Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mouhcine

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Bijection d'une fonction

Bonsoir à tous,
Soit [tex] f: \mathbb R^+ \rightarrow [-1,1[ ,\quad f(x) = \frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+6}[/tex].
Je voudrais montrer que [tex]f[/tex] est bijective et de calculer sa réciproque [tex]f^{-1}[/tex].
- J'ai montré que [tex]f[/tex] est injective.
- Mais je n'arrive pas à trouver un antécédent [tex]x\in [-1,1[ [/tex] d'un élément [tex]y\geq 0[/tex] tel qu'on a: [tex]y= f(x) [/tex].
- Pour calculer [tex]f^{-1}[/tex], j'ai tombé dans une confusion, car pour la calculer on pose [tex]y= f(x)[/tex] et on va chercher [tex]x[/tex] en fonction de [tex]y[/tex], donc c'est la même étape 2) concernant la surjectivité.
Merci d'avance

Fred

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Re : Bijection d'une fonction

Salut,

  Deux remarques :
* pour démontrer que c'est une bijection, tu peux aussi utiliser le théorème de la bijection, par exemple en démontrant que la fonction [tex]f[/tex] est continue et strictement monotone sur son intervalle de définition.
* pour déterminer sa réciproque, tu dois bien résoudre l'équation que tu donnes. Elle n'est pas particulièrement difficile...multiplie par [tex]\sqrt x+6[/tex] et isole [tex]\sqrt x[/tex]...

F.

Mouhcine

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Re : Bijection d'une fonction

Bonjour Fred, je voudrais montrer que $f$ est bijective sans utiliser la monotonie de $f$, par un calcule direct, donc on doit trouver un antécédent.
Et pour [tex]f^{-1},[/tex] j'ai posé [tex]y=f(x) [/tex] est donc [tex]y=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+6}[/tex] alors [tex]y(\sqrt{x}+6)=x-6^2[/tex] et donc [tex]x(y+\sqrt{x})=-6 - 6^2[/tex] ... ?

Fred

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Re : Bijection d'une fonction

Et pour [tex]f^{-1},[/tex] j'ai posé [tex]y=f(x) [/tex] est donc [tex]y=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+6}[/tex] alors [tex]y(\sqrt{x}+6)=x-6^2[/tex]

Euh non.... Là tu as fait une grosse erreur de calcul!

Mouhcine

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Re : Bijection d'une fonction

Laquelle ?

Fred

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Re : Bijection d'une fonction

Je pense que si tu réfléchis deux secondes sur ton calcul tu la trouveras. Le terme de droite est faux.

F.