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convergence

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localement compacte

Salut, j'ai [tex]E[/tex] un espace localement compact, et [tex]x\in E[/tex] et soit [tex]U[/tex] un ouvert contenant [tex]x[/tex] le but est de montrer l'existence d'un ouvert relativement compact inclus dans [tex]U[/tex].

Il et dit: "comme [tex]E[/tex] est relativement compact [tex]x[/tex] possède un voisinage [tex]W[/tex] compact il existe alors un ouvert [tex]\Omega[/tex] tel que [tex]x\in \Omega\subset W\cap U[/tex]

considérons  [tex]A= W\setminus \Omega[/tex] alors A est fermé dans W est donc compact , alors il existe deux ouverts [tex]U_1, U_2[/tex]
tel que [tex]A\subset U_1[/tex] et [tex]x\in U_2\subset \Omega[/tex] tel que [tex]U_1\cap U_2=\emptyset[/tex]

donc [tex]U_1\cap\overline{U_2}=\emptyset[/tex] et [tex]\overline{U_2}\subset W\cap U\subset U[/tex], [tex]U_2[/tex] est l'ouvert que l'on recherche."

Je ne comprend pas d’où vient l'existence de [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex], et pourquoi [tex]\overline{U_2}\subset W\cap U[/tex]

Merci

Fred

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Re : localement compacte

Bonjour,

  Difficile de répondre à cette question sans avoir tout le contexte....
J'imagine qu'ailleurs dans ta référence, on démontre un théorème de séparation de compacts dans un espace séparé :
"Si A et B sont deux parties compactes d'un espace séparé, il existe deux ouverts U et V tels que [tex]A\subset U,\ B\subset V, U\cap V=\varnothing[/tex]."

Je suis à peu près sûr que ceci est démontré dans le chapitre sur la compacité.

F.

convergence

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Re : localement compacte

Oui c'est exacte, mais la il sépare [tex]A[/tex] qui est compact avec [tex]\Omega[/tex] qui est ouvert

Fred

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Re : localement compacte

Non, il sépare A et {x}.

convergence

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Re : localement compacte

Ah ok, et pourquoi [tex]\overline{U_2} \subset W\cap U[/tex] s'il vous plait

On a que [tex]U_2\subset \Omega\subset W\cap U[/tex] donc [tex]\overline{U_2}\subset \overline{W\cap U}\subset \overline{W}\cap\overline{U}=W\cap \overline{U}[/tex]

je ne comprend pas pourquoi [tex]\overline{U_2}\subset W\cap U[/tex]

merci.

Dernière modification par yoshi (04-01-2016 12:42:15)

convergence

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Re : localement compacte

finalement c'est facile, on a [tex]U_1\cap\overline{U_2}=\emptyset[/tex] donc [tex]\overline{U_2}\subset W\setminus U_1\subset W\setminus(W\setminus\Omega)=\Omega[/tex]

Dernière modification par convergence (05-01-2016 11:20:16)