Exercice de Géométrie avec des fonctions

britneyb · 10-04-2007 13:44:10

Bonjour, j'ai un petit problème en maths, ce serait gentil de m'aider,

Soit ABC un triangle rectangle isocèl en A et D le milieu du segment [AB].

On considère un point M mobile sur le segment [AC]. La parallèle à [AB] passant par M coupe le segment [BC] en P.

On suppose que AB = 10 et on pose CM = x

Voici l'image de la figure : http://img90.imageshack.us/img90/9900/fig1lm2.jpg

1. a) Démontrer que MP = x.
b) Démontrer que l'aire "a" du quadrilatère ADPM se calcule par la formule a = 1/2 (x+5)(10-x).

2. On verra plus tard (partie avec les fonctions); déjà je voudrais savoir comment faire (quel protocole ?) pour démontrer que MP = x et idem pr le b) ??

MERCI par avance à l'aide que l'on me fournira ;)

Dernière modification par britneyb (10-04-2007 16:40:32)

yoshi · 10-04-2007 16:05:47

Bonjour,

a) Plusieurs pistes possibles (au choix) :
- le théorème de Thalès
- les triangles semblables (CMP et CAB)
- Une Homothétie de centre C
- les angles [tex]\hat{CPM}\;et\;\hat{CBA}[/tex] sont correspondants avec (MP)//(AB) donc égaux De plus les deux triangles ACB MCP ont un angle commun et CAB est isocèle de sommet principal A... La conclusion n'est pas bien loin...
b) Plusieurs solutions aussi (au choix) :
- le calcul direct : dans le cas général, ton quadrilatère est un trapèze dont les bases sont [AD] et [MP] et la hauteur [AM] : tu exprimes AM en fonction de x, tu connais AD et MP... L'aire du trapèze est 1/2 X (gde base + petite base) X hauteur
- tu peux t'embêter au découpage : calculer l'aire du tr rect CPM, celle du tr DPB et les enlever à celle de CAB

@+

britneyb · 10-04-2007 16:39:42

Bonjour,

yoshi a écrit :

a) Plusieurs pistes possibles (au choix) :
- les angles [tex]\hat{CPM}\;et\;\hat{CBA}[/tex] sont correspondants avec (MP)//(AB) donc égaux De plus les deux triangles ACB MCP ont un angle commun et CAB est isocèle de sommet principal A... La conclusion n'est pas bien loin...
b) Plusieurs solutions aussi (au choix) :
- le calcul direct : dans le cas général, ton quadrilatère est un trapèze dont les bases sont [AD] et [MP] et la hauteur [AM] : tu exprimes AM en fonction de x, tu connais AD et MP... L'aire du trapèze est 1/2 X (gde base + petite base) X hauteur

D'accord le b) c'est compris et rédigé, je n'avais pas remarquer le trapèze; pour le a), je préfère prendre la dernière solution, mais dites moi si j'ai juste s'il vous plait :

je reprend le milieu du résonnement : Dc les 2 triangles ACB et MCP ont l'angle C en commun. CAB étant un triangle isocèle en A, les angles [tex]\hat{ACB}\;et\;\hat{ABC}[/tex] sont égaux (???). Donc [tex]\hat{CPM}\;et\;\hat{ACB}[/tex] sont égaux. (?)
Mais après je ne sais pas comment dire que MP = x ???

yoshi · 10-04-2007 18:12:53

Salut,

Ben oui, c'est juste, tu as deux angles égaux à un même troisième : ils sont égaux entre eux. Bien sûr que la solution des angles correspondantes était tentante : ces deux questions a) et b) sont accessibles à des 3e (angles correspondants : 5e... mais c'est loin...) !
Et tu trouves pas la suite ????
M'enfin, c'est quelle sorte de triangle, le triangle MPC qui a deux angles égaux ({tex]\hat{MCP} et {MPC}[/tex] ???
Donc, ensuite la conclusion s'impose...

En fait, je viens de me rendre compte qu'on pouvait faire un "bête" calcul d'angle :
ABC rectangle isocèle donc ses deux angles aigus valent 45 °, MCP triangle rectangle en M, avec l'angle de sommet C qui mesure 45°, donc l'autre angle aigu, de sommet P, mesure aussi 45°...
ET on en revient à : donc le triangle MPC est un triangle rectangle et .....
Donc ses côtés [MC] et [MP] ont la même............., donc ...........

@+

britneyb · 10-04-2007 18:34:27

MAIS C'EST BIEN SÛR !!!!!

Désolé je dors vraiment debout, c'est tellement évident que je suis complètement aveugle, ou alros amnésique au choix...

MP=x finalement c'était vraiment super super simple
je suis nul c'est incroyable ça !

merci de m'avoir "éclairé", heureusement ça ma en quelque sorte "secoué".

