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#1 02-12-2015 13:37:50

0^0
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Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Bonjour,


Voilà un peu plus d'un an que je l'ai découverte à tâtons..


Vous m'en direz ce vous en penser, la voici:      [tex]\boxed{\frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47}    \approx    \sqrt{\pi}} [/tex]

[tex]\frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47}  =  1.77245385[/tex]9723... --------> 8 décimales exactes!



Ce qui nous donne aussi:

[tex]\left(\frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47}\right)^{2}  =  3.1415926[/tex]84847... -------> 7 décimales exactes!


Géométriquement, cela revient à tracer pour un cercle de rayon 47, un carré de diagonale 45 φ² qui aura une aire approximativement égale.


Bien cordialement.

Dernière modification par 0^0 (09-12-2015 22:36:35)

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#2 02-12-2015 23:14:29

Terces
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Salut,
je suis allé voir un site : http://www.pi314.net/fr/approx.php
il y a plein d'approximation de pi^^ mais bon j'aime bien la tienne, c'est assez simple à retenir.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#3 03-12-2015 00:11:37

0^0
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Salut tierces,

Elle est non seulement simple, mais elle rivalise avec l'excellente 355/113. Elle serait même en réalité plus simple et plus intéressante du fait qu'elle utilise le nombre d'or, ce qui lui confère certaines propriétés exploitables...


Elle serait aussi inédite, mais je n'en ai pas la confirmation.

Dernière modification par 0^0 (03-12-2015 00:13:35)

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#4 03-12-2015 00:38:17

Terces
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

0^0 a écrit :

Salut tierces,

Elle est non seulement simple, mais elle rivalise avec l'excellente 355/113. Elle serait même en réalité plus simple et plus intéressante du fait qu'elle utilise le nombre d'or, ce qui lui confère certaines propriétés exploitables...


Elle serait aussi inédite, mais je n'en ai pas la confirmation.

Je ne l'ai en tout cas pas trouvé sur le net à part ici^^
Au fait tu l'a trouvé avec un peu de chance et quelques tests ou tu y as réfléchi particulièrement ?
Un programme bien fait sur un ordi puissant devrait pouvoir trouver un paquet de ce genre de formules je penses.

PS: je ne suis pas le tierce...


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#5 03-12-2015 01:19:08

0^0
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Re,

Excuse moi, Terces..

Des programmes?

Je ne suis pas expert, mais Simon Plouffe lui-même ne l'a pas trouvé celle là. Alors jaimerais bien voir si des programmes informatiques peuvent aussi facilement que tu sembles le croire, trouver des approximations de ce genre, aussi précises et simples..

Je demande à voir..

Je l'ai trouvée en examinant les propriétés de certains rapports de nombres entiers, certaines propriétés des rectangles "2n x n" et celles de certaines constructions géométriques de phi et de phi².

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#6 03-12-2015 09:52:36

Terces
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

0^0 a écrit :

Re,

Des programmes?

Je ne suis pas expert, mais Simon Plouffe lui-même ne l'a pas trouvé celle là. Alors jaimerais bien voir si des programmes informatiques peuvent aussi facilement que tu sembles le croire, trouver des approximations de ce genre.

Je ne sais pas mais associer des fonctions avec des nombres et tout ca aléatoirement en faisant toutes les combinaisons "simples", je ne vois pas pourquoi cela ne serait pas possible.
Après, je dis peut-être des bêtises, je n'ai que 18ans...


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#7 04-12-2015 00:23:34

0^0
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Bonsoir,

Une question intéressante serait de savoir s'il est si facile que ça de trouver des approximations aussi simples et bonnes. Il faudrait voir si des programmes spécialement conçus pour en trouver, en trouvent une multitude de similaires ou au contraire relativement peu.

