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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 12-12-2015 20:13:36
- vrouvrou
- Membre
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- Messages : 311
tout point irrationnelle est une limite d'une suite rationnelle
Bonsoir,
J'ai trouvé cette question : Montrer en utilisant deux méthodes que dans [tex](\mathbb{R},|.|)[/tex] chaque point irrationnelle est une limite d'une suite rationnelle.
Je ne sais pas par quoi commencer merci de m'aider
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#2 12-12-2015 21:05:55
- rastaroccoo
- Invité
Re : tout point irrationnelle est une limite d'une suite rationnelle
Bonjour,
dans quel cadre dois-tu démontrer ceci ?
-> Une première idée : pour tout irrationnel x et pour tout entier n, E(nx)/n, avec E la partie entière, est une suite de rationnels convergente vers x
#5 13-12-2015 07:48:33
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : tout point irrationnelle est une limite d'une suite rationnelle
Bonjour,
Même question que Rastarocco. C'est une question de cours? On a le droit d'utiliser que Q est dense dans R où c'est cela que l'on veut redémontrer???
F.
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#7 13-12-2015 18:50:11
- vrouvrou
- Membre
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Re : tout point irrationnelle est une limite d'une suite rationnelle
je pense qu'on ne peut pas utiliser la densité de [tex]\mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], car pour obtenir que \mathbb{Q} n'est pas fermé, il suffit de voir que [tex]\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\neq \mathbb{Q}[/tex]
Dernière modification par vrouvrou (13-12-2015 19:57:46)
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#9 14-12-2015 22:17:40
- Terces
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- Messages : 466
Re : tout point irrationnelle est une limite d'une suite rationnelle
Salut, j'ai peut-être une idée mais elle reprend aussi la partie entière...
U0=0
Un+1=Un+E((x-Un)*10n)/10n ou x est l’irrationnel.
J'ai testé pour Pi ca m'a eu l'air de marché...
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#11 14-12-2015 22:23:28
- Terces
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- Messages : 466
Re : tout point irrationnelle est une limite d'une suite rationnelle
Enfin j'ai pas montré grand chose :(
Sinon je ne sais pas mais peu-être aller voir la courbe de Peano en disant que pour un certain n, on obtient forcément un irrationnel (entre 0 et 1) mais peut-être généraliser ca assez simplement pour un irrationnel quelconque ?
Après, je ne suis qu'un l1 donc je tente juste de donner des idées mais concrètement je n'ais pas de démo.
Dernière modification par Terces (14-12-2015 22:29:53)
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#12 19-12-2015 14:53:52
- sotsirave
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- Messages : 203
Re : tout point irrationnelle est une limite d'une suite rationnelle
bonjour wrouwou
Pour ta question, on utilise la densité de Q pour l'ordre dans R.
Il existe alors deux suites de rationnels, l'une croissante et l'autre décroissante qui convergent vers un même réel a donné.
Il est facile de les définir.
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