Pour le 2 par contre, en fait c'est la question que je ne comprend pas :

2. Soit f la fonction qui à x associe l'aire "a" du quadrilatère de ADPM.
a) Quel est l'ensemble de définition de f ? Justifier la réponse.

(Comment trouver cet ensemble de définition ? je ne vois pas)

Quel est l'expression de f(x) ?

yoshi · 10-04-2007 18:56:05

Bonsoir,

Tout est dans la question : on appelle f la fonction qui à x associe l'aire A (que tu as calculée)...
x est l'antécédent et f(x), l'image, c'est l'expression ci-dessus de l'aire A en fonction de x...
Pas de quoi fouetter un chat (d'abord la SPA n'aimerait pas... et le chat on plus !)...

Domaine de définition ? Raaahh ! Ca te crève les yeux..
Un domaine de définition, on va dire que c'est un intervalle avec une borne inférieure et supérieure, s'pas ?
Alos x c'est AM certes, mais aussi MP, et MP ne peut pas prendre n'importe quelles valeurs...
Regarde ton dessin, imagine que tu balades M sur [AC], que devient la longueur MP ?

@+

britneyb · 10-04-2007 19:54:10

Alors x c'est AM certes, mais aussi MP, et MP ne peut pas prendre n'importe quelles valeurs...
Regarde ton dessin, imagine que tu balades M sur [AC], que devient la longueur MP ?

AM=x ????? ah moins que je me sois tromper quelque part c'est pas AM, c'est bien MC=MP=x ??

ben si on balade M sur [AC] la longueur MP grandira ou réduira

par contre pour trouver l'ensemble je ne comprends toujours pas, comment trouver cet ensemble, avec la formule A qu'on a trouver au dessus ?? Et comment on s'en sert alors ?

a+

yoshi · 10-04-2007 19:59:51

Bonsoir,

D'ac ! x c'est CM (pas AM, t'as raison) et MP (je réponds pas avec le dessin sous le nez ) ! désolé !
La longueur MP (et donc x) varie entre quelles valeurs extrêmes ?
1. c'est une longueur ! donc minimum .. (borne inférieure de ton domaine de déf.)
2. Le point M ne sortira pas de [CA], et donc la longueur MP n'ira pas au delà de .. (borne supérieure de ton domaine de déf.)

On va encore essayer autrement...
Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A, donc CA = AB = ....
Et M peut prendre toutes les positions possibles entre C et A compris., et donc CM, c'est à dire x, toutes les valeurs possibles entre .. et ...

ICi, pour ton domaine de définition, tu n'as pas besoin de connaître f(x) tu as juste besoin de savoir que M se balade sur CA...
Le domaine de définition d'une fonction f(x), c'est l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable x.

C'est mieux comme ça ?

britneyb · 10-04-2007 20:17:48

Oui c'est mieux

Donc l'ensemble de définition c'est [0;10] ? (les crochet sont bien dans ce sens ?])

Pour la justification c'est bon j'ai saisi
Et par contre pour l'expression de f(x) je replonge dans le noir
f(x) doit être égale à quelque chose c'est bien ça ?

yoshi · 10-04-2007 20:23:08

OUI !
f(x) n'est rien d'autre que l'aire calculée, relis ce que je t'ai dit :

on appelle f la fonction qui à x associe l'aire A (que tu as calculée)...
x est l'antécédent et f(x), l'image, c'est l'expression ci-dessus de l'aire A en fonction de x...

Autrement dit :
[tex]f(x)=\frac{(x+5)(10-x)}{2}[/tex]

Vala, vala...

britneyb · 10-04-2007 20:34:18

Et si je veux tracer une représentation graphique de cette fonction il faut que je fasse comment ? car c'est la première fois que j'ai un question me disant de tracer la fonction f avec une fonction aussi "compliqué" ?

yoshi · 10-04-2007 20:57:48

Ben tu fais ça point par point...

Tu prends ton tableur préféré (ou ta calculette) et tu établis un tableau de valeurs :
x sur une ligne, f(x) ,( ici j'écris y pour l'alignement vertical...) sur l'autre :
x 0 |0,5 |1 |1,5 |2 |2,5....10
y 25
Tu vas de 0,5 en 0,5 pour x --> tu auras tout une série de coordonnées qui vont te donner des points à placer sur ton graphique
on voit que
f(0) = 25 : ton trapèze est devenu un triangle, le triangle CAD--> Point (0;25)
f(10) = 0 : ton trapèze n'existe plus --> Point (10;0)

