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#1 02-02-2015 16:51:04
- sotsirave
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Aire
Bonjour
Dans un triangle ABC, D est le milieu du segment AC et E sur le segment AB tel que AE = 1/3 AB.
F est l'intersection des segments CE et BD. L'aire de ABC est 240.
Quelle est celle du quadrilatère AEFD?
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#2 02-02-2015 19:20:09
- totomm
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Re : Aire
Bonsoir,
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#3 03-02-2015 12:52:37
- totomm
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Re : Aire
Bonjour,
Solution pour les jeunes collégiens.
quel excellent exercice sur la comparaison des aires : mêmes longueurs de bases et de hauteurs
et sur le théorème de Thalès
Édit : le dernier FD (erroné de façon évidente) a été corrigé en BD...
Dernière modification par totomm (03-02-2015 15:08:41)
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#4 04-02-2015 01:31:58
- sotsirave
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Re : Aire
Bonjour
En effet les connaissances nécessaires devraient être acquises à l'issue du collège.
Maintenant, on peut généraliser en considérant par exemple D barycentre de A,1 et C,k1, E barycentre de A,1 et B,k2 , S l' aire de ABC avec k1,k2>0.
A+
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#5 04-02-2015 13:02:33
- totomm
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Re : Aire
Bonjour,
Est-ce un hasard si l'exercice " Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Aire " donné par sotsirave
est la proposition 4 du livre second (en latin) de IOANNIS VERNERI (né en 1468)
dont l'ouvrage vient d'être évoqué dans la discussion " Café mathématique » un autre erreur " par orielpack ?
Cliquer pour voir
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#6 04-02-2015 20:39:40
- sotsirave
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Re : Aire
bonjour totomm
Peux-tu me traduire cette proposition 4 car à part quelques expressions latines classiques et textes religieux, je ne suis pas versé dans cette langue vaticane.
Merci
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#7 05-02-2015 15:19:22
- totomm
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Re : Aire
Bonjour,
@ sotsirave : j'ai bien mérité cette provocation, mais ma dernière version latine a plus de 60 ans...
Peut-être quelqu'un qui aurait gardé des relations avec les lettrés collège-lycée pourra faire mieux.
Traduction libre et incomplète :
Soient 2 segments AB et AC ayant un point commun A ; et deux lignes BE et CD qui se coupent en un point F, Le point D étant sur AB et le point E sur AC. Je dis que le ratio de BA à AD est lié aux deux autres ratio BE à EF et FC à CD.
D'après le XXXI des éléments d'Euclide la ligne DG parallèle à BE, qui coupe AC en G, et laquelle ligne DG est aussi parallèle à BF, d'après le XXIXème les angles AEB et AGD sont égaux, ainsi que les angles ADG et ABE ; l'angle BAE est commun ; donc les triangles ABE et ADG aequiangula (semblables) ;
donc par le 64ème des elements, le ratio BA à AD est le même que BE à GD...
donc le ration BA à AD dépend des deux ratio BE à EF et EF à DG. Mais le ratio EF à DG, par le même 64ème élément est le même que FC à CD, donc le ratio BA à AD dépend du ratio BE à EF et du ration FC à CD.
Je comprends vaguement le reste mais n'ose le traduire....
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#8 05-02-2015 23:54:35
- sotsirave
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Re : Aire
Bonjour
Merci totomm
: je n'ai pas compris mais bon...
Alea jacta est
Voici une résolution partielle du cas général.
S est l’aire ABC, E est le barycentre de A,1 et B,k1 ; D est le barycentre de A,1 et C,k2 ; k1,k2 > 0.
On utilise ici deux propriétés classiques :
1° Dans un triangle MNP et Q€[NP] , les aires des triangles MNQ, MQP et MNP sont respectivement proportionnels à NQ, QP et NP (coéficient ?, voyez la hauteur issue de M)
2° a/b = c/d entraîne a/b = (a+c)/(b+d) = (a-c)/(b-d) ou a/(a+b =c/(c+d) etc.…
On trace [ED] et on appelle x, y, z, t et u respectivement les aires des triangles AED, EDF, EFB, DFC et BFC.
On demande x + y.
---Calcul de x
:
a) Dans ABC EA/AB = (x+y+t)/S = k1/(1+k1) d’après 1° et le barycentre .
b) Dans AEC on a AD/DC = x/(y+t)=k2/1 d’après 1° et le barycentre.
Puis x/y+t = k2/1 donc y+t = x/k2 et x/(x+y+1) = k2/(k2+1) d’après 2° ;
donc x+y+t = x(1+k2)/k2.
On en déduit x = Sk1k2/(1+k1)(1+k2) et y+t = Sk1/(1+k1)(1+k2)
--Calcul de y
a) Dans ABC, BE/BA = (z+u)//S = 1/(1+k1) entraîne z+u = S/(1+k1)
b) Dans le quadrilatère BEDC, y/z = t/u = (y+t)/(z+u) =k1/(1+k2) d’après 1° et 2° entraîne z=(1+k2)y/k1
c) Dans ABC DA/AC =( x+y+z )/S = k2/(1+k2) entraine x+y+z= Sk2/(1+k2)
b) et c) entraîne y = Sk2/ (1+k1) (1+k2)
Conclusion x+y = Sk1k2 (2+k1+k2)/ (1+k1) (1+k2) (1+k1+k2)
Amen
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#9 06-02-2015 13:25:39
- totomm
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Re : Aire
Bonjour,
@ sotsirave : pourquoi ne pas dire compliqué quand on peut dire simple ...? :-))
en l'occurrence je ne vois pas ce qu'apporte la notion de barycentre....,
Vous faites x+y, j'avais choisi w=x+y+t (vos notations) et fait simplement w-t,
ce qui n'est pas moins général et dans la ligne de IOANNIS VERNERI (Johannes Werner 1468-1522) que j'ai juste découvert avant-hier.
Avec les coordonnées barycentriques :
vous transformez [tex]\frac{EA}{AB}=\frac{1}{3}\ en\ k_1=\frac{1}{2} \text{et D milieu de AC en }k_2=1[/tex]
et vous pouvez alors effectivement calculer d'après votre formule générale :
[tex]x+y=\frac{S.k_1.k_2.(2+k_1+k_2)}{(1+k_1) (1+k_2) (1+k_1+k_2)}=240.\frac{\frac{1}{2}.1.(2+\frac{1}{2}+1)}{(1+\frac{1}{2})(1+1)(1+\frac{1}{2}+1)}=240\frac{\frac{1}{2}.\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}.2.\frac{5}{2}}=240\frac{7}{30}=56[/tex]
A chacun de choisir sa méthode.... :-))
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#10 06-02-2015 16:51:00
- sotsirave
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Re : Aire
Bonjour totomm
Si je comprends bien ce que vous me dites : est-il utile d’envisager le cas général pour un cas particulier ?
Si c'est cela, ok.
Sinon, le calcul donne l'aire quelles que soient les positions de E et D sur les côtés [AB] et [AC] .
A+
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