Un peu de proba ?

Bob · 18-03-2007 15:29:07

Bonjour,

Comme les dimanches sont ennuyeux j'ai un p'tit exo à proposer.
Une petite aide serait appréciée à sa juste valeur...

Suite à une enquete statistique on peut affirmer :
40% des individus aiment la musique P(M)
60% aiment le cinéma P(C)
15% aiment à la fois la muqiue et le cinéma

Quelle est la proba pour qu’un individu

a) aime la musique mais pas le cinéma

C’est donc P(M ^ [tex]\bar C[/tex]) (prob de M inter C barre)

Pourquoi ce n’est pas égal à P(M) * P ( [tex]\bar C[/tex]) ??? (1)
Dans quel cas P(A^B) = P(A)*P(B)

Le livre dit que P(M) = P(M ^C) + P(M ^ [tex]\bar C[/tex]) d’où le calcul de P(M ^ [tex]\bar C[/tex]) puisque P(M ^C) =0,15 . Ok je comprends ça mais pourquoi pas (1) ?

Merci de vos réponses.

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

yoshi · 18-03-2007 20:21:12

'soir,

Je me lance sur la pointe des pieds, parce que c'est un morceau du prg que j'ai jamais pu avaler tout seul (parce que lors de mon année de term, c'est + ou - passé à la trappe, c'était pas vraiment à la mode)...
Donc, si j'ai bien relu :

Soient A et B deux événements avec p(A)>0 :
[tex]P(A\cap B) = P(A)*P(B/A)[/tex]
A et B sont indépendants si et seulement si [tex]P(A\cap B)= P(A)*P(B)[/tex]

Etant donné que c'est une CNS, je crois pouvoir dire qu'il y a produit des deux probabilités seulement qu'en cas d'événements indépendants...
Je dirais qu'ici, les deux événements M et C ne sont pas indépendants puisque l'intersection de M et C existe. M et C sont indépendants peut aussi se formuler aussi : les ensembles M et C sont disjoints...
Mais j'ai bien conscience qu'il s'agit d'une règle, pas d'une explication...
Bon qq un d'autre va bien passer par là.

Un détail pour la lisibilité de la suite :
[tex]\cap \;\bar C \; \cup[/tex]
en latex, correspondent aux codes \cap \bar C (avec un espace) et \cup

@+

Fred · 18-03-2007 20:52:41

Salut,

Attention, le fait que M et C sont indépendants n'est pas en général impliqué par le fait
que M et C sont disjoints. Mieux, si M et C sont disjoints, M et C ne sont indépendants que
si M ou C est de probabilité nulle, puisque dans ce cas P(M inter C)=0.

Concernant le problème de Bob, voila un petit exemple pour bien comprendre
pourquoi P(A inter B) ne vaut pas en général P(A)P(B).
Si on lance un dé, et que A="J'obtiens un 2", B="J'obtiens un nb pair",
alors P(A)=1/6, P(B)=1/2, et A inter B = A d'où P(A inter B)=1/6 qui n'est pas 1/12.

On a effectivement P(A inter B)=P(A)xP(B) ssi A et B sont indépendants.

A+
Fred.

Bob · 18-03-2007 20:53:10

Re,

Boudille que tout ceci est compliqué !

Que signifie P(B/A) ? dans [tex]P(A \cap B)[/tex]

Est ce que aimer la musique et aimer le cinéma sont 2 événements indépendants ? J'aurai dit OUI mais apparemment d'aprés la réponse du bouquin c'est non...
Mais parce que l'intersection d'aimer la musique et d'aimer le cinéma n'est pas vide, ces 2 événements ne sont pas indépendants ? Je t'ai bien compris Yoshi ? Pourquoi pas mais je ne vois pas trop le rapport qu'il y a ...

