qui a parlé le premier?

sotsirave · 16-11-2014 15:58:37

bonjour

On dit à Pierre:" ton nombre est le produit de deux naturels dont Serge a la somme",
et à Serge : 'ton nombre est la somme de deux naturels non nuls dont Pierre a le produit ".

Ils entament le dialogue suivant:

-J'affirme que tu ne peux pas deviner mon nombre.
-Maintenant que tu as fait cette affirmation, ton nombre est 82.

Qui a parlé le premier et peut-on connaître ces deux nombres?

Dernière modification par sotsirave (21-11-2014 15:05:13)

freddy · 18-11-2014 10:08:56

Salut,

A mon humble avis, ce doit être Serge (l'hypothèse Pierre ne fonctionne pas car 82 n'admet que deux diviseurs).

sotsirave · 18-11-2014 11:34:05

salut Freddy

Tu sais que seuls les nombres premiers ont exactement 2 diviseurs

yoshi · 18-11-2014 13:04:10

Bonjour,

Ne pinaillons pas, s'il vous plaît !
C'est gentil de faire un cours à freddy, mais il n'en a pas besoin...
J'avais vu et compris ce que voulait dire freddy : il parlait évidemment des deux seuls diviseurs (tous deux premiers) de 82 autres que 1 et 82...

@+

Dernière modification par yoshi (18-11-2014 14:28:01)

freddy · 18-11-2014 16:38:33

Merci Yoshi !

Oui, j'avais posté il y a longtemps un sujet similaire avec Sophie et Patricia.
J'ai suivi le raisonnement de l'époque, en beaucoup plus simple.
Pour l'heure, pas le temps de trouver les deux bons numéros, mais promis, c'est pour bientôt (si c'est possible, bien sûr !)
Ne te fâche pas, l'ami :-)

freddy · 19-11-2014 07:30:36

Salut,

voilà, j'ai retrouvé l'énigme de l'époque à laquelle j'ai pensé en voyant ton énigme.

@+

Dernière modification par freddy (19-11-2014 07:31:02)

sotsirave · 20-11-2014 11:01:28

Bonjour

Voici une indication
Tout d'abord, Pierre et Serge savent que le produit est le nombre de Pierre et la somme celui de Serge. Ce n'est pas forcément implicite et j'aurais dû le préciser dans l'énoncé, veuillez m'en excuser.(erreur rectifiée)
Ensuite il y a deux nombres dont on est certain que Serge ne peut pas avoir avant la premier affirmation. Lesquels?
Enfin, il y a des nombres que Pierre peut avoir lui permettant de connaître celui de Serge.
A++

Dernière modification par sotsirave (21-11-2014 15:07:00)

sotsirave · 26-11-2014 19:42:08

bonsoir
voici une indication supplémentaire:

Si p est le produit et s la somme des naturels, montrez que p n'est pas premier et s-1 est composé.

A++

sotsirave · 14-12-2014 03:14:46

bonsoir Freddy

Bien sûr, je sais que tu connais les nombres premiers.

J'ai regardé ton problème (Patricia et Sophie) et sa résolution par Barbichu.
Tu trouveras sur le web les résultats suivant:

La paire 4 ; 13 est l'unique solution si 1 < x + y ≤ M et 65 ≤M ≤ 1 684 .
Si 1 < x + y ≤ M et M ≥ 1 685, la paire 4 , 61 est une seconde solution
Pour 1 < x + y ≤ M et M ≤ 64 : il n'y a pas de solution.

Cela n'enlève rien à Barbichu sauf qu 'il aurait dû montrer son analyse.
En effet, il ne précise pas comment il a trouvé la paire 4 ; 13
Comme on le voit, les résultats dépendent de la borne sup de x + y quand il y en a une
Sur l'intervalle [2;100] on a donc une seule solution la paire 4 ; 13 mais pas dans tout intervalle inclus dans [2;100].

Au revoir l'ami.

freddy · 14-12-2014 05:05:30

sotsirave a écrit :

bonsoir Freddy
Bien sûr, je sais que tu connais les nombres premiers.
J'ai regardé ton problème (Patricia et Sophie) et sa résolution par Barbichu.
Tu trouveras sur le web les résultats suivant:
La paire 4 ; 13 est l'unique solution si 1 < x + y ≤ M et 65 ≤M ≤ 1 684 .
Si 1 < x + y ≤ M et M ≥ 1 685, la paire 4 , 61 est une seconde solution
Pour 1 < x + y ≤ M et M ≤ 64 : il n'y a pas de solution.

