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#1 24-12-2015 18:53:29
- convergence
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Fonction croissante
Bonsoir,
J'ai une petite question si [tex]f[/tex] est une fonction continue est ce qu'on a [tex]x\geq y \Longleftrightarrow f(x)\geq f(y)[/tex]
25.12.2015: je viens de me rendre compte que je voulais dire : si [tex] f[/tex] est une fonction croissante est ce qu'on a [tex]x\geq y\Longleftrightarrow f(x)\geq f(y)[/tex]
Merci
Dernière modification par convergence (25-12-2015 09:24:03)
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#3 24-12-2015 19:16:28
- convergence
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Re : Fonction croissante
Ok, désolé je suis pas dans l'ambiance de fête, joyeux Noël.
J'ai cette égalité, [tex]\int_{\mathbb{R}^N} (|\nabla w|^p+|w|^p)dx=\int_{\mathbb{R}^N} \frac{f(t_0 w)}{(t_0 w)^{p-1}}w~ dx[/tex]
Il est dit qu'en utilisant le fait que [tex]\frac{f(t)}{|t|^{p-1}}[/tex] soit croissante sur [tex](0,+\infty)[/tex] on obtient que [tex]t_0=1[/tex]
D'un autre coté j'ai que [tex]\int_{\mathbb{R}^N} (|\nabla w|^p+|w|^p)dx=\int_{\mathbb{R}^N} f(w)w ~dx[/tex]
Pouvez vous m'aidez sur comment utiliser la croissance pour obtenir que [tex]t_0=1[/tex]
Merci beaucoup et joyeuse fêtes.
Dernière modification par convergence (24-12-2015 20:35:06)
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#5 24-12-2015 19:32:33
- Ostap Bender
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Re : Fonction croissante
Bonsoir.
Comme ça, [tex]f[/tex] serait définie sur [tex]\bf R^N[/tex] et [tex]t\mapsto \frac{f(t)}{|t|^{p-1}} [/tex] croissante ?
Il n'y aurait pas un problème d'ensemble de définition ?
Ostap Bender
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#6 24-12-2015 20:34:32
- convergence
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Re : Fonction croissante
non [tex]f[/tex] est définit sur [tex]\mathbb{R}[/tex], c'est w qui est une fonction positive définie sur [tex]\mathbb{R}^N[/tex] vers [tex]\mathbb{R}[/tex].
Mr Fred en anglais c'est "increasing" je ne sais pas si cela veut dire croissante ou strictement croissante.
Merci
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#8 25-12-2015 09:19:49
- convergence
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Re : Fonction croissante
Ah ok, merci
Et grasse ça je peut conclure que t_0=1 ?
si la fonction est strictement croissante j'ai une équivalence ? par rapport a mon premier poste ?
Merci et Joyeuse fêtes.
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#10 25-12-2015 12:22:26
- convergence
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Re : Fonction croissante
Ok donc on a [tex]x>y \Longleftrightarrow f(x)>f(y)[/tex] dans le cas [tex]f[/tex] strictement croissant.
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#11 28-12-2015 09:21:05
- convergence
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Re : Fonction croissante
Bonjour,
j'ai encor un petit problème, on a que [tex]f(t)=\frac{f(t)}{|t|^{p-1}}[/tex] est strictement croissante, et que [tex]\int_{\mathbb{R}^N}f(w) w dx=\int_{\mathbb{R}^N} \frac{f(t_0 w)}{(t_0 w)^{p-1}}w~ dx[/tex]
comment le fait que strictement croissante est utile si on a une égalité donc deux inégalités larges et pas stricte.
Merci.
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#12 28-12-2015 10:05:12
- Fred
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Re : Fonction croissante
Tu veux utiliser de l'injectivité : si [tex]g(t_0)=g(1)[/tex], alors [tex]t_0=1[/tex].
L'injectivité vient de la stricte monotonie et non de la monotonie.
Par exemple, si [tex]g[/tex] est constante, alors [tex]g[/tex] est croissante et on a [tex]g(2)=g(1)[/tex] sans que [tex]2=1[/tex].