La forme simplifiée (aorès développement et réduction) de f(x) est
[tex]f(x)={-}\frac{x^2}{2}+\frac{5x}{2}+25[/tex]
Tu vas avoir un morceau de parabole : un morceau de courbe montant doucement et régulièrement (pas en ligne droite, hein !) de (0 ; 25) à (2,5 ; 28,125)... 28,125=28+1/8,
puis redescendant régulièrement et bien plus vite jusqu'au point (10 ; 0)
c'est pour ça que je t'ai fait prendre des valeurs de 0,5 en 0,5 pour x afin que tu ne traces pas de ligne droite...
il faut relier tes 21 points avec une légère courbure de façon à ce qu'il n'y ait pas d'angle, mais une continuité...
Il faudrait que je te mette une image...
Mais tu peux l'avoir avec ta calculette graphique ou ton tableur si tu sais faire...
Moi, je me sers d'un "grapheur", gratuit, sur mon ordi, où je rentre la formule de f(x) et il me donne la courbe...

A demain, si nécessaire...

Sinon, peut-être ce soir qqun prendra-t-il la suite.

@+

britneyb · 10-04-2007 23:23:50

Merci j'ai réussi a tracer la courbe avec l'aide de la calculatrice graphique !!
Il fallait bien les 21 points pour qu'elle soit mieux en effet.

3. a) Montrer que, pour tout réel x de [0;10], [tex]f(x)={-}\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{225}{8}[/tex]

Il faut développé l'aire initiale pour obtenir ce résultat ou faire autre chose ??? j'ai essayer mais le résultat ne ressemblait pas du tout à sa...

Dernière modification par britneyb (10-04-2007 23:24:51)

yoshi · 11-04-2007 07:48:38

Bonhour,

Pour cette question, si tu n'as fait quelques exos préliminaires en classe, pour moi, c'est clairement une tentative de meurtre...

1.Donc, on va supposer que tel est effectivement le cas et t'offrir un gilet pare-balles !
On prend un exemple "simple", on respire un grand coup et on y va...
Considérons l'expression [tex]x^2-6x+9[/tex]
Qu'est-ce que tu peux en dire, si tu veux la factoriser ?
Que c'est une..................
Oui, bien sûr, tu n'as pas oublié ton programme de 3e :
[tex]x^2-6x+9=x^2-2\times x \times 3+3^2=(x-3)^2[/tex]
Jusque là ça va ? Alors vérifie si tu as bien bouclé ta ceinture, et si le masque à oxygène fonctionne on prend de la hauteur !
Je peux donc ajouter -9 de chaque côté et écrire :
[tex]x^2-6x+9=(x-3)^2\;donc\;x^2-6x=(x-3)^2-9[/tex]
Ca veut donc dire que n'importe quelle expression du type [tex]ax^2-bx[/tex] peut s'écrire sous cette forme.
Encore un exemple en partant du début :
[tex]x^2-10x+25=x^2-2\times x \times 5+5^2=(x-5)^2\;donc\;x^2-10x=(x-5)^2-25[/tex]

Et si je pars d'un peu plus loin ?
[tex]x^2-12x=?[/tex]
Et bien, pense à faire apparaître le double produit :
[tex]x^2-12x=x^2-2\times6x[/tex]
Et donc :
[tex]x^2-12x=x^2-2 \times x \times 6=(x-6)^2-6^2=(x-6)^2-36[/tex]
Parce que :
[tex]x^2-2bx=x^2-2 \times x \times b=(x-b)^2-b^2[/tex]
Autre exemple :
[tex]x^2-14x=x^2-2 \times x \times 7=(x-7)^2-7^2=(x-7)^2-49[/tex]

Bon, tout ça, c'était simple parce que [tex]12x[/tex] ou [tex]14x[/tex] c'était pair... et si j'écris [tex]7x[/tex] ou [tex]5x[/tex]?
[tex]7x = 2 \times \frac{7x}{2}= 2\times x \times \frac{7}{2}[/tex]
Donc :
[tex]x^2-7x=x^2-2\times x \times \frac{7}{2}=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\left(\frac{7}{2}\right)^2=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{49}{4}[/tex]

De même :
[tex]5x = 2 \times \frac{5x}{2}= 2\times x \times \frac{5}{2}[/tex]
et :
[tex]x^2-5x=x^2-2\times x \times \frac{5}{2}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}[/tex]