Mon approximation de [tex]\sqrt{\pi}[/tex] se réduisant à la forme: [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx \frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47} } [/tex]

l'expression générale que je recherche sera de la forme:  [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{\sqrt{2}} × \dfrac{a}{b}} [/tex]

avec donc seulement 3 paramètres: (X, a et b), tous naturels sauf X (un nombre "remarquable"), a et b ayant chacun dans mon approximation seulement 2 chiffres significatifs.

Selon ces critères, il en résulte que mon approximation de [tex]\sqrt{\pi}[/tex] est relativement simple, ne comportant en réalité que 6 chiffres significatifs, [tex]\varphi^{2}[/tex] pouvant être considéré comme un nombre "remarquable".

A comparer par exemple avec :  22/7  (3 chiffres significatifs)  et  355/113  (7 chiffres significatifs), il n'est pas évident que l'on puisse en fabriquer des tas et des tas d'autres...

22/7 est très simple mais peu précise.

355/113 est excellentissime mais bien qu'elle possède également 6 chiffres significatifs à peine, elle ne fait pas intervenir de nombre remarquables...

Par conséquent, pour vérifier si ce genre d'approximation est exceptionnelle ou pas, on pourrait imaginer des programmes les recherchant toutes, par précision et forme souhaitée. Ils pourraient donc examiner entre autre des formes comme:

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{a}{b} } [/tex]

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  X × \dfrac{a}{b}}[/tex]     [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{1}{X} × \dfrac{a}{b}}[/tex]

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  {X} × {Y} × \dfrac{a}{b}} [/tex]     [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{Y} × \dfrac{a}{b}} [/tex] ----->  (avec Y un deuxième nombre "remarquable")

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X × Y}{Z} × \dfrac{a}{b}} [/tex]     [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{Y × Z} × \dfrac{a}{b}} [/tex] ----->  (avec Z un troisième nombre "remarquable")

et pourquoi pas aussi des formes comme:

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}} [/tex]   ou même, celle-ci plus intéressante:   [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}} [/tex]

En effet, cette forme:  [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}} [/tex] est intéressante dans le sens où [tex] \sqrt{a^{2}+b^{2}} [/tex] et [tex] \sqrt{c^{2}+d^{2}} [/tex] sont la

plupart du temps des irrationnels avec [tex] \sqrt{c^{2}+b^{2}} [/tex] correspondant au rayon du cercle pour lequel un carré de coté

[tex] \sqrt{a^{2}+b^{2}} [/tex] aura une aire approximativement égale.


Bien cordialement.

Dernière modification par 0^0 (09-12-2015 22:47:46)

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#8 04-12-2015 09:49:35

freddy
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Salut,

ta quête est intéressante, presque ludique, mais inutile aujourd'hui. Inutile car avec la révolution électronique et la miniaturisation des outils de calculs, la communauté n'a plus besoin d'approximations astucieuses de nombres transcendants, comme par le passé.

A titre plus personnel et de mon humble point de vue, le vrai tour de force est un quotient simple de nombres entiers, facilement mémorisables. Faire intervenir d'autres nombres remarquables n'apporte pas grand chose à l'affaire.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#9 04-12-2015 10:45:15

yoshi
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Bonjour,


@O^O C'est sympa de revenir nous voir...
Ça me rappelle quand j'écrivais mon prog de calcul des éclipses solaires, j'avais écrit à Jean-Pierre Petit, qui m'avait aiguillé vers un de ses amis à l'époque Directeur de l'Observatoire de Marseille...
Il m'avait répondu -gentiment - qu'il était inutile de chercher à réinventer la roue, que ces programmes existaient déjà, qu'ils fonctionnaient très bien... et n'avait pas répondu à mes questions...

Cet homme n'avait pas compris que j'étais au courant de l'existence de ces programmes et que je m'en fichais pas mal : j'étais un conquérant de l'inutile, je cherchais l'art pour l'art, pour ma satisfaction personnelle...
Donc, O^O doit probablement chercher pour son plaisir personnel...