Cela n'enlève rien à Barbichu sauf qu 'il aurait dû montrer son analyse.
En effet, il ne précise pas comment il a trouvé la paire 4 ; 13
Comme on le voit, les résultats dépendent de la borne sup de x + y quand il y en a une
Sur l'intervalle [2;100] on a donc une seule solution la paire 4 ; 13 mais pas dans tout intervalle inclus dans [2;100].
Au revoir l'ami.

Salut l'ami,

intéressant. Tu nous donnerais la source, stp ?
D'avance, merci !

totomm · 14-12-2014 11:35:23

Bonjour,

Et ce serait bien si sotsirave détaillait sa solution...Barbichu, lui, montre bien comment trouver 4;13 et le justifie entièrement :-)

sotsirave · 14-12-2014 16:26:19

Bonjour Freddy et totomm

"Mon" énigme et celle de Freddy font partie du même type de problème. Je donnerai mes références quand j'aurai obtenu ou indiqué une solution. la mienne est simple par rapport à celle de Sophie et Patricia.

Voici une solution.

Enigme
On choisit deux entiers X et Y, avec 1 < X <Y et X + Y ≤ 100. On indique à Patricia le produit P de X et Y. On indique à Sylvie la somme S de X et Y. Le dialogue est alors le suivant :
1. Patricia : « Je ne sais pas quels sont les nombres X et Y. »
2. Sylvie : « Je savais que vous ne connaissiez pas X et Y. »
3. Patricia : « Eh bien alors, maintenant, je connais X et Y. »
4. Sylvie : « Eh bien, moi aussi je les connais maintenant. »
À vous de trouver X et Y.

