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maya

Invité

fonction trigo

Bonsoir à tous, pourriez-vous m'aider s'il vout plaît pour cet exercice... merci

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = sin (2x) +2 cos x.
1. Monter que f est périodique de période 2 pi.
2. Calculer f'(x) puis résoudre dans l'intervalle [0; 2pi] l'équation f'(x) =0.
3. Résoudre dans l'intervalle [0;2pi] l'inéquation f'(x) > 0.
4. En déduire les variations de f sur l'interavlle [0; 2pi].

john

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Re : fonction trigo

Bonsoir maya,
oui, on peut t'aider... mais où ? Peux-tu préciser ?

1) si T est la période, alors f(x+T) = f(x)

A+

maya

Invité

Re : fonction trigo

bonsoir,

aidez moi juste pour la 2. et la 3. S'il vous plait!! et ce n'est qu'une partie du devoir puisqu'il y a d' autres questions.  merci

ybebert

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Re : fonction trigo

Bonsoir,

f'(x) = 2cos(2x) - 2 sin(x)

f'(x) = 0 => 2cos(2x) = 2 sin(x)

soit 2cos(2x) = 2 cos(pi/2 - x)

soit a) 2x = pi/2 -x   + 2kPi
           soit x = Pi/6 +2kPi/3

           soit x= Pi/6 , 5Pi/6 et 9Pi/6  puisque l'on veut les sol entre 0 et 2Pi

      b) 2x = -(pi/2 -x) +2kpi
          soit x = -Pi/2 +2kPi
   
          soit x = 3Pi/2  puisque l'on veut les sol entre 0 et 2Pi
         

Voilà pour la question 2) si je ne me suis pas planté ....
A+

yoshi

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Re : fonction trigo

Bonsoir,

Pour 2)
Moi j'écrirais bien que Sin 2x = 2 Sinx Cos x
Et donc f(x) = = 2 Sinx Cos X + 2Cos x = 2Cos x*(Sinx + 1)
Après, on applique (UV)' = U'V + V'U...
Tu te retrouves quelque part avec Cos²x - Sin²x que tu remplaces par 1 - 2Sin² x...
Tu vas obtenir une équation avec des sin² des sin et 1.
Tu poses un changement de variable sinx --> X  et tu as une équation du second degré degré en X banale, dont le calcul des racines est évident... Ne pas oublier ensuite que X c'est en fait Sin x, et c'est les valeurs de x qu'on veut pas celles de X...

Pour 3) C'est la suite logique --> signe du trinôme en X ! Mais il ne faudra pas oublier sachant que ce trinôme est positif entre les racines, de revenir en arrière avec ton changement de variable X c'est Sin x...

Pour ce soir, je m'arrête là...
Si tu as des questions complémentaires, d'autres prendront bien la suite !

Courage !!

@+
[EDIT] J'ai écrit : "Trinôme  positif entre les racines" et j'ajoute  : en partant de mon écriture -2X² -X + 1

Dernière modification par yoshi (24-02-2007 10:07:16)

Lamine

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Re : fonction trigo

2-
f'(x) =2cos(2x)-2sin(x) = 0

on a : cos(2x) = 1-2sin²(x)

donc : 2sin²(x)+ sin(x) -1 =0

on pose : t= sin(x)   (   -1<= t<= 1 )
on obtient :

2t²+t-1 =0

t1=1/2   => x=p/6  ou 5p/6
t2=-1        => x= -p/2

maya

Invité

Re : fonction trigo

Bonsoir,

Pourriez-vous m'aider à résoudre ce petit problème d'urgence:

On a une fonction f(x)= sin(2x)+2cos x, dont la dévirée est 2cos(2x)- 2 sin x

On veut résoudre graphiquement (sur le cercle trigonométrique) l'inéquation f'(x)>0 c'est-à-dire quand          cos(2x)> sin x sur l'intervalle [0;2pi]...

merci d'avance

yoshi

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Re : fonction trigo

bonsoir,

rapidement comme ça, je tracerais la première et la seconde bissectrice correspondant à pi/4_5pi/4 et 3pi/4_7pi/4.
Et la on voit déjà que pour pi/4 < x < 3pi/4, cos 2x < 0 et sin x >0, donc cette zone ne convient pas...
La zone telle que pi< x < 5pi/4,  elle, est telle que 2pi <2x < 5pi/2, soit 0 < 2x < pi/2 donc que sin x <0 et cos 2 x >0 convient...

Reste à étudier les cas où Cos 2x et sin x sont tous deux positifs ou négatifs en même temps ...

@+

PS : Tu aurais pu nous dire si l'aide apportée auparavant par Ybebert, Lamine et moi-même t'avait rendu service. Quant à la notion d'urgence, cette notion n'est pas très bien connotée...

maya

Invité

Re : fonction trigo

ba en fait j'ai réussi à faire les premières questions (grâce à votre aide ) mais à ma 4. je bloque vraiment et si j''ai compris la 4. je peut faire tout le reste c'est ça qui me gêne...

il faut trouver les solutions de cette inéquation très étrange, car la fonction sin (2x) on y est pas habitué

bye

maya

Invité

Re : fonction trigo

qui peut me détailler SVP et m'apporter une aide claire car désolée yoshi mais j'ai rien compris ..

maya

Invité

Re : fonction trigo

qui peut m'aider d'urgence? help!

la question c'est soit f(x)= sin(2x) + 2 cos x

Calculer f'(x) puis résoudre dans l'intervalle [0;2pi] l'équation f'(x) = 0  (question déja faite )
Résoudre graphiquement dans [0;2pi]'inéquation f'(x)>0 en représentant dans un même repère les fonction sinus et cosinus.

