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#1 07-03-2015 18:12:13
- topologie
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Application dilatante sur un espace métrique compact
Bonsoir,
J'ai cet exercice:
Soit (E,d) un espace métrique compact, et f: E\rightarrow E , une application qui vérifie [tex]\forall (x,y)\in E^2, d(f(x),f(y))\geq d(x,y)[/tex]. Considérons la suite : [tex]\begin{cases} x_{n+1}=f(x_n)\\ x_0\in E\end{cases}[/tex]
1) montrer que [tex]x_0[/tex] est une valeur d'adhérence pour la suite [tex](x_n)_n[/tex]
2) [tex]f(E)[/tex] est dense dans [tex]E[/tex]
3) montrer que [tex]f[/tex] vérifie [tex]d(f(x),f(y))=d(x,y),[/tex] et en déduire que [tex]f[/tex] est continue.
4) montrer que [tex]f[/tex] possède un point fixe
Pour la première question je sais que dans un espace métrique compact toute suite possède une valeur d’adhérence, mais comment démontrer cela ?
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#2 07-03-2015 23:33:45
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Bonsoir,
Il suffit de démontrer que, pour tout [tex]\varepsilon>0[/tex] et tout [tex]N\in\mathbb N[/tex], il existe [tex]n\geq N[/tex] tel que [tex]d(x_n,x_0)<\varepsilon[/tex].
Pour cela, on peut remarquer que [tex](x_n)[/tex] admet une suite extraite convergente [tex](x_{\varphi(n)})[/tex]. En particulier, cette suite extraite est de Cauchy, donc il existe [tex]n_0\in\mathbb N[/tex] tel que, pour tout [tex]p,q\geq n_0[/tex], alors [tex]d(x_{\varphi(p)},x_{\varphi(q)})<\varepsilon [/tex]. Choisissons [tex]p=n_0[/tex] et [tex]q=n_0+N[/tex], et posons [tex]n_1={\varphi(p)}[/tex] et [tex]n_2=\varphi(q)[/tex]. Alors [tex]n_2-n_1\geq N[/tex] et [tex]d(x_{n_1},x_{n_2})<\varepsilon[/tex]. Ceci se réécrit
[tex]d(f^{n_1}(x_0),f^{n_1}(x_{n_2-n_1}))<\varepsilon.[/tex] Il suffit ensuite d'utiliser la propriété sur la fonction f pour remarquer que
[tex]d(x_0,x_{n_2-n_1})<\varepsilon[/tex].
F.
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#4 10-03-2015 19:19:01
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
C'est bon j'ai compris tout espace métrique compacte toute suite admet une sous suite que converge et qui est donc de Cauchy .
Pouvez vous me donner une idée au sujet de la 2éme question, on sais que $\overline{f(E)}\subset E$ il reste a montrer que $E\subset \overline{f(E)}$ comment faire ?
Merci
Dernière modification par topologie (10-03-2015 21:36:33)
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#7 10-03-2015 22:09:50
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Tu vois, je pense que quand j'écris à 21h57 et que tu réponds à 22h00, c'est que tu n'as pas assez réfléchi.
Je pourrais te répondre que c'est évident d'après la première question!
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#8 10-03-2015 22:16:04
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
je suis hyper stressé c'est tout désolé.
[tex]x_0[/tex] est une valeurs d'adhérence de [tex](x_n )_n[/tex] et [tex]x_n[/tex] par définition appartient à [tex]f(E)[/tex] donc [tex]x_0\in \overline{f(E)}[/tex] , mais est ce que c'est valable pour tout[tex] x_0[/tex] pour que je puisse dire que [tex]E\subset \overline{f(E)}[/tex] ?
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#10 10-03-2015 22:40:23
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Après avoir revu l'énoncé oui x_0 est quelconque dans E .
S'il vous plait pour la 3éme je ne comprend pas si par hypothèse on a [tex]\displaystyle \forall (x,y)\in E^2, d(f(x),f(y))\geq d(x,y)[/tex] pourquoi on cherche l'égalité ?
