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SuperCage

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Système EDP, différences finies

Bonjour,

Mon problème se trouve dans la compréhension du sujet d'agrégation de modélisation calcul scientifique de 2008. Je comprends à peu près comment trouver la consistance et la stabilité d'un schéma numérique, mais là je suis perdue.
J'ai pas une fonction, mais deux fonctions. Du coup il n'y a pas une équation, mais deux ! J'ai fait pleins de recherche sur le net et je ne trouve rien, je me tourne donc vers votre sagesse !
Par exemple pour la consistance d'un schéma numérique, on prend une fonction C-infini et on utilise Taylor pour trouver l'ordre. Mais je ne vois vraiment pas comment faire quand il y a deux inconnus.
S'il vous plaît aidez moi ! Je ne comprends vraiment pas... Merci d'avance !

Cordialement,
Marion

Roro

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Re : Système EDP, différences finies

Bonsoir Marion,

Sans plus d'indication sur ton sujet précis, il est difficile de te répondre !
Il n'y a pas un unique sujet pour cette épreuve en 2008...
Que sont ces deux inconnues ? De quel type d'EDP est-il question ?

Roro.

Dernière modification par Roro (10-01-2016 19:31:10)

SuperCage

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Re : Système EDP, différences finies

Bonsoir Roro,

Merci de ta réponse, et désolée de ne pas avoir été précise sur ma question!
C'est le sujet sur un modèle de transport-diffusion-réaction d’anticorps dans une tumeur.
Le Système consiste à trouver deux fonctions c et s définies sur [O,M]x[O,T] solutions de :
[tex]
w\frac{\partial c}{\partial t} + u\frac{\partial c}{\partial x} -v\frac{\partial ²c}{\partial x²}=-kcs
[/tex]
[tex]
\frac{\partial s}{\partial t}=-pkcs
[/tex]
Avec des conditions aux bords, et w, u , v des constantes.

Ils proposent donc un premier schéma

[tex]
w\frac{c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\delta_{t}}+u\frac{c_{j}^{n}-c_{j-1}^{n}}{\delta_{x}}-v\frac{c_{j+1}^{n}-2 c_{j}^{n}+c_{j-1}^{n}}{\delta_{x^{2}}} = -k c_{j}^{n}s_{j}^{n}
[/tex]
[tex]
\frac{s_{j}^{n+1}-s_{j}^{n}}{\delta_{t}}=-p k c_{j}^{n}s_{j}^{n}
[/tex]

Je voudrais vérifier la stabilité et la consistance de ce schéma, mais le fait d'avoir un système et deux inconnus me perturbe.
Merci !

SuperCage

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Re : Système EDP, différences finies

Est ce que quelqu'un aurait une idée pour m'aider s'il vous plaît?

freddy

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Re : Système EDP, différences finies

Salut Marion (j'ai l'impression de parler à ma fille :-))

un principe simple sur ce site : quand quelqu'un a une réponse, il n'attend pas longtemps pour la donner.
Tant qu'on ne l'a pas, on cherche, du moins ceux qui se sentent le plus apte à le faire (car tu es dans un domaine qui n'est pas la spécialité de tout le monde ... ).
En attendant, faut attendre ... et continuer à chercher soi-même.

Roro

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Re : Système EDP, différences finies

Bonsoir Marion,

Le fait qu'il y ait deux inconnues ne doit pas te perturber car les méthodes habituelles pour montrer la convergence et la stabilité peuvent être utilisées dans des cadres assez larges.
En particulier, tu pourrais dire qu'il n'y a qu'une seule inconnue : le couple [tex](c,s)[/tex]...

En gros, tu fais comme d'hab. Par exemple pour la consistance, tu prends ton schéma et tu remplaces [tex]c_j^{n+1}[/tex] par [tex]c(n\delta t + \delta t,j\delta x)[/tex],... où [tex]c[/tex] est la solution exacte de ton problème (pareil pour [tex]s[/tex]...). Tu utiles les formules de Taylor et tu devrais en déduire la consistance (et même l'ordre du schéma en temps et en espace).

Roro.

Dernière modification par Roro (12-01-2016 21:09:46)

SuperCage

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Re : Système EDP, différences finies

Bonjour Roro!

Du coup je prends deux fonctions [tex]\phi[/tex] et [tex]\psi[/tex] assez régulières et solutions du système? Mais je comprends pas, il y aura un ordre pour c et un autre pour s?
Comme je ne savais pas quoi faire, j'ai fait comme si s était une constante pour la première équation, et je trouvais un ordre 1 en temps et 2 en espace, et après j'ai fait la même chose avec le deuxième schéma pour s. Mais j'imagine que c'est pas ça finalement..

Pareil pour la stabilité, j'ai essayé en faisant comme ci s n'existais pas, mais je n'aboutissais pas.

SuperCage

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Re : Système EDP, différences finies

Pour la stabilité, la seule façon que je sais faire est de poser [tex]u_{j}^{n}=exp(i*k*x_j)[/tex] et de chercher g tel que [tex]u_{j}^{n+1}= g . u_{j}^{n}[/tex], et [tex]\mid g\mid \leq 1[/tex]
Je ne vois pas du tout comment appliquer cette méthode à ce schéma là...