Merci à toi pour tes éléments de réponse mais je vois que la proba c'est plutot hard et le 18/20 ça sera pour une autre fois... ;-)

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

yoshi · 18-03-2007 21:18:07

Bonsoir,

désolé si te t'ai "enduit" en erreur (et au rouleau encore), va falloir que je relise mieux : j'avais pourtant bien cru voir ça au détour d'une phrase. Fred dit que non ! Alors faut que je reparte à la pêche... Je me lance donc un défi !
Non, les probas ça doit pas être compliqué, c'est juste une affaire de langage à s'approprier et une tournure de pensée à prendre (jusque là, j'ai fait chou blanc, mais j'ai pas dit mon dernier mot !). Bon, Fred m'a contredit, et c'est lui le Boss, j'ai entrevu qq ch à propos de la nuance entre événements indépendants et incompatibles et de la confusion qu'il ne fallait pas faire justement, avec une histoire d'intersection... Qq ch me chiffonne qu'il faut que je retourne voir, mais pas ce soir...

Courage, Bob !

P(B/A) signifie Probabilité de B sachant A, probabilité qu'on appelle conditionnelle...

Définition d'événements indépendants :
Deux événements sont dits indépendants si P(B/A) = P(B)
J'aime ce genre de définition, c'est un peu ce que je reproche aux probas dans les bouquins (et même aux outils statistiques) : du "calcul" sans support concret :-))
Merci donc à Fred pour son éclairage concret justement...

@+

PS concernant ta question, je dirais, pour moi, oui étant donné que dans l'enquête il y a des gens qui aiment la Musique et le Cinéma, dans ce cas précis l"événement M aimer la Musique et l'événement C aimer le Cinéma ne sont pas indépendants, alors que toi, tu dis pas voir le rapport : si tu raisonnes en termes de vie courante, je te rejoins, mais pas ici...
Je prends le risque d'être de nouveau contredit, mais c'est pô grave, c'est comme ça qu'on apprend....

Bob · 19-03-2007 20:25:08

Bonsoir,

Pas grave yoshi si tu m'enduis de plein d'erreur... ça me console, si les pros s'y perdent en proba alors moi je suis pas prêt de toucher ma bille...

Comment peut-on expliquer dans le cadre de l'exo qu'aimer la musique et qu'aimer le cinéma ne sont pas 2 événements indépendants. Car je crois avoir compris qu'ils n'y étaient pas.

Merci de vos explications. Essayer de faire simple mes neurones s'embrouillent vite les synapses!

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

yoshi · 19-03-2007 21:11:48

Bonsoir,

Non, là en ce qui concerne les probas, je ne suis pas une référence : n'importe quel élève de Term qui a compris est meilleur que moi, hélas... Si John, qui se promène un peu partout sauf sur ce post, voulait bien apporter un peu de lumière, ça me ferait du bien à moi aussi.
Mais, et je me répète, je n'ai pas dit mon dernier mot... Je vais apprendre ! Malheureusement, il y a des priorités, et pour l'instant durant 2/3 jours, les probas n'en feront pas partie !

A coeur vaillant rien d'impossible, Bob !

En attendant, un conseil (Mais les italiens disent : A chi consiglia non duole il capo !) : harcèle donc ton prof (en tout bien tout honneur, hein, avec doigté, s'pas ? Pas comme un bulldozer !), jusqu'à ce que tu obtiennes une réponse satisfaisante : lui, c'est son job !

@+

john · 19-03-2007 22:41:10

Hello tous,

heu... là, je crois que Fred a tout dit. Je te conseille de re-refaire maintes et même plusieurs fois ce petit exemple des dès, c'est fondamental.

Bob a écrit :

Comment peut-on expliquer dans le cadre de l'exo qu'aimer la musique et qu'aimer le cinéma ne sont pas 2 événements indépendants. Car je crois avoir compris qu'ils n'y étaient pas.

Pour répondre précisément à cette question, il faut faire un petit tableau dans lequel tu portes les % donnés (* = compémentaire).
--------------------------
......|..C..|..C*..|.Tot.
--------------------------
M....|.15..|........|..40
--------------------------
M*..|.......|........|
--------------------------
Tot..|..60.|........|.100
--------------------------
Ensuite, même si ce n'est pas demandé explicitement dans l'énoncé, tu complètes logiquement le tableau pour obtenir :
--------------------------
......|..C..|..C*..|.Tot.
--------------------------
M....|.15..|..25..|..40
--------------------------
M*..|.45..|..15..|..60
--------------------------
Tot..|..60.|..40..|.100
--------------------------
Il n'y a plus qu'à lire le tableau pour répondre à TOUTES les questions posées.

