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neodole

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Série de Fourier

Bonjour,

Je rencontre un problème sur un exercice sur les Séries de Fourier.

On considère une fonction [tex] 2\pi[/tex]- périodique définie par:
[tex]g(x)=0[/tex] pour x appartenant à l'intervalle [[tex] -\pi[/tex]; 0 ]
[tex]g(x)=sin(x)[/tex] pour x appartenant à l'intervalle [ 0 ; [tex] \pi[/tex]]

Question "stupide": dans l'énoncé, les intervalles sont marqués ([tex] -\pi[/tex]; 0 ] et ( 0 ; [tex] \pi[/tex]]....les parenthèses au lieu des crochets sont des erreurs de syntaxe ou ont-elles une signification...c'est la première fois que je vois ce type de notation.

1) Déterminer la série de Fourier trigonométrique S(g) de g.

J'obtiens:
[tex]a_0=\frac{1}{\pi}[/tex]

[tex]a_n=-\frac{(-1)^{1+n}-1}{2\pi.(1+n)}-\frac{(-1)^{1-n}-1}{2\pi.(1-n)}[/tex]

d'où on peut en déduire que:
pour n impaire:
[tex]a_n=0[/tex]
pour n=2p paire:
[tex]a_p=-\frac{2}{\pi.(4p²+1)}[/tex]

Jusque là, j'ai pas rencontré de problème. Par contre, là où ça se complique pour moi c'est lors du calcul de bn.

[tex]b_n=\frac{1}{\pi}.\int_0^{\pi}\,sin(x).sin(nx)\,dx[/tex]
[tex]b_n=\frac{1}{2\pi}.\int_0^{\pi}\,(cos(x(1-n))-cos(x(1+n)))\,dx[/tex]
...
[tex]b_n=\frac{1}{2\pi(1-n)}.[sin(x(1-n))]_0^{\pi}-\frac{1}{2\pi(1+n)}.[sin(x(1+n))]_0^{\pi}[/tex]

[tex]b_n=0[/tex]

Voilà mon problème, je trouve 0 alors que d'après la correction de l'exercice, je devrais avoir un résultat différent et je ne comprends pas pourquoi. Ça me semble pourtant évident.

Si quelqu'un peut m'expliquer, ça serait très sympa.

Merci d'avance et bonnes fêtes de fin d'années.

Neodole

Ostap Bender

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Re : Série de Fourier

Bonsoir Neodole,

Pour commencer, trouver [tex]b_1 = 0[/tex] ne parait pas réaliste.

Ostap Bender.

neodole

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Re : Série de Fourier

Bonsoir Ostap,

Oui effectivement.

Si je considère la formulation suivante de bn:
[tex]b_n=\frac{1}{2\pi}.\int_0^{\pi}\,(cos(x(1-n))-cos(x(1+n)))\,dx[/tex]

J'obtiens en considérant n=1:
[tex]b_1=\frac{1}{2}[/tex]

Pour tout n supérieur ou égale à 2, on a:
[tex]b_n=0[/tex]

Là, où je ne comprends pas, c'est que si j'intègre bn en fonction de n, j'obtiens:

[tex]b_n=\frac{1}{2\pi(1-n)}.[sin(x(1-n))]_0^{\pi}-\frac{1}{2\pi(1+n)}.[sin(x(1+n))]_0^{\pi}[/tex]

[tex]b_n=\frac{1}{2\pi(1-n)}.(sin(\pi(1-n))-sin(0))-\frac{1}{2\pi(1+n)}.(sin(\pi(1+n))-sin(0))[/tex]

Or

[tex]sin(0)=0[/tex]
et pour tout n,
[tex]sin(\pi(1-n))=sin(\pi(1+n))=0[/tex]
(c'est là que je dois me tromper mais pourquoi ????)

d'où
[tex]b_n=0[/tex]

@+
Neodole

Dernière modification par neodole (30-12-2015 20:03:32)

Ostap Bender

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Re : Série de Fourier

Hmm.