Solution
L'énigme se résout en quatre étapes.
1) Notons V1 l'ensemble des nombres entiers P qui peuvent être factorisés de deux façons différentes au moins : P = XY avec 1 < X < Y et X + Y ≤ 100.
L'ensemble V1, qui est l’ensemble {12, 18, 20,..., 2280, 2340, 2352, 2400}, possède 574 éléments.
Ensemble V1 des nombres P qui sont, de deux façons différentes au moins, égaux au produit de deux facteurs X et Y
{12, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 126, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 144, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 156, 160, 162, 164, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 180, 182, 184, 186, 188, 189, 190, 192, 195, 196, 198, 200, 204, 207, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 225, 228, 230, 231, 232, 234, 238, 240, 243, 245, 246, 248, 250, 252, 255, 256, 258, 260, 261, 264, 266, 270, 272, 273, 275, 276, 279, 280, 282, 285, 286, 288, 290, 294, 296, 297, 300, 304, 306, 308, 310, 312, 315, 320, 322, 324, 325, 328, 330, 336, 340, 342, 344, 345, 348, 350, 351, 352, 357, 360, 364, 368, 370, 372, 374, 375, 376, 378, 380, 384, 385, 390, 392, 396, 399, 400, 405, 406, 408, 410, 414, 416, 418, 420, 425, 429, 430, 432, 434, 435, 440, 441, 442, 444, 448, 450, 455, 456, 459, 460, 462, 464, 465, 468, 470, 475, 476, 480, 483, 486, 490, 492, 494, 495, 496, 500, 504, 506, 510, 512, 513, 516, 518, 520, 522, 525, 528, 532, 539, 540, 544, 546, 550, 552, 558, 560, 561, 564, 567, 570, 572, 574, 576, 580, 585, 588, 592, 594, 595, 598, 600, 602, 608, 609, 612, 616, 620, 621, 624, 627, 630, 637, 638, 640, 644, 646, 648, 650, 651, 656, 660, 663, 666, 672, 675, 680, 682, 684, 688, 690, 693, 696, 700, 702, 704, 714, 715, 720, 726, 728, 735, 736, 738, 740, 741, 744, 748, 750, 754, 756, 759, 760, 765, 768, 770, 774, 780, 782, 783, 784, 792, 798, 800, 806, 810, 812, 814, 816, 819, 820, 825, 828, 832, 836, 840, 850, 855, 858, 860, 864, 868, 870, 874, 880, 882, 884, 888, 891, 896, 897, 900, 902, 910, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 935, 936, 945, 946, 950, 952, 957, 960, 962, 966, 968, 969, 972, 975, 980, 984, 986, 988, 990, 992, 1000, 1008, 1012, 1014, 1020, 1026, 1032, 1035, 1036, 1040, 1044, 1050, 1053, 1054, 1056, 1064, 1066, 1071, 1078, 1080, 1088, 1092, 1100, 1102, 1104, 1105, 1110, 1116, 1118, 1120, 1122, 1125, 1131, 1134, 1140, 1144, 1148, 1150, 1152, 1155, 1160, 1170, 1173, 1176, 1178, 1184, 1188, 1190, 1196, 1197, 1200, 1204, 1215, 1216, 1218, 1224, 1230, 1232, 1240, 1242, 1248, 1254, 1258, 1260, 1275, 1276, 1280, 1288, 1292, 1296, 1300, 1302, 1311, 1312, 1320, 1323, 1326, 1330, 1332, 1334, 1344, 1350, 1360, 1364, 1365, 1368, 1377, 1380, 1386, 1392, 1394, 1400, 1404, 1406, 1408, 1425, 1426, 1428, 1430, 1440, 1449, 1450, 1452, 1456, 1458, 1470, 1472, 1476, 1480, 1482, 1485, 1488, 1496, 1500, 1508, 1512, 1518, 1520, 1530, 1536, 1539, 1540, 1550, 1554, 1560, 1564, 1566, 1568, 1575, 1584, 1596, 1600, 1610, 1612, 1617, 1620, 1624, 1628, 1632, 1638, 1650, 1656, 1664, 1672, 1674, 1680, 1700, 1702, 1710, 1716, 1725, 1728, 1736, 1740, 1748, 1750, 1755, 1760, 1764, 1768, 1776, 1782, 1792, 1794, 1798, 1800, 1820, 1824, 1836, 1848, 1850, 1856, 1860, 1872, 1890, 1904, 1914, 1920, 1924, 1932, 1938, 1944, 1950, 1960, 1972, 1980, 1984, 2016, 2030, 2040, 2046, 2052, 2070, 2080, 2100, 2108, 2112, 2142, 2145, 2160, 2176, 2184, 2200, 2205, 2240,2244, 2268, 2280, 2340, 2352, 2400}
D'après le point 1 du dialogue, le produit P = XY des deux nombres recherchés est un nombre de V1.
Notons V2 l'ensemble des nombres entiers S ≤ 100 qui ont la propriété que pour toute décomposition en somme S = X + Y avec 1 < X < Y, le produit XY est dans V1.
2) D'après le point 2 du dialogue de Sylvie et Patricia, les nombres X et Y cherchés sont tels que S est dans V2. Étudions V2, l’ensemble des sommes de deux nombres dont le produit est ambigu (notons que V1 et V2 sont calculables par les deux protagonistes).
a) Il est immédiat que V2 ne contient que des nombres-sommes S tels que 5 ≤ S ≤ 100.
b) V2 ne contient pas de nombres ≥ 55. En effet, si S ≥ 55, il s’écrit S = 53 + (S – 53), X = 53, Y = S – 53 ; or nous allons démontrer que le produit correspondant P = XY = 53 x (S – 53) n'est pas dans V1. En effet, puisque 53 est premier, une autre factorisation de P comporte nécessairement un facteur ≥ 2 x 53 et donc ne satisfait pas le critère X + Y ≤ 100 ; cela interdit à P d'avoir deux factorisations satisfaisant P = XY avec 1 < X < Y et X + Y ≤ 100.
c) V2 ne contient pas de nombre-somme S pair. En effet, si S est paire, elle peut s'écrire comme somme de deux nombres premiers (c'est la conjecture de Goldbach qui, pour les entiers ≤ 100, se démontre facilement) S = P1 + P2 et donc le nombre P = P1 x P2 n'est pas dans V1 à cause de l'unicité de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers.
