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#26 12-03-2015 11:26:15
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
J'ai corrigé.
Une fois qu'on a que [tex](x_0,y_0)[/tex] est une valeur d'adhérence pour la suite [tex](x_n,y_n)[/tex] , pour montrer l'isométrie on fait par l'absurde , ou on peut voir ça directement?
Merci
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#28 12-03-2015 13:22:42
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
mais le problème c'est que je ne vois pas comment utiliser exactement le fait que [tex](x_0,y_0)[/tex] est une valeur d'adhérence de [tex](x_n,y_n)=(f^n(x_0),f^n(y_0))[/tex] a partir de on choisit k ... je ne comprend pas!
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#29 12-03-2015 14:01:17
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Je ne comprends pas trop ce que tu ne comprends pas, mais bon...
Si c'est une valeur d'adhérence, tu as une sous-suite [tex](x_{\phi(n)},y_{\phi(n)})[/tex] qui converge vers [tex](x_0,y_0)[/tex].
Donc il existe n tel que
[tex]d\big( (x_{\phi(n)},y_{\phi(n)}),(x_0,y_0)\big)<\delta/2[/tex]
Il suffit de choisir [tex]k=\phi(n)[/tex].
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#30 12-03-2015 18:54:21
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Yes j'ai compris merci, mais on peut mettre [tex]\displaystyle d\big( (x_{\phi(n)},y_{\phi(n)}),(x_0,y_0)\big)<\delta[/tex] et dire [tex]d(f^k(x_0),f^k(y_0))<\delta+d(x_0,y_0)\leq d(f(x_0),f(y_0))[/tex].
Pour la continuité de [tex]f[/tex] on prend une suite [tex]x_n\rightarrow x[/tex] et on doit montrer que [tex]f(x_n)\rightarrow f(x)[/tex]
mais par l'isométrie on a [tex] d(f(x_n), f(x_0))= d(x_n,x_0)<\varepsilon[/tex] donc f est continue !
Il me reste la dernière question sur le point fixe, je dois montrer qu' il existe [tex]x\in E[/tex] tel que [tex]f(x)=x[/tex],
a premiére vue si la suite x_n est constante alors f a un point fixe, mais je n'arrive pas a faire un raisonnement convenable
Merci d'avance pour votre aide .
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#31 12-03-2015 21:57:19
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Tu es sûr de l'énoncé???
Parce que si je prends pour E le cercle unité et pour f une rotation sur ce cercle,
toutes les hypothèses sont vérifiées et f n'admet aucun point fixe.
F.
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#37 12-03-2015 22:39:37
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
[tex]\exp(i\pi/2)=i[/tex] qui est manifestement différent de 1.
Attention, [tex]\exp(w)=1[/tex] n'entraine pas forcément [tex]w=0[/tex] si [tex]w[/tex] est complexe.
C'est équivalent à [tex]w=2k\pi,\ k\in\mathbb Z[/tex].
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#42 12-03-2015 23:21:50
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
je sais pas j'ai pas bien compris le contre exemple je suis mieux dans R que dans C, et au sujet de la suite on peut définir la suite récurrente sur E que vous avez donné merci
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#43 13-03-2015 16:01:55
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Bonjour,
je ne maitrise pas assez le contre exemple, mais je pense que si [tex](x_n)[/tex] possède une sous suite qui converge vers x_0 d'un coté on a que [tex]x_{\varphi(n)+1}\rightarrow x_0[/tex] et de l'autre [tex]x_{\varphi(n)+1}=f(x_{\varphi(n)})\rightarrow f(x_0)[/tex]
Qu'en pensez vous ?
Merci
Dernière modification par topologie (13-03-2015 16:46:03)
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#45 13-03-2015 21:43:43
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Mais non, puisque je considère le cercle comme compact E de départ!!!
Le centre de la rotation n'est pas dans E, mais la rotation laisse bien invariant E (le cercle unité).
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#49 14-03-2015 08:13:01
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Bonjour, peut etre que le problème est la suite , peut on définir une suite récurrente sur la sphère? (je ne trouve pas de faille dans la démonstration en utilisant la limite )
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#50 14-03-2015 13:35:36
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Tu veux dire dans ce que tu as écrit au post 43.
C'est simple : ce n'est pas parce que [tex]x_{\varphi(n)}[/tex] tend vers [tex]x_0[/tex] que
[tex]x_{\varphi(n)+1}[/tex] tend aussi vers [tex]x_0[/tex]. Le terme suivant de la suite extraite, c'est [tex]x_{\varphi(n+1)}[/tex].
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