Le plus gros reproche que je ferais à cette approximation, c'est qu'elle nécessite d'utiliser une autre approximation celle de [tex]\phi[/tex] ou celle de [tex]\sqrt 2[/tex]...
Mais c'est anecdotique.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#10 05-12-2015 14:23:37

0^0
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Bonjour,

freddy a écrit :

Salut,

ta quête est intéressante, presque ludique, mais inutile aujourd'hui. Inutile car avec la révolution électronique et la miniaturisation des outils de calculs, la communauté n'a plus besoin d'approximations astucieuses de nombres transcendants, comme par le passé.

A titre plus personnel et de mon humble point de vue, le vrai tour de force est un quotient simple de nombres entiers, facilement mémorisables. Faire intervenir d'autres nombres remarquables n'apporte pas grand chose à l'affaire.

Oui, je sais bien que ce n'est pas utile si comme tu le penses ce que l'on veut c'est "utiliser" [tex]\pi[/tex], dont l'on en connait des milliards de décimales et dont on peut connaître la énnième sans avoir besoin de calculer les précèdentes.. Je sais..

Mais l'utile ne détermine pas en soi ce qui est intéressant.

Je précise que je ne fais pour ma part des maths, quand j'en fais, que pour mon amusement.

yoshi a écrit :

Bonjour,

@O^O C'est sympa de revenir nous voir...
Ça me rappelle quand j'écrivais mon prog de calcul des éclipses solaires, j'avais écrit à Jean-Pierre Petit, qui m'avait aiguillé vers un de ses amis à l'époque Directeur de l'Observatoire de Marseille...
Il m'avait répondu -gentiment - qu'il était inutile de chercher à réinventer la roue, que ces programmes existaient déjà, qu'ils fonctionnaient très bien... et n'avait pas répondu à mes questions...

C'est drôle cette tendance à ne pas répondre aux questions...

JPP est phycicien, donc il reste quelqu'un de pragmatique.

yoshi a écrit :

Cet homme n'avait pas compris que j'étais au courant de l'existence de ces programmes et que je m'en fichais pas mal : j'étais un conquérant de l'inutile, je cherchais l'art pour l'art, pour ma satisfaction personnelle...
Donc, O^O doit probablement chercher pour son plaisir personnel...

Je ne "recherche", quand je recherche, que pour mon plaisir personnel, tu m'as bien cerné.

Bon.. C'est aussi un peu par l'intérêt des connaissances pour elles-mêmes.


yoshi a écrit :

Le plus gros reproche que je ferais à cette approximation, c'est qu'elle nécessite d'utiliser une autre approximation celle de [tex]\varphi[/tex] ou celle de [tex]\sqrt 2[/tex]...
Mais c'est anecdotique.

@+

Je ne la vois pas comme ça. En fait elle met en relation des nombres particuliers, un transcendant et deux irrationnels dont [tex]\varphi^{2}[/tex], dans un rapport d'aproximation inédit avec un rapport de naturels: [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)[/tex]

Ce que je recherchais c'était:
[tex]\boxed{ \left(\dfrac{a}{b}\right)  \approx  \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{\varphi^{2}} }[/tex]

Or j'ai trouvé et propose:
[tex]\  \left(\dfrac{a}{b}\right) =  \dfrac{45}{47}[/tex]

Je dis et affirme que ce rapport inédit est "exceptionnel" et je pèse mes mots !


Voyons en quoi:

Prenons pour exemple le cas de 355/113, cette approximation de [tex]\pi [/tex] correspond à un résultat de:  [tex] \left(\dfrac{a}{b}\right)  \approx  \pi [/tex]

Le point à retenir c'est que le développement en fractions continues de  [tex] \pi [/tex] étant: [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ... ], l'excellence de 355/113 est dûe au fait que calculée à partir 4 premiers termes, elle bénéficie du suivant, le 5 ème terme, 292, qui est relativement important.


Or, si je fais la même chose avec mon approx. : [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx \dfrac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} . \dfrac{45}{47} }[/tex], en calculant donc le développement en fractions continues de [tex]\dfrac{\sqrt{2.\pi}}{\varphi^{2}}[/tex] l'on trouve: [0, 1, 22, 2, 95041, 3, 1, 7, 7, 7, 1, 40, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 6, 1, 2, 2, ...].