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#12 10-03-2015 22:56:09
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Donc c'est valable que pour les espaces métriques compacts donc pour démontrer il faut utiliser le fait que E soit compact et donc utiliser les suites? je dois peut être utiliser la densité de f(E) mais je ne vois pas comment
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#13 10-03-2015 23:07:55
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Je n'ai pas de preuve vraiment facile. Voici une méthode :
1) Démontrer que si [tex](x_0,y_0)[/tex] est fixé dans [tex]E\times E[/tex] et si [tex]\varepsilon>0[/tex], il existe un entier [tex]k[/tex] tel que
[tex]d(x_0,f^k(x_0))<\varepsilon[/tex] et [tex]d(y_0,f^k(y_0))<\varepsilon[/tex]. Pour cela, on reprend la méthode de la première question.
2) Raisonner par l'absurde. S'il existe [tex]x_0,y_0\in E[/tex] tels que [tex]d(f(x_0),f(y_0))>d(x_0,y_0)[/tex], alors posons
[tex]\delta=d(f(x_0),f(y_0))-d(x_0,y_0)>0[/tex] et on choisit k tel que
[tex]d(x_0,f^k(x_0))<\delta/2[/tex] et [tex]d(y_0,f^k(y_0))<\delta/2[/tex]. Alors, par l'inégalité triangulaire,
[tex]d(f^k(x_0),f^k(y_0))< d(x_0,y_0)+\delta\leq d(f(x_0),f(y_0))[/tex]
ce qui contredit que f est une application dilatante.
F.
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#18 11-03-2015 22:47:38
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Si je dis ça : Supposons qu'il existe [tex]x_0, y_0[/tex] tel que [tex]d(f(x_0),f(y_0))-d(x_0,y_0)>0[/tex] puis je dis que d'après la 1ére question [tex]x_0[/tex] et[tex] y_0[/tex] sont respectivement deux valeurs d'adhérences pour les suites [tex](x_n)[/tex] et [tex](y_n)[/tex] donc il existe [tex]n_0[/tex] tel que [tex]d(x_{n_0},x_0)<\frac{\delta}{2}[/tex] et [tex]d(y_{n_0},y_0)<\frac{\delta}{2}[/tex], et je continue comme vous avec l'inégalité triangulaire
est ce que c'est correcte ?
Merci
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#19 11-03-2015 22:50:38
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Non, cela ne va pas, car qui te dit que cela va être le même [tex]n_0[/tex] pour les suites [tex](x_n)[/tex] et [tex](y_n)[/tex]?
Tu as besoin de savoir que [tex](x_0,y_0)[/tex] est une valeur d'adhérence de [tex](x_n,y_n)[/tex], ce qui est plus fort.
F.
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#21 11-03-2015 23:07:52
- Fred
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
En tout cas, moi je ne sais pas faire.
Cela dit, la méthode est exactement identique (ou même il suffit d'appliquer le résultat de la première question à [tex]f\times f[/tex]).
F.
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#22 12-03-2015 09:13:02
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
Bonjour,
On dit que [tex](x_n,y_n)[/tex] est une suite du compacte et métrique [tex]E\times E[/tex] , donc admet une sous suite qui converge qui est de Cauchy [tex](x_{\varphi(n)}, y_{\varphi(n)})[/tex] de Cauchy veut dire que [tex]\forall \varepsilon >0, \exists n_0\in \mathbb{N}, \forall p,q\geq n_0, d((x_{\varphi(p)},y_{\varphi(p)}), (x_{\varphi(q)},y_{\varphi(q)}))<\varepsilon[/tex]
et on veut montrer que [tex]\forall\varepsilon>0, \forall n\in \mathbb{N}, \exists N\geq n , d((x_N,y_N),(x_0,y_0))<\varepsilon[/tex]
c'est correcte pour le moment? comment terminer avec la distance sur un produit c'est la somme des distances ?
Merci d'avance
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#24 12-03-2015 11:01:17
- topologie
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Re : Application dilatante sur un espace métrique compact
On pose [tex]\varphi(p)=n_0+N, \varphi(q)=n_0[/tex] et donc [tex]\varphi(p)-\varphi(q) \geq N
[/tex]
[tex]
\varepsilon> d((x_{n_0+N}, y_{n_0+N}),(x_{n_0},y_{n_0}))=d(x_{n_0+N},x_{n_0})+d(y_{n_0+N},y_{n_0})\geq \ldots\geq d(x_0,x_N)+d(y_0, y_{N})[/tex]
donc [tex](x_0,y_0)[/tex] est une valeur d'adhérence de [tex](x_n,y_n)[/tex]
c'est correcte ? Merci
Dernière modification par topologie (12-03-2015 11:19:38)
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