Soit [tex]f(x) = g(x) - \sin x[/tex].
1/ Qu'est-ce que cette égalité entraîne pour les coefficients de Fourier de [tex]f[/tex] et de [tex]g[/tex] ?
2/ Quelle autre relation (simple) peux-tu trouver entre [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] ?
3/ Qu'est-ce que cette autre égalité entraîne pour les coefficients de Fourier de [tex]f[/tex] et de [tex]g[/tex] ?
4/ Conclusion.

Ostap Bender.

neodole

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Re : Série de Fourier

Je ne vois pas où tu veux en venir.

Pour moi, les coefficients de Fourier de f et de g sont les mêmes...

@+

Fred

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Re : Série de Fourier

Juste une remarque. Les parenthèses pour les intervalles sont la notation anglo saxonne pour les intervalles ouverts.

Ostap Bender

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Re : Série de Fourier

Les coefficients de Fourier de [tex]f[/tex] et de [tex]g[/tex] sont les mêmes ? Tous ? Vraiment tous ?

Quand tu auras répondu à la question 4, tu sauras où je veux en venir !

Ostap Bender.

neodole

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Re : Série de Fourier

Bonjour Ostap,

Oui effectivement les coefficients de f et de g ne sont pas tous les mêmes. Les an sont identiques, en revanche bn est différent puisque
b1(f)=-b1(g).

J'en déduit que:
S(f)=S(g)-sin(x)

et ensuite...j'ai sincèrement l'impression de m'éloigner du problème.

Bonne fête de fin d'année.

neodole

neodole

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Re : Série de Fourier

Salut Fred,

Merci pour cette précision sur la notation anglo-saxonne des crochets.

Bonne fête de fin d'année

Neodole

Ostap Bender

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Re : Série de Fourier

Hum ! Hum !

1/ Puisque [tex]f(x) = g(x) - \sin x[/tex], on a [tex]\forall n\in\mathbb N,\;a_n(f) = a_n(g)[/tex] et [tex]\forall n>1,\;b_n(f) = b_n(g)[/tex].
En revanche, [tex]b_1(f) = b_1(g) - 1[/tex]. C'est soit du bon sens, soit un calcul d'intégrale à deux balles.

2/ On a [tex]f(x) = -g(-x)[/tex].

A toi pour le 3/ et 4/

Ostap Bender

neodole

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Re : Série de Fourier

Ostap,

Merci pour ton aide. J'ai enfin compris et je pense que tu n'as pas saisi d'où venait mon incompréhension.

En posant bn, j'ai développé l'intégrale et j'en ai déduit ceci:
[tex]b_n=\frac{1}{2\pi(1-n)}.(sin(\pi(1-n))-sin(0))-\frac{1}{2\pi(1+n)}.(sin(\pi(1+n))-sin(0))[/tex]

Or

[tex]sin(0)=0[/tex]
et pour tout n,
[tex]sin(\pi(1-n))=sin(\pi(1+n))=0[/tex]

donc bn=0

Ce que je n'avais pas vu, c'est la condition sur la valeur de n. La valeur de bn est nulle pour n strictement supérieur à 1 puisqu'au dénominateur nous avons (n-1) et donc n ne peut pas prendre la valeur de 1.

Pour déterminer b1, je dois remplacer n par 1 dans la formulation de départ:
[tex]b_n=\frac{1}{2\pi}.\int_0^{\pi}\,(cos(x(1-n))-cos(x(1+n)))\,dx[/tex]

Ce qui permet d'obtenir:
[tex]b_1=\frac{1}{2}[/tex]

et voilà c'est tout...je n'avais pas vu que le dénominateur de bn m'empêchait de considérer la valeur de 1 pour n....stupide mais bloquant puisque je considérais bn nulle quelques soit la valeur de n.....ce qui est faux et rend la série de Fourier fausse par la même occasion.

Voila en tout cas merci pour ton aide et surtout bon réveillon.

@ 2016
Neodole

Ostap Bender

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Re : Série de Fourier

Bonsoir,

Mon petit programme était conçu pour te faire retrouver ton résultat  sur les [tex]b_n(g)[/tex]sans (trop de) calcul.
En effet je pensais que tu avais un doute pour [tex]n>1[/tex].

Bonnes fêtes à toi aussi.

Ostap Bender.