Observe bien le 5 ème terme:    95041 !!!    = >   Dingue non?

En choissant la 4 ème approximation que permet ce développement en fractions continues, l'on bénéficie cette fois de ce 5 ème terme: 95041 qui est donc encore beaucoup plus grand, d'où ce rapport probablement le meilleur possible (???):

-----> [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)[/tex]  =  [tex] \dfrac{45}{47} [/tex].


Content d'être de nouveau parmi vous!

;)

Dernière modification par 0^0 (10-12-2015 23:27:18)

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#11 05-12-2015 15:47:35

yoshi
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Re,

C'est drôle cette tendance à ne pas répondre aux questions...

JPP est phycicien, donc il reste quelqu'un de pragmatique.

C'est le Dr de l'Observatoire qui n'avait pas répondu à mes questions.
JP Petit, lui m'avait dit, en substance : moi, je suis astrophysicien donc je regarde beaucoup plus loin que le système solaire, donc, je ne suis pas vraiment qualifié pour vous répondre et de m'adresser de sa part vers son collègue...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#12 09-12-2015 01:08:55

0^0
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Re,

Ah ok. J'aime bien JPP. C'est notamment un très bon vulgarisateur.

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#13 09-12-2015 01:10:02

0^0
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Bonsoir,

Et pour ce  95041 doit on s'en étonner? Comment évaluer la probabilité que cette coïncidence ne soit qu'un fruit du hasard ou au contraire qu'elle chache une raison mathématique?

@+

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#14 10-12-2015 23:23:46

0^0
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

La notion de rapport entre les digits consommés pour obtenir des digits significatifs sembe pouvoir être exploitée...


[tex]\boxed{\boxed{\dfrac {\varphi^2}{\sqrt{2}} \times\dfrac{45}{47}   \approx   \sqrt\pi}}[/tex]


Soit: [tex]\sqrt\pi   \approx   \boxed{\dfrac {45\varphi^2}{47\sqrt{2}}}   =   1,77245385...[/tex]


--------------> [tex]\boxed{\dfrac {45\varphi^2}{47\sqrt{2}}}[/tex] -------------------------------------------------> 9 caractères
------------------------------- [tex]\boxed{1,77245385...}[/tex] ----------------------> 10 caractères


------ [tex]\boxed{\sqrt{\pi}}[/tex] ----------------------------------------------------------------> 2 caractères


: )

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#15 10-12-2015 23:50:21

Terces
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Salut, désolé de ne pas t'avoir répondu plus tôt mais je ne connais pas cette notion de développement en fractions continues, ni ce que tu viens d'écrire mais je ferais des recherches demain soir je penses, ça à l'air intéressent.

Re, j'ai fait mes recherches et c'est en effet assez étonnant de voir un tel chiffre dans une "division euclidienne" mais vu qu'on parle d’irrationnels ou juste de quotient, pourquoi pas mais il faut que je continues mes recherches pour avoir une meilleur opinion.

Dernière modification par Terces (12-12-2015 00:42:11)


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#16 16-12-2015 02:17:31

0^0
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Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Bonsoir,

Voici un peu de grains à moudre..


Caclul de la Pertinence d'une approximation:


Pour le calcul de la pertinance P des approximations suivantes, je ne comptabiliserai que le nombre de chiffres N qui apparaissent dans la formule approximante, exception faite des puissances (1/n), dans quel cas je ne considèrerai que les chiffres composant n, et pour ce qui est de  "[tex](\varphi^{2})[/tex]",  "[tex](\varphi+1)[/tex]",  "[tex](\varphi - 1)[/tex]"  et  "[tex](\varphi^{-1})[/tex]", je ne comptabiliserai pas non plus les "2", et les "1" qui y apparaissent.
- Je considère en effet que  [tex](\varphi^{2})[/tex],  soit:  [tex](\varphi+1)[/tex]  et  [tex](\varphi^{-1})[/tex]  soit:  [tex](\varphi - 1)[/tex]  correspondent à des valeurs remarquables à part entière.   