Mais si [tex]g[/tex] est strictement croissante et que [tex]g(t_0)=g(1)[/tex],
alors si [tex]t_0<1[/tex], on a [tex]g(t_0)<g(1)[/tex] ce qui est impossible et si [tex]t_0>1[/tex], on a [tex]g(t_0)>g(1)[/tex] ce qui est tout aussi impossible.
F.
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#13 28-12-2015 11:24:35
- convergence
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Re : Fonction croissante
Ok, j'ai un cas similaire, mais cette fois on a:
Lorsque [tex]t_0\geq1, \int_{\mathbb{R}^N}f(w)w dx \geq \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(t_0w)}{|t_0w|^{p-1}} w dx[/tex]
et lorsque [tex]t\leq 1, \int_{\mathbb{R}^N}f(w)w dx \leq \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(t_0w)}{|t_0w|^{p-1}} w dx[/tex]
Peut on on déduire que [tex]t_0=1[/tex] ?
Merci
Dernière modification par convergence (28-12-2015 16:08:29)
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#15 28-12-2015 12:59:24
- convergence
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Re : Fonction croissante
Je dois avoir ça:
[tex]\displaystyle t_0>1, \int_{\mathbb{R}^N}f(w)w dx > \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(t_0w)}{|t_0w|^{p-1}} w dx[/tex] et
[tex]\displaystyle t_0< 1, \int_{\mathbb{R}^N}f(w)w dx < \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(t_0w)}{|t_0w|^{p-1}}w dx[/tex]
Pour déduire que [tex] t_0=1[/tex]?
S'il vous plait
Merci
Dernière modification par convergence (28-12-2015 16:09:06)
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#17 28-12-2015 16:35:57
- convergence
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Re : Fonction croissante
je suis désolé mais en même temps j'ai revu si tout est stricte comment je peux avoir une égalité ?
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#19 28-12-2015 16:51:02
- convergence
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Re : Fonction croissante
Moi, je doit arriver au fait que t_0=1.
Et j'ai uniquement que \displaystyle f(t)=\frac{f(t)}{|t|^{p-1}} est strictement croissante.
ainsi que les estimations que j'ai mis .
par exemple dans le premier cas, lorsque [tex]t_0>1[/tex] on a [tex]\displaystyle \displaystyle t_0>1, \int_{\mathbb{R}^N}f(w)w dx > \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(t_0w)}{|t_0w|^{p-1}} w dx[/tex], par la croissance stricte j’obtiens que [tex]t_0<1[/tex].
Je conclus quoi s'il vous plait.
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#21 28-12-2015 21:24:37
- convergence
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Re : Fonction croissante
Oui, strictement croissante veut dire injective
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#22 28-12-2015 22:05:19
- convergence
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Re : Fonction croissante
on dit qu'une fonction est injective si [tex]\forall x,y, f(x)=f(y)\Rightarrow x=y[/tex]
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#23 28-12-2015 22:17:34
- Fred
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Re : Fonction croissante
Non, strictement croissante ne veut pas dire injective.
Strictement croissante implique injective.
Donc, il suffit d'écrire ton intégrale comme une fonction de [tex]t[/tex], et de démontrer que cette fonction est strictement croissante.
Ensuite, ce que tu écris me semble louche... (tu sembles intégrer par rapport à x et il n'y a pas d'autre x, et il n'y a pas de puissance p-1 dans un des membres).
F.
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#24 28-12-2015 22:33:55
- convergence
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Re : Fonction croissante
Je reprend, j'ai que la fonction [tex]\frac{f(t)}{|t|^{p-1}}[/tex] est strictement croissante ainsi que ces deux inégalités:
[tex]\displaystyle \displaystyle t_0>1, \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(1.w)}{(1.w)^{p-1}}w^{p} dx=\int_{\mathbb{R}^N}f(w)w dx > \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(t_0w)}{(t_0w)^{p-1}} w^{p} dx\\
\displaystyle \displaystyle t_0<1, \int_{\mathbb{R}^N}f(w)w dx < \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(t_0w)}{(t_0w)^{p-1}} w^{p} dx[/tex]
et [tex]w \in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)[/tex] et est positive.
Je dois poser [tex]F(t)=\int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(t)}{(tw)^{p-1}}w^p dx[/tex] et montrer que F est strictement croissante?
Merci
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