Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mouhcine

Membre

Inscription : 23-09-2014

Messages : 106

Équation dans N^2

Bonjour à tous, j'ai besoin d'une indication pour ce qui concerne l'exercice suivant.
Soient [tex]A= \{ \frac{1}{n} / n\in \mathbb N^*\}[/tex] et [tex]B= \{ \frac{1}{3} - \frac{1}{n} / n\in \mathbb N^*\}[/tex]
1) Montrer que [tex]\frac{1}{4} \in (A\cap B)[/tex];
2) Résoudre dans [tex]\mathbb N^{2}[/tex]  l'équation: [tex]3x+3y-xy = 0[/tex];
3) Déterminer en extension l'ensemble [tex](A\cap B)[/tex].
Pour 1). pour [tex]n=4 [/tex] dans [tex]A[/tex] et [tex]n=12 [/tex] dans [tex]B[/tex], on a [tex]\frac{1}{4} \in (A\cap B)[/tex].
Pour 2).  je n'arrive pas à la résoudre.
Pour 3). J'ai pris [tex]x \in (A\cap B) [/tex] alors [tex](x \in A)[/tex] et [tex](x \in B)[/tex], alors [tex]x =\frac{1}{n}[/tex]  et [tex]x=\frac{1}{3} - \frac{1}{n}[/tex]  avec [tex]n\in \mathbb N^*[/tex], j'ai trouvé que [tex]x=\frac{1}{6}[/tex] qui n'est pas juste car on par exemple [tex]\frac{1}{4} \in (A\cap B)[/tex].
Merci d'avance

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Équation dans N^2

Salut,

la 2 conditionne la 3. Pour le voir, reprenons la 3. Tu commets une toute petite erreur de notation, il faut dire que si x est commun à A et B, alors existent n et p, deux entiers non nuls tels que [tex]x=\frac{1}{n}[/tex] et [tex]x=\frac{1}{3}-\frac{1}{p}[/tex], soit [tex]\frac{1}{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{p}[/tex], soit [tex]3n+3p-np=0[/tex].

Il faut donc se creuser la tête sur la 2 !

Et pour faire la 2, il faut regarder la 1.

Dernière modification par freddy (31-10-2015 10:32:31)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Équation dans N^2

Bonjour,

Pour la question 2.
Elle revient à [tex]xy = 3(x+y)[/tex]  ou encore [tex]y=\frac{3x}{x-3}[/tex]
Graphiquement, les solutions sont [tex](x\;;\;y)\in\{(0,0),(4,12),(6,6),(12,4)\}[/tex]

Mais je ne vois pas trop comment le prouver sans tâtonner...
A part dire : le centre de symétrie la courbe est (3 ; 3).
La solution évidente (0 ; 0) entraîne la solution (6 ; 6)
Après si on trouve (4 ; 12) on en déduira (12 ; 4)...
Comment prouver que c'est tout ? Pas d'idée pour l'instant...

@+

Mouhcine

Membre

Inscription : 23-09-2014

Messages : 106

Re : Équation dans N^2

Bonjour, pour [tex]1)[/tex], on suppose que [tex]\frac{1}{4} \notin (A\cap B)[/tex], comme [tex]\frac{1}{4} \in A [/tex] pour [tex]n=4[/tex], alors [tex]\frac{1}{4} \notin B[/tex], or [tex]\exists p=12[/tex], tel que [tex]\frac{1}{4} = \frac{1}{3}-\frac{1}{12}[/tex], alors [tex]\frac{1}{4} \in B[/tex], ce qui absurde la supposition. Ceci implique [tex]\frac{1}{4} \in (A\cap B)[/tex].

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Équation dans N^2

Bonjour,

Concernant la question 2, je ferai comme ceci :
Si (x,y) est une solution alors on remarque que 3x=py (avec p=x-3), et que 3y=qx (avec q=y-3). On en déduit donc que 9x=3py=qpx.
Donc soit x=0, et dans ce cas y=0, soit qp=9. Il n'y a donc pas trop de choix pour p et q. Par exemple p=1 ou 3 ou 9, donc x=4 ou 6 ou 12.
Il suffit ensuite de déterminer y pour que les couples trouvés soient bien des solutions.

Roro.

P.S. Je n'ai pas utilisé la question 1... il y a sans doute d'autres méthodes peut être plus directes !

Dernière modification par Roro (31-10-2015 12:57:20)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Équation dans N^2

Re,

je pense avoir plus direct.

L'équation [tex]3x+3y-xy=0[/tex] peut s'écrire [tex]y=\frac{3x}{x-3} = 3+\frac{9}{x-3}[/tex] avec [tex]x \ne 3[/tex].
Ceci permet de limiter le domaine de recherche à x tq [tex]x - 3 \le 9[/tex] et [tex]x-3[/tex] divise 9.
Donc on a x = 0 et y=0 ; x = 4 et y = 12 (solution de 1), x = 6 et y = 6 et enfin x=12 et y = 4.
La définition en extension de [tex]A \cap B = \{\frac{1}{12},\;\frac{1}{6},\;\frac{1}{4}\}[/tex]

A l'origine, je pensais que 1 pouvait servir comme pour une équation différentielle où on prend une solution particulière avec second membre +ensemble des solutions sans second membre, ou alors la résolution d'équation dans Z de la forme [tex]ax+by=c[/tex].

Mouhcine

Membre

Inscription : 23-09-2014

Messages : 106

Re : Équation dans N^2

Ok, merci beaucoup mes amis