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kadaide

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fonction convexe

Bonjour

f(x)=ax+b
f"(x)=0 (dérivée seconde nulle)

f est représentée par une droite.

Alors f convexe ou concave ou convexe et concave ?

Merci pour vos commentaires

freddy

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Re : fonction convexe

Salut,

concave ET convexe;, vérifie le en reprenant les définitions.

kadaide

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Re : fonction convexe

concave ET convexe;, vérifie le en reprenant les définitions.

Définition terminale ES:
Si f"(x)>=0 alors f convexe
Si f"(x)<=0 alors f concave

Remarque: la convexité n"est pas en terminale S

yoshi

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Re : fonction convexe

Bonsoir,

Si f"(x)>=0 alors f convexe
Si f"(x)<=0 alors f concave

Alors où est le problème ? freddy a raison.

@+

kadaide

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Re : fonction convexe

yoshi
Alors où est le problème ? freddy a raison.

Tout simplement je n'étais pas sûr que la fonction affine est à la fois convexe et concave, et ceci n'est mentionné nulle part dans le livre!

yoshi

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Re : fonction convexe

Bonjour,

Ce n'était pas le sens ce ma question.
1. Tu cites freddy
2. Tu enchaînes en donnant les définitions
Cela donnait à penser qu'il y avait un problème de cohérence entre les deux, d'où la mienne de question...

Effectivement, convexité et concavité ne figurent pas les programmes de TS, j'ai vérifié, ni de 1S d'ailleurs.

Personnellement, je n'ai jamais pensé que la section ES était une section au rabais : j'estime que le Bac ES est probablement plus difficile à décrocher que le S, parce que plus "général"...

@+

kadaide

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Re : fonction convexe

1. Tu cites freddy
2. Tu enchaînes en donnant les définitions

Parce que freddy m'a demandé de vérifier en reprenant les définitions.

Personnellement, je n'ai jamais pensé que la section ES était une section au rabais : j'estime que le Bac ES est probablement plus difficile à décrocher que le S, parce que plus "général"...

Peut être il faut pas mélanger...
J'ai dit que c'est dans le programme ES mais pas dans celui de S, j'ai cité ma "source'' et je n'ai jamais pensé que ce bac est au rabais.
En plus je parle des programmes de maths et non des autres matières...

Non, je ne polémique pas!

yoshi

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Re : fonction convexe

Re,

Je ne mélange rien, ni n'ai la sensation d'avoir mélangé quoi que soit !
Plus général : pas très approprié, peut-être... alors j'ajoute plus complet.

Personnellement, je n'ai jamais pensé que la section ES était une section au rabais : j'estime que le Bac ES est probablement plus difficile à décrocher que le S, parce que plus "général"...

C'était mon avis, j'ai préféré le préciser pour que personne (en général) ne puisse penser que je déprisais cette section.
Aucun rapport avec toi !

Je parlais aussi de Maths en particulier, parce que j'ai constaté, et je le précise chaque fois qu'on me questionne sur ES, que le prog de maths y est sensiblement le même (les mêmes outils y sont utilisés, les questions sont un poil plus détaillées, et guident davantage...). Donc, je précise toujours quand on me questionne : vous voulez éviter S parce que les maths ne sont pas trop votre truc ? Bin... vous n'aimerez pas plus celles de ES...

C'est curieux que cet exercice ait été donné en S, si c'est le cas...
Quant à la présence de cette notion en ES et pas en S, peut-être que plus tard, en études d'éco, on s'en sert : là c'est freddy l'homme de l'art en la matière, lui pourra le dire, moi, ce n'est pas ma spécialité....

Sans polémique, non plus ^_^

@+

kadaide

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Re : fonction convexe

Mais c'est sûr que le programme de math ES est un bon programme, l'option math est interessante avec ses graphes qui ne sont pas en terminale S (comment déterminer le chemin le plus court entre deux points, comment organiser des choses etc...).

freddy

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Re : fonction convexe

Salut,

il y a un lien fort entre convexité et mathématiques de la décision.
Pour faire bref, les mathématiques de la décision reviennent à faire de l'optimisation (minimiser ou maximiser une fonction objectif) sous contraintes. Car tout problème de choix se ramène à un problème de contrainte et d'optimisation d'un objectif sous ces contraintes. S'il n'y a pas de contraintes, pas de problème de choix. Typiquement, j'ai un certain niveau de revenu, comment l'affecter au mieux de mes besoins et désirs ?
Autre exemple simple : je fabrique un bien qui répond à une demande solvable, comment choisir "au mieux" entre plusieurs technologies alternatives et exclusives ? ...

