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djamroun

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limite et topologie (définition)

la notion de limite est continuité en un point dans un espace topologique peut être définie en utilisant les voisinage.
Je cherche à appliquer la définition à l'exemple d'une fonction f définit sur par exemple [0,1]U{3} au point a=3 (bien sur avec la topologie usuelle).
intuitivement la notion de limite n'a pas de sens en a mais je n'arrive pas à le voir sur feuille.
Pouvez-vous m'éclairer
Merci

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : limite et topologie (définition)

Bonsoir,

  Quelle que soit la fonction que tu considères, elle sera continue en [tex]a=3[/tex] car c'est un point isolé.

Dire que [tex]f[/tex] est continue en [tex]a[/tex], c'est dire que pour tout voisinage [tex]V[/tex] de [tex]f(a)[/tex], il existe
un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]a[/tex] tel que [tex]f(U)\subset V.[/tex]
Ici, quel que soit le voisinage [tex]V[/tex], il suffit de considérer [tex]U=\{3\}[/tex]. [tex]U[/tex] est bien un ouvert(!) de [tex] [0,1]\cup\{3\} [/tex] qui contient 3, et [tex] f(U)=\{f(3)\}\subset V[/tex].

F.