Je ne tiendrai pas non plus compte des oprérateurs utilisés, ni pour l'écriture décimale de l'approximation elle-même de la virgule, sa position étant déterminée par la formule approximante.


Méthode de calcul:


Soient:     C : la constante à approximer
                V : la valeur de l'approximation
                N : le nombre de chiffres significatifs comptabilisés intervenant dans la formule approximante
                p : la performance  décimale  rendue
                P (Approx.) : la pertinence de l'approximation étudiée

On commence par calculer:  [tex]1 - \left( \dfrac{C}{V} \right)[/tex] ,  on transcrit ensuite le résultat sous la forme:   [tex]a,bcde... \times 10^{\,n}[/tex] .

Ceci nous permet ensuite de calculer  p selon la formule suivante:

                [tex]n - 0,abcde...  =  p[/tex] ,


puis enfin P :

                [tex]P(Appox.)  =  \dfrac{p}{N}[/tex] .



Selon ces critères:



Relativement à [tex]\pi[/tex]:



[tex]124  =  [124,000...[/tex]
                                                                            3 pour 0,0253...  P =  0,0084...    -------->  À considérer que 124
                                                                                                                                                puisse être vu commr une
                                                                                                                                                approximation de  [tex]\pi[/tex].

[tex]4  =  [4,000...[/tex]
                                                                            1 pour 0,7854...  P =  0,7854...

[tex]3  =  3,[000...[/tex]
                                                                            1 pour 1,5280...  P =  1,5280...    ------->  Par conséquent, la pertinence
                                                                                                                                               approximative de  3
                                                                                                                                               relativement à  [tex]\pi[/tex]  est selon
                                                                                                                                               mes critères : excellente !


[tex]\dfrac{22}{7}  =  3,14[285...[/tex]
                                                                            3 pour 3,5977...  P =  1,1992...    ------->  Comparable à 355/113 !!

[tex]\dfrac{333}{106}  =  3,1415[094...[/tex]
                                                                            6 pour 4,7351...  P =  0,7892...   

[tex]\dfrac{355}{113}  =  3,141592[920...[/tex]
                                                                            6 pour 7,1509...  P =  1,1918...    ------->  Très bonne mais un tout petit
                                                                                                                                               peu moins  que 22/7.
                                                                                                                                                   => C'est étonant...

[tex]\dfrac{103\,993}{33\,102}  =  3,141592653[0\,11...[/tex]
                                                                            11 pour 9,8160...  P =  0,8924...

[tex]\dfrac{104\,348}{33\,215}  =  3,141592653[9\,21...[/tex]
                                                                            11 pour 9,8944...  P =  0,8995...     ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                 9,8944... de rendues.

[tex]\dfrac{208\,341}{66\,317}  =  3,141592653[4\,67...[/tex]
                                                                            11 pour 10,6105...  P =  0,9646...    ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                  10,6105... de rendues.

[tex]\dfrac{312\,689}{99\,532}  =  3,141592653[6\,18...[/tex]
                                                                            11 pour 11,0723...  P =  1,0066...    ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                  11,0723... de rendues.

[tex]\dfrac{833\,719}{265\,381}  =  3,1415926535\,8[107...[/tex]
                                                                            12 pour 11,7226...  P =  0,9769...    ------->  La progression de P est
                                                                                                                                                   harmonieuse.

[tex]\dfrac{1\,146\,408}{364\,913}  =  3,141592653\,5[914...[/tex]
                                                                            13 pour 12,4873...  P =  0,9606...


[tex]\dfrac {21\, 053\, 343\, 141}{6\, 701\, 487\, 259}  =  3,1415926535\,8979323846\,2[38\,1...[/tex]
                                                                            21  pour  22,1672...  P =  1,0076...