Si M est indépendant de C, alors la probabilité que M se réalise est indépendante de la réalisation ou non de C. On vérifie...
1) Si C se réalise, on lit dans la colonne C :
P(M/C) = 15/60 = 2/8
2) Si C* se réalise, on lit dans la colonne C* :
P(M/C*) = 25/40 = 5/8
En comparant 2/8 et 5/8, de toute évidence, la probabilité que M se réalise n'est pas la même selon que C ou C* se réalise. Les événements M et C ne sont donc pas indépendants.
Et de même... (merci copier-coller !)
Si C est indépendant de M, alors la probabilité que C se réalise est indépendante de la réalisation ou non de M. On vérifie...
1) Si M se réalise, on lit sur la ligne M :
P(C/M) = 15/40 = 3/8
2) Si M* se réalise, on lit sur la ligne M* :
P(C/M*) = 45/60 = 6/8
En comparant 3/8 et 6/8, de toute évidence, la probabilité que C se réalise n'est pas la même selon que M ou M* se réalise. Les événements C et M ne sont donc pas indépendants.

A+

yoshi · 20-03-2007 20:02:02

Bonsoir,

et merci John pour ton dévouement et ta démonstration...
Je vais me permettre de me montrer tâtillon en lieu et place de Bob.
Je crois que sa question était plutôt : Comment je peux savoir, rien qu'en lisant l'énoncé, si deux événements sont indépendants...
Quant à moi, j'ai questionné mon "entourage" et il m'a été répondu : oh, je détermine ça au feeling !

@+

Bob · 20-03-2007 20:57:56

Bonsoir,

Non mais j'y crois pas ! Quelle joie en arrivant le soir de voir une explication CLAIRE !! (et simple qui plus est).
ça y est je pense que maintenant je serais m'y prendre pour voir si 2 événements sont indépendants (y arriverai-je toujours, c'est une autre histoire...)

Merci John, avec un peu de chance je crois que grâce à toi et Yoshi je pourrai aimer les probas! Au fait John tu viendrais pas dans mon bahut donner des cours de math ?

A + et encore merci.

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

Bob · 20-03-2007 21:06:12

J'ai oublié de dire Yoshi, tu exagéres. Rien qu'en lisant l'énoncé et avoir la solution (de l'indépendance) faut pas réver... même Sarko, Royal nous le promettent pas et comme dit mon vieux, on est quand même là pour en ch... si on veut ensuite aller au paradis ;-)) Je n'en demandais donc pas tant, je sais bien que les petits jeunes veulent tout, tout de suite et tout cuit mais là tu pousses !

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

P.S.
J'aime bien le truc d'Ybebert : "Rien n'est meilleur à l'âme que de faire une âme moins triste!" C'est joli et je pense que John et Yoshi se rendent l'âme trés belle...
Merci à eux.

john · 20-03-2007 23:31:06

Hello,
Petit complément pour répondre à yoshi, car il y a quand-même un raccourci... qui est une conséquence de l'indépendance de 2 événements.
Si les événements C et M sont indépendants alors on peut écrire :
Pr(C/M) = Pr(C)
Or Pr(C/M) = Pr(C^M)/Pr(M)
On tire de ces 2 relations :
Pr(C^M) = Pr(C).Pr(M) (c'est la conséquence de l'indépendance de C et M).
On vérifie à l'aide des seules données du pb...
Pr(C^M) = 15%
Pr(C) = 60%
Pr(M) = 40%
On a donc :
Pr(C).Pr(M) = 24% différent de Pr(C^M) = 15% => C et M ne sont pas indépendants.
C'est rapide mais l'explication de l'indépendance est masquée.
A+

Marlye · 21-03-2007 06:32:07

salut si tu n'as pas encore terminé ton exo j'ai fais und evoir sur exactement la même chose et c'était très bien. Alors si tu n'as pas encore de repnse concluante je serai prête à tout t'envoyer
salut

yoshi · 21-03-2007 08:53:49

Bonjour,

John, t'es vraiment un homme de ressources ! Là, je suis admiratif !
Et je rejoins ce cher BOB, t'as pt'être raté ta vocation qui sait ?