2. Bon alors si tu as compris ça, revenons à ton exercice...
Voilà ce que tu vas devoir faire :
* Ecrire f(x) ainsi : [tex]f(x)={-}\frac{x^2}{2}+\frac{5x}{2}+25={-}\frac{x^2}{2}+\frac{5x}{2}+\frac{50}{2}[/tex]...
* Mettre [tex]{-}{1 \over 2}[/tex] en facteur... Coucou, que vois-tu dans ta parenthèse ? Mais [tex]x^2-5x[/tex] bien sûr ! D'ailleurs au lieu de parenthèses, mets plutôt des crochets, ce sera plus clair pour la suite..
* Donc dans tes crochets tu remplaces le [tex]x^2-5x[/tex] ainsi que je te l'ai montré plus haut...
* Tu mets le [tex]{-}{25 \over 4}-25[/tex] au même dénominateur, tu calcules et tu tombes sur le 225 demandé
* Il ne reste plus qu'à remultiplier le crochet par [tex]{-}{1 \over 2}[/tex] : tu le laisses devant la parenthèse au carré, et tu effectues par contre la multiplication [tex]{-}{1 \over 2}\times{-}{225 \over 4}[/tex]

Voilà, c'est fini...

britneyb · 11-04-2007 19:34:28

Comme dirais un américain du Sud : OH MY GOSH !!

J'ai compris en gros.

Seulement dans votre 2. purquoi f(x) est devenu -x/2 +...............?????
Qu'est devenu f(x) initial ?

yoshi · 11-04-2007 20:03:00

Bonsoir,

Ainsi que je l'ai écrit hier, après développement et réduction, on constate que :
[tex]f(x)=\frac{(x+5)(10-x)}{2}={-}\frac{x^2}{2}+\frac{5x}{2}+25[/tex]
C'est bien ça que tu voulais savoir ?

Comprendre "en gros" n'est pas suffisant : il faut comprendre pour pouvoir refaire au cas où te le demanderait...

J'ai ce qu'il faut en exercices et corrigés pour s'entraîner au point 1. de mon post... Seulement, c'est au format .odt (open document) de la suite bureautique Libre et gratuite OpenOffice.org... Je ne sais pas quelle qualité aurait la conversion au format .doc (de Word) our .RTF (lisible par tous, celui-là)...
Mon point 1. n'est là que pour t'expliquer (longuement) ce qu'on va bricoler en 3 lignes dans le point 2.

C'est d'apparence plus impressionnante que ça ne l'est en réalité...

@+

britneyb · 12-04-2007 00:15:51

J'ai compris !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Finalement c'était pas bien compliqué il suffisait de la méthode (qu'il me manquait) et de l'huile de coude.................

Donc cela donne ça :

[tex]f(x)={-}\frac{x^2}{2}+\frac{5x}{2}+25[/tex]
[tex]={-}\frac{x^2}{2}+\frac{5x}{2}+\frac{50}{2}[/tex]
[tex]={-}{1 \over 2}{[x^2}{-}{5x}{-}{50]}[/tex]
Bref après la transformation que j'ai mise sur papier :
[tex]={-}{1 \over 2}{[\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}{-}{50]}[/tex]
[tex]={-}{1 \over 2}{[\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{225}{4}][/tex]
[tex]={-}{1 \over 2}{\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{225}{8}[/tex]

Dernière modification par britneyb (12-04-2007 00:17:14)

britneyb · 12-04-2007 00:55:33

Bon ensuite il fallait montrer que le maximum de f est 225/8 en précisant la valeur de x (valeur où il est atteint).

J'ai prouvé que c'était ça et que la valeur c'était x=2.5

et la dernière question je ne sais pas si je l'ai compris correctement :

Déterminer les positions de M pour lesquelles l'aire du quadrilatère ADPM est égale à 25cm².

il faut déterminer où le point M doit être placer sur AC pour que l'aire hachuré fasse 25cm² c'est tout ???

Donc cela revient à résoudre l'équation (x+5)(10-x) / 2 = 25
ce qui donne au final x=0 ou x=5

C'est cela ???

Donc M doit être placé à 0 ou 5 cm sur [AC].

FIN de l'exercice !!!!

Dernière modification par britneyb (12-04-2007 01:14:18)

yoshi · 12-04-2007 06:59:03

Bonjour,

C'est parfait...
Tu peux vérifier sur ton graphique que si ti traces la droite d'équation y=25, tu trouves deux abscisses qui correspondent (symétriques par rapport à la droite d'équation x = 2,5 qui passe par le sommet S(2,5 ; 28,125) de ta courbe) x = 0 et x=5 !

Tu peux affiner la réflexion géométrique en disant que pour
x = 0 ton quadrilatère DPMA se réduit au triangle ACD dont l'aire est la moitié de celle du triangle ABC puisque D milieu de [AB]
x = 5 M est le milieu de [AC] et le quadrilatère DPMA est un carré de côté 5, donc aire = 25 cm²...

Heureux de ton enthousiasme !

britneyb · 12-04-2007 13:43:48

D'accord ! MERCI !!!
Exercice résolu donc.

yoshi · 12-04-2007 15:59:24

Tout à fait !

Sonnez trompettes !!!!!...

yoshi · 12-04-2007 16:00:01

Tout à fait !

Sonnez trompettes !!!!!...

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