[tex] \dfrac {30\, 246\, 273\, 033\, 735\, 921}{9\, 627\, 687\, 726\, 852\, 338}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,50[7\,44...[/tex]
                                                                            33  pour  32,8548...  P =  0,9956...

[tex] \dfrac {2\,646\,693\,125\,139\,304\,345}{842\,468\,587\,426\,513\,207}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841[830...[/tex]
                                                                            37 pour 38,5510...  P =  1,0419...


[tex]3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,694  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,69[4...[/tex]
                                                                            44 pour 45,8011...  P =  1,0401...    ------->  Sa pertinence est semblable
                                                                                                                                                   aux précédentes...         
     

[tex]\left(\dfrac{39}{22}\right)^{2}  =   3,14[256...[/tex]
                                                                            5 pour 3,6915...  P =  0,7383...


[tex]\left(\dfrac{296}{167}\right)^2  =  3,14159[704...[/tex]
                                                                            7 pour 5,8602...  P =  0,8372...

[tex]\left(\dfrac{8\,545}{4\,821}\right)^2  =  3,1415926[424...[/tex]
                                                                            9 pour 8,6439...  P =  0,9604...


[tex]\left(\dfrac{821}{653}\right)^5  =  3,141592[701...[/tex]
                                                                            7 pour 7,8497...  P =  1,1214...    ------->  Assez bonne à bonne.

[tex]\left(\dfrac{9\,629}{8\,873}\right)^{14}  =  3,141592653[0\,23...[/tex]
                                                                            10 pour 9,8198...  P =  0,9812...

[tex]\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/4}  =  3,14159265[25\,8...[/tex]
                                                                            7 pour 9,6794...  P =  1,3828...    ------->  Très très bonne !


[tex]\dfrac{22}{17} + \dfrac{37}{47} + \dfrac{88}{83}  =  3,141592653[4\,67...[/tex]
                                                                            12 pour 10,5126976  P =  0,8761..    ------->  Pas très bonne mais
                                                                                                                                                     fractions simples...


[tex]\dfrac{311}{70\sqrt{2}}  =  3,1415[744...[/tex]
                                                                            6 pour 5,4194...  P =  0,9032...

[tex]\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}}  =  3,141[632...[/tex]
                                                                            3 pour 4,8730...  P =  1,6243...    ------->  Excelllente !!


[tex]\dfrac{6}{5}. \varphi^2  =  3,141[6407...[/tex]
                                                                            3 pour 4,8468...  P =  1,6156...    ------->  Excellente !!

[tex]\left(\dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}\right)^2  =  3,1415926[848...[/tex]
                                                                            7 pour 8,0050...  P =  1,1436...    ------->  Assez bonne.
                                                                                                                                               (Mais non prévue
                                                                                                                                               pour [tex]\pi[/tex].)


[tex]\dfrac{69}{163}+ e  =  3,14159[471... [/tex]
                                                                            6 pour 6,3448...  P =  1,0575...

[tex]\dfrac{95.\varphi}{18.e}  =  3,1415[204...[/tex]
                                                                            6 pour 4,8707...  P =  0.8118...

[tex]\dfrac{11}{48} . e^{\varphi^2}  =  3,141[5875...[/tex]
                                                                            6 pour  5,8365...  P =  0,9727...

          ------->  Pas terrible certes, mais il n'y en a pas de meilleure de la forme   [tex]\dfrac{a}{a}.e^{\varphi^2}[/tex]
          Preuve: le développement en fractions continues donne: [4, 2, 1, 3, 1157, 1, 20, 4, 1, 1, 1, ...], ce qui signifie que la prochaine meilleure approximation de cette forme est:

                                                                          [tex]\dfrac{55\,549}{1\,270}.e^{\varphi^2}[/tex]


[tex]\left(\dfrac{45\,048}{47\,153}\right)^{2} e^{2 (\varphi-1)}  =  3,1415926535\,8[298...[/tex]
                                                                            14 pour 11,7832...  P =  0,8417...

