Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mouhcine

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Groupe quotient

Bonne nuit à tous, Soit [tex]H[/tex] un sous-groupe d'un groupe [tex]G[/tex].
Ma question, est ce qu'on peut toujours considéré le groupe quotient [tex]G\diagup H[/tex]? ou bien, nous somme obligé d'ajouté des hypothèses sur [tex]H[/tex].
Merci d'avance

Fred

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Re : Groupe quotient

Salut,

  Il faut que H soit un sous-groupe normal (on dit aussi distingué) pour pouvoir munir le quotient d'une structure de groupe héritée de celle de G.

Fred.

Mouhcine

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Re : Groupe quotient

Ok merci Fred, autre question, Soit[tex] H[/tex] un sous-groupe distingué d'un groupe [tex]G[/tex], on considère donc le groupe quotient [tex]G╱H[/tex].
Le groupe [tex]G[/tex] agit sur lui-même par trois actions classiques :
translation à gauche, translation à droite et automorphisme intérieur.
Existe-il une action entre [tex]G[/tex] et [tex]G╱H[/tex] par exemple ? ou quelques chose comme ça ?

Fred

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Re : Groupe quotient

Rien ne t'empêche de faire opérer G sur G/H par translation à gauche par exemple, c'est d'ailleurs parfois utile, mais dans ce cas, pas vraiment besoin que H soit distingué. Tu as simplement besoin de la définition de G/H comme l'ensemble des classes à gauche modulo H.
Mais j'ai l'impression que tu veux en venir quelque part. Si c'est le cas, donne nous toutes les infos.

F.

Mouhcine

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Re : Groupe quotient

Bonjour, j'ai montré que si [tex]H[/tex] un sous groupe d'un groupe G, alors [tex]G[/tex] opère sur [tex]G/H[/tex] par l'action suivante [tex]g.\bar{x} = \bar{g.x}[/tex].
Et je voudrais montrer qu'elle transitive.
Autre chose,  j'ai pas compris pourquoi dans le livre de R. Mneimné et F. Testard, ils ont supposé que [tex]H[/tex] est fermé.
Merci d'avance

Fred

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Re : Groupe quotient

Bonjour,

  Il s'agit de prouver que pour tous x,y de G, on peut trouver g tel que
[tex]\overline{gx}=\bar y[/tex].
Tu peux par exemple choisir [tex]g=yx^{-1}[/tex]

Pour le caractère fermé de H, on est dans un autre problème, celui des groupes topologiques. Si tu veux simplement faire de la théorie des groupes (de l'algèbre) pas besoin de faire des hypothèses de nature topologique sur G ou sur H.

F.

Mouhcine

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Re : Groupe quotient

Merci encore Fred et bonne nuit

Chafah18

Invité

Re : Groupe quotient

Bonsoir à tous! Svp est qu'il y a qlq'1 qui peux m'expliquer la notion du grp quotient! En fait j'ai lu la definition mais j'ai trouvé du mal à comprendre exactement de quoi s'agit il!!
#merci d'avance.