Pour être certain que le problème d'optimisation sous contraintes soit soluble, il faut que la fonction objectif ait une bonne allure (concave ou convexe) et l'ensemble des possibles (intersection de l'ensemble des contraintes) soit convexe.
Un des programmes les plus simples d'optimisation sous contraintes est l'algorithme du simplexe. L'ensemble des possibles (ensembles des valeurs que peuvent prendre les variables sous contraintes) a une forme assez particulière (genre polyèdre irrégulier) nécessairement convexe pour être sûr de l'existence d'une solution. Cette convexité permet de démontrer que la solution optimale se trouve toujours sur un de sommets de ce polyèdre convexe (avec une fonction objectif linéaire).
Après, on doit utiliser la technique des multiplicateurs de Lagrange quand les contraintes sont linéaires et la fonction objectif concave ; enfin,  la technique la plus difficile est celle des multiplicateurs de Kuhn et Tücker. Là, les contraintes sont des fonctions concaves.
Le CEREMADE de Dauphine fait ça très bien, comme la filière MIDO. Il y a beaucoup de laboratoire de recherches sur ce sujet qui est et reste toujours d'actualité, dans le domaine de la dépense publique par exemple, la théorie du choix des investissements, l'arbitrage consommation-épargne, ... en fait, sans le savoir, la vie de tous les jours :-)

Voilà, tu sais presque tout, ce sont des trucs que tu verras entre la L3 et la M2.

kadaide

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Re : fonction convexe

Bonjour freddy
Merci pour les explications des applications des fonctions convexes.
Dans les anciens livres de lycée, on appelait ça "la programmation linéaire" mais juste avec deux variables x et y, x en abscisse, y en ordonnée et on parlait pas de fonction convexe (c'était très simple).
Voici un exemple trouvé sur internet mais dommage que je ne peux pas coller le graphique du polyedre qui va avec.

On appelle Programmation Linéaire, le problème mathématique qui consiste à optimiser (maximiser ou minimiser) une fonction linéaire de plusieurs variables qui sont reliées par des relations linéaires appelées contraintes.

L'artisan chocolatier
Remarque
Le chocolat est composé de beaucoup plus d'ingrédients (notamment du sucre), mais, pour la clarté de l'exemple, on s'est ici limité à trois.
C'est l'expression du bénéfice.
L'artisan ne peut pas utiliser plus de :
18 kg de cacao
8 kg de noisettes
14 kg de lait.
Il ne peut pas produire un nombre négatif d’œufs !
À l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des œufs en chocolat. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 kg de lait.
Il a deux spécialités : l’œuf Extra et l’œuf Sublime. Un oeuf Extra nécessite 1 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 kg de lait. Un oeuf Sublime nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 kg de lait.
Il fera un profit de 20 F. en vendant un œuf Extra, et de 30 fr. en vendant un œuf Sublime.
Combien d'oeufs Extra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice possible ?

Formulation du problème
Notons x1 le nombre d'oeufs Extra et x2 le nombre d'oeufs Sublime à produire.
Le chocolatier cherche à maximiser la fonction objectif :
max z = 20x1 + 30 x2
Étant données les réserves du chocolatier, les contraintes suivantes devront être satisfaites :
{x1 +3 x2 ≤ 18
x1 + x2 ≤ 8
2 x1 + x2 ≤ 14
Évidemment, on a encore les deux contraintes : x1 > 0 et x2 > 0.
Une inéquation définit un demi-plan où la condition est satisfaite (voir chapitre 4).

Démarche
1. On dessine les demi-plans des contraintes. On trace la droite frontière et on indique par un petit triangle le demi-plan défini par
l'inéquation (la droite frontière est obtenue en remplaçant £ par =).
2. On détermine le domaine D définissant l'ensemble des points satisfaisant toutes les contraintes. Le domaine D est l'intersection de tous
les demi-plans.
3. On trace la droite représentant la fonction objectif et passant par l'origine.
4. On translate la droite de la fonction objectif selon son vecteur normal, ici (20, 30).
5. Le point optimal est le dernier point du domaine D que la droite de la fonction objectif touchera lors de son déplacement.

Résolution graphique
Didier

Dernière modification par yoshi (28-11-2015 14:10:56)

freddy

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Re : fonction convexe

Re,

oui, oui, c'est la base de l'algorithme dit du simplexe.