[tex]\dfrac{5}{7}. e . \varphi  =  3,141[623...[/tex]
                                                                            4 pour 5,0297...  P =  1,2574...    ------->  Très bonne.

[tex]\dfrac{e  .  \varphi}{\sqrt{2}-71/5\,000}  =  3,141592[701...[/tex]
                                                                            9 pour 7,8477...  P =  0,8720...


[tex]\dfrac{\ln{(640\,320^{3}+744)}}{\sqrt{163}}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,[726...[/tex]
                                                                            14 pour 31,2878...  P =  2,2348...    ------->  Énorme !! !! !
                                                                                                                                                   Même en comptabilisant
                                                                                                                                                   ln comme 1 dans N
                                                                                                                                                   (=> Ultime?)



Relativement à  [tex]\sqrt{\pi}[/tex]:



[tex]\dfrac{39}{22}  =  1,772[727...[/tex]
                                                                            4 pour 3,8458...  P =  0,9614...

[tex]\dfrac{296}{167}  =  1,77245[508...[/tex]
                                                                            6 pour 6,3010...  P =  1,0502...

[tex]\dfrac{8\,545}{4\,821}  =  1,7724538[477...[/tex]
                                                                            8 pour 8,8219...  P =  1,1027...    ------->  Assez bonne.


[tex]\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/8}  =  1,772453850[6\,21...[/tex]
                                                                            7 pour 9,8397...  P =  1,4057...    ------->  Très très bonne.


[tex]\dfrac{94\sqrt{2}}{75}  =  1,7724[809...[/tex]
                                                                            5 pour 4,8468...  P =  0,9694...


[tex]\dfrac{379.\varphi}{90.e \sqrt{2}}  =  1,772453[543...[/tex]
                                                                            8 pour 6,8266...  P =   0,8533...

[tex]\dfrac{7\,361.e}{6\,977.\varphi}  =  1,77245385[11\,4...[/tex]
                                                                            10 pour 9,8648...  P =  0,9865...

[tex]\dfrac{45\,048}{47\,153}.e^{(\varphi-1)}  =  1,7724538509\,0[359...[/tex]
                                                                            12 pour 11,8916...   P =  0,9910...

[tex]\dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}  =  1,77245385[97\,2...[/tex]
                                                                            6 pour 8,5025...  P =  1,4171...    ------->  Très très bonne, elle est
                                                                                                                                               encore meilleure que celle
                                                                                                                                               un peu plus haut.


Bon milieu de semaine!


0^0.

Hors ligne

#17 05-01-2016 19:36:39

Gislebertus
Invité

Re : Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense.

Bonjour O^0

Elle est connue, principalement par ceux qui pratiquent beaucoup les tracés géométriques ou harmoniques. On peut d'ailleurs la rencontrer parfois sur le net.

Je la connais personnellement depuis quarante ans. Je l'ai rencontré en m'interrogeant sur le personnage de Vitruve dessiné par De Vinci.
Il donne une mesure de six pieds de hauteur à son personnage.

Mais quel pied? Le pieds grec ou le pied romain? En prenant le pied grec avec sa valeur en mètre, on obtient une brasse de 1.8512, soit six pieds de 0.3085 mètre ( largeur du Parthénon 30,85 mètres). En cherchant le cercle de même surface on tombe tout bêtement su la période 47/45, un moment exaltant, et c'est facilement traçable. Le cercle de De Vinci est plus grand, il fait les six cinquième de ce cercle, pour d'autres raisons harmoniques.

Une brasse grecque, côté d'un carré donne une diagonale de 2,618 mètres, phi carré, ou étrangement 5 coudées royales Égyptiennes.

De plus une brasse romaine est à une brasse grecque ce que 45 est à 47.

En tout cas félicitation de l'avoir rencontré, on n'est pas nombreux...j'ai été content de voir votre post par hasard sur le net, je pensais que cela n'intéressait plus personne aujourd'hui.

Très cordialement

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