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Mouhcine

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Solution d'une équation diff

Bonjour à tous, On considère l'équation différentielle linéaire de seconde ordre [tex]ay'' + by' + cy = 0[/tex].
Notons [tex]aλ^2+bλ+c=0[/tex] son polynôme caractéristique. Nous avons trois cas possibles:

1. Si [tex]Δ=b^2−4ac>0[/tex], alors la solution sera du type: [tex]\quad[/tex]  [tex]y_1=Ae^{λ_1t}+Be^{λ_2t}[/tex]
où [tex]λ_1,λ_2 \in R[/tex] sont les racines du polynôme caractéristique. [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont des constantes réelles déterminées par les conditions initiales.

2. Si [tex]Δ=b2−4ac=0[/tex], alors la solution sera du type: [tex]\quad[/tex]  [tex]y_2=(A+Bt)e^{λt}[/tex]
où [tex]λ\in R[/tex] est la racine double de ton polynôme. [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont des constantes réelles déterminées par tes conditions initiales.

3. Si [tex] Δ=b^2−4ac<0[/tex] , les racines du polynôme caractéristique sont complexes et peuvent s'écrire [tex]λ_1=α+iβ[/tex] et [tex]λ_2=α−iβ[/tex] où [tex]α,β\in R[/tex]. Alors, la solution sera du type: [tex]\quad[/tex]  [tex]y_3=e^{αt}(A\cos(βt)+B\sin(βt))[/tex]
[tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont des constantes réelles déterminées par les conditions initiales.

Ma question, est ce qu'on peut récupérer [tex]y_2[/tex] à partir de [tex]y_1[/tex], par exemple pour [tex]λ_1 = λ_2[/tex].
Merci d'avance

Fred

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Re : Solution d'une équation diff

Pas vraiment...