merci de bien vouloir m'apporter une aide ..

john

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Re : fonction trigo

Hello,
pour résoudre cette dernière question, il faut tracer la fonction cos(2x) sur 0..2Pi puis la fonction sin(x) sur le même intervalle. La différence entre ces 2 courbes représente la dérivée f'(x)/2. Il y a 2 points d'intersection et un point de tangence entre les courbes sin et cos. Si la courbe cos est au dessus de la courbe sin, alors x est dans l'intervalle cherché (f'(x)>0).
A+

maya

Invité

Re : fonction trigo

re bonjour

merci mais nous on a besoin de valeur pour les solutions entre 0 et 2pi ..

yoshi

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Re : fonction trigo

Bonjour,

J'avoue là que quelque chose m'échappe...
Aujourd'hui 10 h 45 tu écrivais :

Résoudre graphiquement dans [0;2pi]'inéquation f'(x)>0 en représentant dans un même repère les fonction sinus et cosinus.

et hier 19 h 44 tu écrivais :

On veut résoudre graphiquement (sur le cercle trigonométrique)...

Si c'est la version d'aujourd'hui qui est la bonne, la réponse de John est la bonne, l'abscisse des points d'intersection te donnerait les valeurs de l'angle souhaitées...

Dans le cas contraire, je vais affiner ma méthose sur le cercle trigo...

A te lire...

[EDIT] 20 min après...
Sur le cercle trigo, on trace la droite d'équation y = 0,5 donnant deux points d'intersection avec le cercle correspondant à deux angles de pi/6 et 5pi/6. On trace les rayons correspondants...

Pourquoi pi/6 ?
Sin pi/6 = 0,5 et Cos pi/3 =0,5
Sin est croissante, Cos décroissante ente 0 et pi/2, il est donc clair que pour 0<x<pi/6 alors Cos (2x) > Sin(x) et que pour pi/6 <x<pi/2 alors cos (2x) < sin(x)
Pour x = 5pi/6 sin x = 0,5 et cos 5pi/3 = cos (-pi/3) =0,5

Je pointerais les valeurs clés des sin et cos sur les axes
Ensuite de pi/6 à 5pi/6 sin x crôit de pi/6 à pi/2 puis décroît de pi/2 à 5 pi/6, tandis que dans le même temps cos 2x décroît, puis recroît jusqu'à être égal...
Donc  pi/6<x<5pi/6 ne concient pas cos 2x < sinx

pour 5pi/6<x<pi sin x décroit de 0,5 à 0 tandis que Cos 2x croît de 0,5 à 1... Cette zone convient
De pi à 3pi/2 (exclus) sin x décroît de 0 à - 1 alors que dans le même temps cos 2x décroît de 1 à -1... (sin 3pi/2 = cos 3pi) Cette zone convient.
Puis enfin, pour 3pi/2 < x < 2pi sin(x) crôit de -1 à 0 et cos(2x) croît de - 1 à 1, il croît plus vite comme tu peux sûrement le constater avec les tracés suggérés par John...

Donc les valeurs sont pour cos(2x) - sin(x) > 0 :
[tex]x \in]0 \;;\; {\pi \over 6}[\;\cup\;]{5\pi \over 6}\;;\; 2\pi[[/tex]
Je pointerais les valeurs clés des sin et cos sur les axes et je ferais deux tracés de sin et cos de deux couleurs différentes selon les intervalles (une couleur par intervalle) pour bien montrer ce que j'ai dit plus haut

maya

Invité

Re : fonction trigo

bonsoir,

merci merci !! vraiment  j'ai creusé ma tête la... mais merci encore ... par contre juste une petite remarque ce serait pas intervalles fermés en 0 et 2pi ; et le 2nd intervalle privé de 3pi/2 ??

bonne soirée

john

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Re : fonction trigo

...je ne comprends plus rien moi non plus.

re bonjour

merci mais nous on a besoin de valeur pour les solutions entre 0 et 2pi ..

Ces valeurs, tu les as puisque tu écris dans ton message de demande urgente :
----------------------------------
Calculer f'(x) puis résoudre dans l'intervalle [0;2pi] l'équation f'(x) = 0  (question déja faite )
----------------------------------
Question déjà faite => je connais les valeurs de x telles que f'(x) = 0 donc inutile de me les donner !

A+

yoshi

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Re : fonction trigo

Bonjour,

Maya, on dit souvent :  poser une question c'est y répondre...
Pi,  borne 0 acceptée et borne 2pi (logiquement donc) acceptée..
Et de plus il faut encore exclure la valeur 3pi/2 puisque sin(3pi/2) = cos(3pi) = -1 (inégalité stricte demandée)..
La solution complète est donc :
[tex]x \in[0 \;;\; {\pi \over 6}[\;\cup\;]{5\pi \over 6}\;;\; {3\pi \over 2}[\;\cup\;]{3\pi \over 2}\;;\;2\pi][/tex]

Mais pour représenter graphiquement proprement la solution, je ne vois guère que la solution de John répondant à ta seconde formulation :
là sur l'axe des x, tu pourras positionner toutes les bornes avec les crochets [ et ] et hachurer les parties refusées....
Sur un cercle trigonométrique, c'est un peu trop nébuleux...

@+

maya

Invité

Re : fonction trigo

bonsoir !

je suis vraiment désolée mais j'ai eu un problème au niveau de ma connection internet et je voulais vous dire un IMMENSE merci à tous ceux qui ont pris le temps de m'aider !!!

bonne soirée à tous..