'est là que réside le "tour de main"; l'astuce qui t'a échappée !
Tu as zappé le point 2. de mon plan :

2. A partir des formules trouvées au point 1., exprimer maintenant AB² en fonction de (a + b), BC² en fonction de (c + d) et AC² en fonction de (S + a + b)

C'est clair, donc, tu ne peux que patauger...
J'attendais une expression du type [tex]AB^2= \frac{??\times(a+b)}{??}[/tex] où tu dois remplacer les ?? par les éléments qui conviennent...
Idem pour BC² et AC²...

Après et seulement après, tu passes au point 3. : dans l'égalité AB² + BC² = AC², on remplace AB², BC², AC² par leurs expressions trouvées au point 2....

Qu'as(tu fait ? Tu as remplacé AB² par [tex]\frac{\pi AB^2}{8}[/tex]... ce qui n'est pas du tout ce que j'avais dit !

Allez, hop, au boulot..

Reviens me (nous) faire de tes avancées...

britneyb · 13-04-2007 18:17:00

AH !!! Et la lumière fût, faut-il encore qu'elle fonctionne bien...
je propose :

[tex]AB^2= \frac{\pi \times(a+b)}{8}[/tex]

Mais je doute de la justesse de cette réponse...

yoshi · 13-04-2007 18:29:13

B'soir,

Oui, tu as raison de douter ! Mais ce n'est pas loin...
Bon, à partir de
[tex]a + b =\frac{\pi AB^2}{8}[/tex]
comment isoler AB² ?

Déjà dans la formule AB² est divisé par 8, si je ne veux plus de ce "sur 8" que dois-je faire aux deux membres de l'égalité ?
Ensuite AB² est multiplié par [tex]\pi[/tex], que dois- je faire aux deux membres de l'égalité pour que ce 'fois [tex]\pi[/tex] "disparaisse" aussi ?

Allez, tu touches au but !

britneyb · 13-04-2007 18:49:38

Ah oui !!! j'ai inverser non ?

C'est pas plutôt :

[tex]AB^2= \frac{8 \times(a+b)}{\pi}[/tex]

[tex]BC^2= \frac{8 \times(c+d)}{\pi}[/tex]

[tex]AC^2= \frac{8 \times(S+a+c)}{\pi}[/tex]

Dernière modification par britneyb (13-04-2007 18:51:20)

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#1 10-04-2007 18:28:38

Lunules de Léonard de Vinci [Résolu]

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