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#1 15-12-2015 10:25:01
- Sof
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diagonalisation de matrices
Bonjour,
Voici le début d'un énoncé :
1) Une matrice ayant 2 lignes et 2 colonnes est-elle toujours diagonalisable ?
2) Une matrice ayant déterminant non nul est-elle toujours diagonalisable ?
Pour la question 1 :
La matrice doit être carrée et doit aussi avoir n valeurs propres pour être diagonalisable.
Pour la question 2 :
Non, pour les mêmes raisons qu'à la question 1...
Finalement, je ne comprend pas pourquoi on pose ces questions...quel est le rapport entre diagonalisation et déterminant d'une matrice ? Je ne trouve de réponse nulle part.
D'avance merci
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#3 15-12-2015 13:12:49
- Sof
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- Messages : 37
Re : diagonalisation de matrices
Merci Hichem.
Donc une matrice ayant un déterminant nul est non diagonalisable...mais pourquoi ?
Pour savoir si une matrice est diagonalisable, doit on impérativement passer par le calcul de polynôme caractéristique ?
Et si on trouve n valeurs propres, est-on sûrs que la matrice est diagonalisable, et peut on s'arrêter la dans la démonstration ?
Merci
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#4 15-12-2015 13:56:29
- hichem
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- Messages : 107
Re : diagonalisation de matrices
je vous pri de pardoné mon français,
1 - condition suffisante de diagonalisation :
si le polynome caractéristique (P) a n racines distincts cela implique directement que la matrice est diagonalisable dans l'ensemble ou on a factoriser le polynome par exemple :
x²+1 est factorisable dans C donc, la matrice associé a ce polynome est diagonalisable dans C
2 - condition necessaire :
dans le cas ou les racines du polynomes ont une ou + solution double ou triple ou +
pour chaque valeur propre, la dimension du sous espace propre associé est egale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
j'espere que tt est claire
Dernière modification par hichem (15-12-2015 13:57:44)
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#5 15-12-2015 14:08:43
- Sof
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Re : diagonalisation de matrices
merci, c'est compris !
Par contre, qu'entends tu par : le contraire n'est pas vrai quand tu dis :
car si le determinant d'une matrice est nul, cela implique que la matrice n'est pas diagonalisable
mais le contraire n'est pas vraie !
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#8 16-12-2015 11:38:43
- Sof
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Re : diagonalisation de matrices
Bonjour,
Voici l'énoncé complet sur la diagonalisation ( c'est un peu long mais les questions se suivent) :
1) Une matrice ayant 2 lignes et 2 colonnes est-elle toujours diagonalisable ?
2) Une matrice ayant déterminant non nul est-elle toujours diagonalisable ?
3) Soit M une matrice carrée. Soit ⃗v un vecteur non nul qui a comme image M⃗v, un vecteur colinéaire à ⃗v ? Est-ce que ⃗v est un vecteur propre ?
4) Dans les conditions précédentes supposons que M⃗v est un vecteur ayant la même direction que ⃗v et norme quatre fois supérieure à ⃗v. Supposons aussi que M soit diagonalisable, que peut-on déduire des termes apparaissant sur la matrice diagonale associée à M ?
5) La matrice diagonalisable M ci-dessus a-t-elle nécessairement déterminant non nul ?
6) Dans les conditions des questions précédentes où M est diagonalisable et ⃗v et M⃗v satisfont les conditions précisés au point 4, supposons que M a valeurs propres entiers. Quel est le reste de la division du déterminant de M par 4 ?
Pouvez vous m'éclairer sur la question 6...?
Merci beaucoup
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#9 16-12-2015 11:54:24
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : diagonalisation de matrices
Re-
Si [tex]M[/tex] est diagonalisable et que [tex]D[/tex] est la matrice diagonale des valeurs propres, alors
[tex]\det(M)=\det(D)[/tex]... Le déterminant de [tex]D[/tex] est le produit des éléments diagonaux,
et tu sais déjà que 4 est un de ces éléments diagonaux.
F.
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#17 25-12-2015 22:02:27
- Youssef
- Invité
Re : diagonalisation de matrices
Lorsque on parle de diagonalisation c'est diagonalisation d'endomorphisme est les matrices sont des matrices associe l'appcation lineare dans un base alors il ya aucune lien entre la déterminent et la digonalisation.si le déterminer est null alors on peut pas associé un endomorphisme alors en peut pas parler de la réduction !!!
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