Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Romain-13

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Calcul d'une somme

Bonjour,

J'ai cette somme à calculer et je ne vois pas le truc.

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

Un conseil pour démarrer. Merci d'avance.

Roro

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Re : Calcul d'une somme

Bonsoir Romain-13,

Il y a plusieurs façon d'y arriver.
Tu peux essayer d'utiliser la formule de Taylor du type [tex](1-x)^n=...[/tex] , puis... je te laisse imaginer la suite (pense à intégrer la fonction que tu obtiens).

Roro.

Romain-13

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Re : Calcul d'une somme

Merci pour ta réponse.
J'aurais dû le préciser mais je ne l'avais plus en tête.
La prof nous a demandé de ne pas passer par une intégration mais de travailler sur les coeff binomiaux.
Je veux dire que par exemple on en a fait d'autres où on a sorti un n de n! et un k de k! dans la formule de calcul d'un k parmi n pour faire apparaître une relation du type $$ \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} $$. J'ai cru comprendre qu'il fallait aller dans ce sens mais sans plus.

Romain-13

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Re : Calcul d'une somme

Est ce que je peux faire ça

$$ \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} $$

$$ \frac{1}{n} \binom{n}{k} = \frac{1}{k} \binom{n-1}{k-1} $$

Puis changer d'indice i=k-1 pour avoir après être revenu à k. C'est possible ça ?

$$ \frac{1}{n} \binom{n}{k+1} = \frac{1}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

Ca me rapproche un peu de ma forme

En fait changer d'indice 'en dehors' d'une somme j'ai jamais fait.

Roro

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Re : Calcul d'une somme

Re,

Ta méthode a l'air correcte.
En fait lorsque tu écris "changer d'indice 'en dehors' d'une somme j'ai jamais fait", ce n'est pas non plus ce que tu fais. Plus précisément, tu utilises juste que l'égalité est vraie pour tout [tex]k[/tex] et [tex]n[/tex]. Et seulement ensuite tu fais la somme pour tous les entiers [tex]k[/tex] ...

Roro.

Romain-13

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Re : Calcul d'une somme

Ca vroudrait dire que c'est plus un changement de variable 'hors somme' pour trouver un équivalent à

$$ \frac{1}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

Si je vérifie l'égalité pour deux valeurs particulières par exemple n=4 et k=2 ça me donne

$$ \frac{1}{n} \binom{n}{k+1} = \frac{1}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

$$ \frac{1}{4} \binom{4}{3} = \frac{1}{3} \binom{3}{2} $$

$$ 1 = 1 $$

Ca prouve rien mais bon.
Alors j'ai essayé de continuer.

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k+1} \binom{n-1}{k} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{n} \binom{n}{k+1} $$

Là maintenant je change d'indice i= k+1 puis je reviens à k

$$ = \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k-1} \binom{n}{k} $$

Il faudrait que je trouve un télescopage.
Les (-1) avec une puissance paire vont donner du plus et avec une puissance impaire vont donner du moins ?
Faut que je cherche dans ce sens là ?

amatheur²

Invité

Re : Calcul d'une somme

salut
regarde ca:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d … _de_Newton
@+

freddy

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Re : Calcul d'une somme

Salut,

sauf erreur, tu devrais trouver [tex]\frac{1-n}{n}[/tex]

Romain-13

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Re : Calcul d'une somme

C'est sympa mais je percute pas, même avec les indications.
La puissance k-1 me gène. Je ne peux pas identifier avec le binôme.

camille23

Invité

Re : Calcul d'une somme

Bonjour,

Cette somme se calcule bien en sommant les termes en descendant de k=n-1 à 1
Effectuons donc le changement de variable p=n-k. la somme devient :

[tex] \sum_{p=1}^{n-1} \frac{(-1)^{n-p}{n-p+1} \binom{n-1}{n-p} [/tex]

on utilisera [tex] \binom{n-1}{n-p}= \binom{n-1}{p-1} = \binom{n-1}{p}\frac{p}{n-p} [/tex]

appelons[tex] s_i[/tex] la somme des i premiers termes et [tex]u_i[/tex] le ième terme
on montre facilement (par récurrence) [tex] s_i=u_i\frac{n-i+1}{n}[/tex]
et prenant i=n+1 que la somme totale [tex]s_{n-1}= \frac{1-n}{n}[/tex] (annoncée par freddy)

camille23

Invité

Re : Calcul d'une somme

Bonjour,  petit ajustement :

Cette somme se calcule bien en sommant les termes en descendant de k=n-1 à 1
Effectuons donc le changement de variable p=n-k. la somme devient :

[tex] \sum_{p=1}^{n-1} \frac{(-1)^{n-p}}{n-p+1} \binom{n-1}{n-p} [/tex]

on utilisera [tex] \binom{n-1}{n-p}= \binom{n-1}{p-1} = \binom{n-1}{p}\frac{p}{n-p} [/tex]

appelons[tex] s_i[/tex] la somme des i premiers termes et [tex]u_i[/tex] le ième terme
on montre facilement (par récurrence) [tex] s_i=u_i\frac{n-i+1}{n}[/tex]
et prenant i=n-1 que la somme totale [tex]s_{n-1}= \frac{1-n}{n}[/tex] (annoncée par freddy)

freddy

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Re : Calcul d'une somme

Salut,

j'ai un poil plus simple (pour moi) :

[tex]S = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k}}{k+1}\binom{n-1}{k}= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}\binom{n}{k+1} [/tex]

Donc [tex]nS = -\binom{n}{0}+\binom{n}{1}-\binom{n}{2}+\binom{n}{3}-...+(-1)^{n-1}\binom{n}{n} +(1-n)[/tex]

et [tex]-nS = (1-1)^n -(1-n)[/tex]

et on retrouve le résultat initialement donné.

Dernière modification par freddy (18-11-2015 20:08:24)

Camille23

Invité

Re : Calcul d'une somme

Bonsoir,

Excellent le [tex](1-1)^n[/tex]
Bravo.

Romain-13

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Re : Calcul d'une somme

OK , merci à tous je vais bosser tout ça.

Faut que j'ai le réflexe. Quand je suis bloqué comme ça il faut que je pense à développer ma somme comme l'a fait Freddy plus haut. Voir la tête que ça a ça peut aider quand même.

Donc [tex]nS = -\binom{n}{0}+\binom{n}{1}-\binom{n}{2}+\binom{n}{3}-...+(-1)^{n-1}\binom{n}{n} +(1-n)[/tex]