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vrouvrou

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Topologie produit

Salut,

Je veux montrer que [tex]\overline{A}=\Pi_{i\in I}\overline{A_i}[/tex] ou [tex]A_i\subset E_i[/tex] et [tex]A\subset E=\Pi_{i\in I}E_i[/tex] est l'espace produit.

J'ai trouvé dans un livre une preuve qui comment par : On a [tex]\displaystyle\Pi_{i\in I}\overline{A_i}=\cap_{i\in I} F_i[/tex] où [tex] F_i=\Pi_{j\in I} B_j[/tex] avec [tex]\displaystyle B_i=\overline{A_i}[/tex] et [tex]B_j=E_j[/tex] si [tex]j\neq i[/tex]

Pouvez vous m'expliquer cette ligne s'il vous plait et est ce qu'il ya plus facile ?

Merci

Dernière modification par vrouvrou (10-11-2015 22:46:41)

Fred

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Re : Topologie produit

Tu peux démontrer cela par double inclusion. Commence par supposer que I contient seulement 2 éléments ce sera plus facile.

vrouvrou

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Re : Topologie produit

Ok pour montrer que [tex]\overline{A_1\times A_2}=\overline{A_1}\times \overline{A_2}[/tex]

Soit [tex]X=(x,y)\in \overline{A_1\times A_2}\\ [/tex]:
[tex](x,y)\in \overline{A_1\times A_2}\Longleftrightarrow\forall V_X\in \mathcal{V}_X, V \cap(A_1\times A_2)\neq \emptyset\\ \Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x, \forall V_2\in \mathcal{V}_y, (V_1\times V_2)\cap (A_1\times A_2)\neq \emptyset\\ \Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x, \forall V_2\in \mathcal{V}_y, (V_1 \cap A_1)\times (V_2\cap A_2)\neq \emptyset\\ \Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x, \forall V_2\in \mathcal{V}_y, (V_1 \cap A_1)\neq\emptyset ~\text{et}~\times (V_2\cap A_2)\neq \emptyset [/tex]

Arrivé jusqu’à la est ce que je peux pas dire que : [tex]\Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x,  (V_1 \cap A_1)\neq\emptyset ~\text{et}~\forall V_2\in \mathcal{V}_y (V_2\cap A_2)\neq \emptyset[/tex] et conclure que [tex]X\in \overline{A_1}\times\overline{A_2}[/tex]

Inversement

[tex] X\in \overline{A_1}\times \overline{A_2} \Rightarrow x\in \overline{A_1}~ \text{et}~ y\in \overline{A_2} \\ \Rightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x, V_1\cap A_1\neq \emptyset ~\text{et}~ \forall V_2\in\mathcal{V}_y, V_2\cap A_2\neq \emptyset[/tex]

est ce que je peut dire [tex]\Rightarrow  \forall V_1\in \mathcal{V}_x, \forall V_2\in\mathcal{V}_y, (V_1\cap A_1)\times (V_2\cap A_2)\neq \emptyset[/tex]

Merci

Fred

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Re : Topologie produit

Arrivé jusqu’à la est ce que je peux pas dire que : [tex]\Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x,  (V_1 \cap A_1)\neq\emptyset ~\text{et}~\forall V_2\in \mathcal{V}_y (V_2\cap A_2)\neq \emptyset[/tex] et conclure que [tex]X\in \overline{A_1}\times\overline{A_2}[/tex]

Merci

Si tu peux. Et si tu as raisonné par équivalence, tu n'as pas besoin de faire l'implication dans l'autre sens....

vrouvrou

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Re : Topologie produit

Mais lorsque l'on a " ou" à la place de "et" on ne peux pas changer de place \forall non ?

Et s'il vous plait comment généraliser pour [tex]i\in I[/tex] avec [tex]I\subset \mathbb{N}[/tex] quelconque dans l'exercice ce n'est pas précisé I finie ou pas

Merci

Fred

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Re : Topologie produit

Mais lorsque l'on a " ou" à la place de "et" on ne peux pas changer de place \forall non ?

Oui, on ne peut pas alors changer. Mais plutôt qu'apprendre une règle par coeur, il vaut mieux comprendre pourquoi cela.
C'est pareil de dire
Tous les jours, je prends ma voiture et je mange
et de dire
(Tous les jours, je prends ma voiture) et (Tous les jours, je mange).

Ce n'est pas pareil de dire
Tous les jours, je prends ma voiture ou je mange
et de dire
(Tous les jours, je prends ma voiture) ou (Tous les jours, je mange).

Et s'il vous plait comment généraliser pour [tex]i\in I[/tex] avec [tex]I\subset \mathbb{N}[/tex] quelconque dans l'exercice ce n'est pas précisé I finie ou pas
Merci

Si I est fini, c'est exactement pareil. Si I est infini, comment as-tu défini la topologie produit????

vrouvrou

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Re : Topologie produit

On a définit un produit fini c'est tout .

Mais dans le livre ou il y a l'exercice en question, c'est uniquement lorsqu'il parle d’intérieur de produit qu'il précise que [tex]I=\{1,...,n\}[/tex]

Voila comment c'est démontré dan le livre:

On a [tex]\Pi_{i\in I} \overline{A_i}=\cap_{i\in I} F_i[/tex] où [tex]F_i=\Pi_{j\in I} B_j[/tex] avec [tex]B_i=\overline{A_i}[/tex] et [tex]B_j=E_j[/tex] si [tex]j\neq i[/tex]. On a [tex]E\setminus F_i=\Pi_{j\in I} U_j[/tex] avec [tex]U_i=E_i\setminus \overline{A_i}[/tex] et [tex]U_j=E_j[/tex] si [tex]j\neq i[/tex]. Donc [tex]E\setminus F_i[/tex] est ouvert dans [tex]E[/tex]. Par conséquent, [tex]F_i[/tex] est fermé dans [tex]E[/tex], d'où [tex]\Pi_{i\in I} \overline{A_i}[/tex] est un fermé de [tex] E[/tex] contenant [tex]A[/tex]. Donc on a [tex]\overline{A}\subset \Pi_{i\in I} \overline{A_i}[/tex].
Réciproquement, soient [tex]x=(x_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} \overline{A_i}[/tex] et [tex]U=\Pi_{i\in I} U_i[/tex] un ouvert élémentaire de [tex] E[/tex] contenant [tex]x[/tex]. Pour tout [tex]i\in I , U_i[/tex] est un ouvert de [tex]X_i[/tex] et il existe un sous-ensemble fini [tex]J[/tex] de [tex]I[/tex] tel que pour tout [tex]i\in I\setminus J[/tex], on ait [tex]U_i=E_i[/tex]. Pour tout [tex]i\in I[/tex], on a [tex]x_i\in \overline{A_i}\cap U_i,[/tex] alors il existe [tex]a_i\in A_i\cap U_i[/tex], d'où [tex]a=(a_i)_{i\in I}\in A\cap U[/tex]. Donc on a [tex]A\cap U\neq\emptyset.[/tex] Par conséquent, on a [tex]x\in \overline{A},[/tex] d'où [tex]\overline{A}=\Pi_{i\in I}\overline{A_i}.[/tex]

Je n'ai rien compris  a cette preuve, pouvez vous me l'expliquer s'il vous plait ?

Merci

Dernière modification par vrouvrou (12-11-2015 20:53:26)