[Mode "advocatus diabolis" ON]
Non, BOB je ne pousse pas... C'est simplement de la déformation professionnelle qui fait que j'aime bien que "l'essence précède l'existence" !
Oups ! De la philo....
Je prêche régulièrement qu'avant de rédiger un problème, il doit être fait dans sa tête, et qu'après au sens premier des termes, on devient une machine à écrire, libérant ainsi du temps de cerveau (qu'on ne revend pas aux publicitaires...) mais qu'on utilise pour vérifier que sa main n'écrit pas de c...ies.
Or, là, mon prêche est battu en brèche et ça me défrise...
J'ai horreur de l'échec (mais pas des échecs).
Je maintiens que je dois être capable en lisant l'énoncé, sans calculs, de trouver une explication logique permettant de conclure : ces événements sont indépendants...
J'ai bien reçu le message "au feeling" de mes petits camarades, mais justement le "feeling", l'intuition ne sont-ils pas rendus possibles par des raccourcis entre les différentes banques de données stockées dans son cerveau ?
Peut-être est-ce vouloir un remake de "Mission Impossible", et dans ce cas, il y aura autodestruction bientôt !

Bon, sans rire, savoir en lisant l'énoncé si des événements sont indépendants, sauf si c'est une question posée justement, doit permettre de simplifier la tâche, non ?
[Mode "Advocatus diabolis" OFF]

Pour, revenir à la question initiale, là, je dirais :
M étant l'événement aime la musique,
C l'événement aime le Cinéma,
[tex]P(M\cap \bar C)[/tex] va dépendre de [tex]P(M \cap C)[/tex] puisque l'événement [tex]M \cap C[/tex] existe, donc les événements M et [tex]\bar C[/tex] (et donc M et C) ne sont pas indépendants.

Ca va comme ça, ou bien cette explication a-t-elle une faille ?

@+

john · 21-03-2007 10:36:08

Hello les probaphiles,
Petit contre-exemple pour montrer que le raisonnement de yoshi est vérolé, puis explications.
Je modifie légèrement les données... 24% au lieu de 15%. Merci le copier-coller ! (on ne le dira jamais assez)
--------------------------
......|..C..|..C*..|.Tot.
--------------------------
M....|.24..|........|..40
--------------------------
M*..|.......|........|
--------------------------
Tot..|..60.|........|.100
--------------------------
Ensuite, même si ce n'est pas demandé explicitement dans l'énoncé, tu complètes logiquement le tableau pour obtenir :
--------------------------
......|..C..|..C*..|.Tot.
--------------------------
M....|.24..|..16..|..40
--------------------------
M*..|.36..|..24..|..60
--------------------------
Tot..|.60.|..40..|.100
--------------------------
Il n'y a plus qu'à lire le tableau pour répondre à TOUTES les questions posées.
============
M et C sont-ils indépendants ?
============
A) Réponse de yoshi sans calculs --> non
car

yoshi a écrit :

Pour, revenir à la question initiale, là, je dirais :
M étant l'événement aime la musique,
C l'événement aime le Cinéma,
[tex]P(M\cap \bar C)[/tex] va dépendre de [tex]P(M \cap C)[/tex] puisque l'événement [tex]M \cap C[/tex] existe, donc les événements M et [tex]\bar C[/tex] (et donc M et C) ne sont pas indépendants.
@+

