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#1 07-05-2015 17:13:28
- Mouhcine
- Membre
- Inscription : 23-09-2014
- Messages : 106
Complétude
Bonsoir à tous,
Soit [tex]A[/tex] un élément de [tex]M_{n} (K)[/tex] ([tex]K = \mathbb R[/tex] ou [tex]\mathbb C[/tex]), l'exponentielle de A, notée exp A, désigne la somme, dans [tex]M_{n} (K)[/tex] de la série
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{A^{n}}{n!}[/tex].
Ma question, Où intervient la complétude de l'espace [tex]M_{n} (K)[/tex] dans cette définition ?
Merci d'avance
Hors ligne
#3 10-05-2015 21:41:42
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Complétude
La complétude intervient pour démontrer que la série est convergente. Pour démontrer la convergence de la série définissant [tex]\exp(A)[/tex], il suffit de démontrer, par complétude de [tex]M_n(K)[/tex], que la série [tex]\sum_{n\geq 0}\frac{\|A^n\|}{n!}[/tex] converge.
F.
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