===========
B) Le calcul raccourci nous permet à juste titre de répondre "oui les événements C et M sont indépendants".
===========
Conclusion, sauf si l'énoncé précise que les événements sont indépendants, ON NE PEUT PAS faire l'économie d'un petit calcul.
Mieux, si l'énoncé précise que les événements C et M sont indépendants, on peut remplir le petit tableau avec seulement 2 données : Pr(C) = 60% et Pr(M) = 40 %.
===========
L'erreur de raisonnement vient du fait que Pr(M^C*) dépend tjs de Pr(M^C) puisque, les événements (M^C*) et (M^C) étant disjoints, on a : Pr(M^C*) + Pr(M^C) = Pr(M).
De plus, à l'aide des 2 tableaux, on peut montrer facilement que A = (M^C*) et B = (M^C) ne sont jamais indépendants. En effet :
1er tableau
-------------
Pr(A/B) = 0
Pr(A/B*) = 25/(25+15+45)
2ème tableau
---------------
Pr(A/B) = 0
Pr(A/B*) = 16/(16+24+36)
---------------
cqfd
A+

Dernière modification par john (21-03-2007 10:42:32)

yoshi · 21-03-2007 10:44:22

Bonjour,

Merci John

Conclusion, sauf si l'énoncé précise que les événements sont indépendants, ON NE PEUT PAS faire l'économie d'un petit calcul.

réponse définitive, claire et nette qui clôt donc le débat (enfin, j'espère...)

@+

john · 21-03-2007 10:54:53

Salut Bob,
heu... vu le message qui suit, je crois bien que ton autre problème est en train de se résoudre...

Marlye a écrit :

salut si tu n'as pas encore terminé ton exo j'ai fais und evoir sur exactement la même chose et c'était très bien. Alors si tu n'as pas encore de repnse concluante je serai prête à tout t'envoyer
salut

maintenant que tu es rentré dans le rang et que la réussite est au bout de tes doigts, elles vont toutes se jeter sur toi... c'est la "rançon" de la gloire.
A+

Dernière modification par john (21-03-2007 11:23:33)

yoshi · 21-03-2007 11:10:56

Re-bonjour,

1/4 h plus tard...
J'avais raison d'être prudent.
Donc, John, t'as montré que si
[tex]M \cap C = 15%[/tex]
les événements M et C ne sont pas indépendants, mais qu'en passant à 24 %, ils le sont devenus (indépendants) ??? Diantre !
Alors ça... Ca va sûrement avoir d'autres implications...

Hey John, v'la que je me prends pour Anselme Lanturlu, mais je n'aurai garde de te prendre pour Sophie.... (private joke)

Concernant Bob, je ne dirais pas "qu'il est rentré dans le rang" mais qu'il s'est bonifié avec le temps...
Attention John tu risques d'inquiéter Marlye, et la faire fuir...

@+

[EDIT]
Voilà ce que j'ai trouvé :

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre, si la probabilité que l'autre se produise n'est pas changée.

à la lumière de quoi, le nez dans le nombril, je m'en vais méditer sur lesdites implications...

Dernière modification par yoshi (21-03-2007 11:36:31)

john · 21-03-2007 11:50:27

Hello yoshi,
j'allais tout juste écrire que le débat sur l'indépendance était clos dans ce cas particulier mais qu'il était loin d'être terminé en général...
Tu as parfaitement compris M et C sont indépendants avec 24% mais pas avec 15%, ce qui prouve bien que c'est un problème d'application numérique (dont on ne peut se passer).
Je laisse à Bob le loisir d'imaginer Marlye comme une Sophie version US ou british... et je n'ai aucune crainte concernant sa fuite ou non car le contact par fil interposé (rencontres du 4ème type), c'est vraiment la protection suprême. Quel rapport avec les maths ? Rép. : les maths ont encore bien des applications insoupçonnées.
PS : je me suis régalé avec la BD sur la topologie. Merci yoshi.
A+

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#1 18-03-2007 15:29:07

Un peu de proba ?

#2 18-03-2007 20:21:12

Re : Un peu de proba ?

#3 18-03-2007 20:52:41

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#4 18-03-2007 20:53:10

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#5 18-03-2007 21:18:07

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#6 19-03-2007 20:25:08

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#7 19-03-2007 21:11:48

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#8 19-03-2007 22:41:10

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#9 20-03-2007 20:02:02

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#10 20-03-2007 20:57:56

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#11 20-03-2007 21:06:12

Re : Un peu de proba ?

#12 20-03-2007 23:31:06

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#13 21-03-2007 06:32:07

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#16 21-03-2007 10:44:22

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