d) V2 ne contient pas de nombre S de la forme Q + 2 avec Q premier. En effet si S = Q+ 2, le produit P = 2 x Q n'est pas dans V1 (là aussi à cause de l'unicité de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers).
e)Le nombre 51 n’est pas dans V2, car 51 = 17 + 34 et 17 x 34 n’est pas dans V1.
En se fondant sur ces remarques et en faisant défiler tous les entiers entre 5 et 55, on en déduit que l’ensemble des nombres de V2 est {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}.
Si vous trouvez cette partie du raisonnement trop compliquée, vous pouvez envisager chaque nombre-somme S entre 1 et 100 et tester si ce nombre est dans V2 en étudiant individuellement chaque décomposition S = X + Y et voir si le produit XY est bien ambigu. Vous retrouverez bien sûr le même ensemble V2.
Ensemble V2 des S ≤100 dont toute décomposition S = X + Y avec X < Y est telle que XY est dans V1
{11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}
3) Considérons maintenant, pour chaque nombre-somme S de V2, l'ensemble des décompositions S = X + Y avec 1 < X< Y et les produits qui en résultent, que nous notons K (S). Pour 11 par exemple, on a 11 = 2 + 9 qui donne 18, 11 = 3 + 8 qui donne 24, 11 = 4 + 7 qui donne 28, 11 = 5 + 6 qui donne 30, et donc : K (11) = {18, 24, 28, 30}.
On a aussi (ce calcul est faisable à la main, mais bien sûr un ordinateur aidera) : K (17) = {30, 42, 52, 60, 66, 70, 72}, K (23) = {42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132}, ... , K (47) = {90, 132, 172, 210, 246, 280, 312, 342, 370, 396, 420, 442, 462, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 546, 550, 552}, K (53) = {102, 150, 196, 240, 282, 322, 360, 396, 430, 462, 492, 520, 546, 570, 592, 612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702}.
Pour chaque valeur de S dans V2 formation des listes K(S) des produits P correspondant à S
K(11) = {18, 24, 28, 30},
K(17) = {30, 42, 52, 60, 66, 70, 72},
K(23) = {42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132},
K(27) = {50, 72, 92, 110, 126, 140, 152, 162, 170, 176, 180, 182},
K(29) = {54, 78, 100, 120, 138, 154, 168, 180, 190, 198, 204, 208, 210},
K(35) = {66, 96, 124, 150, 174, 196, 216, 234, 250, 264, 276, 286, 294, 300, 304, 306},
K(37) = {70, 102, 132, 160, 186, 210, 232, 252, 270, 286, 300, 312, 322, 330, 336, 340, 342},
K(41) = {78, 114, 148, 180, 210, 238, 264, 288, 310, 330, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418, 420},
K(47) = {90, 132, 172, 210, 246, 280, 312, 342, 370, 396, 420, 442, 462, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 546, 550, 552},
K(53) = {102, 150, 196, 240, 282, 322, 360, 396, 430, 462, 492, 520, 546, 570, 592, 612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702}
D'après le point 3 du dialogue de Sylvie et Patricia, le produit P des deux nombres cherchés appartient à un seul des ensembles K (11), K (17), K (23), ... , K (53). En effet, s'il appartenait à deux ensembles K (S1) et K (S2), Patricia qui connaît P et qui sait que S est dans V2 (elle a mené le même raisonnement que vous) ne pourrait savoir quel est le bon nombre S. Donc elle vérifie que son produit P est dans un seul K et détermine ainsi S. Connaissant le produit et la somme de deux nombres, il est facile de déterminer ces nombres : comme Patricia connaît P et S, elle connaît X et Y.
4) Sachant cela, Sylvie élimine de chaque K (S) tous les nombres qui apparaissent dans d’autres pour former l’ensemble des K’ (S). Par exemple 60 qui est dans K (17) et K (23) est éliminé deK’ (17) et K’ (23).
On obtient alors de nouvelles versions K’ des ensembles K : K’ (11) = {18, 24, 28}, K’ (17) = {52} ... K’ (47) = {172, 246, 280, 370, 442, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 550, 552}, K’ (53) = {240, 282, 360, 430, 492, 520, 570, 592, 612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702}.
Ensemble des valeurs de K'(S) où les doublons de K(S) ont été éliminés
K'(11) = {18, 24, 28},
K'(17) = {52},
K'(23) = {76, 112, 130},
K'(27) = {50, 92, 110, 140, 152, 162, 170, 176, 182},
K'(29) = {54, 100, 138, 154, 168, 190, 198, 204, 208},
K'(35) = {96, 124, 174, 216, 234, 250, 264, 276, 294, 304, 306},
K'(37) = {160, 186, 232, 252, 270, 336, 340},
K'(41) = {114, 148, 238, 288, 310, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418},
K'(47) = {172, 246, 280, 370, 442, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 550, 552},
K'(53) = {240, 282, 360, 430, 492, 520, 570, 592, 612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702}

On remarque que K’ (17) n'a qu'un seul élément et que tous les autres en ont au moins deux. D'après le point 4 du dialogue, nous savons que disposant de ces valeurs possibles de S, Sylvie a pu trouver X et Y, c'est donc que le S dont elle dispose lui permet de connaître P, et donc c'est que S = 17 et que P = 52. Il en résulte que X = 4 et Y = 13. Notons que nous avons conduit ce raisonnement sans connaître ni S ni P, et que la solution X et Y est unique.
Attention aux modifications de l'énoncé
Un algorithme assez simple à programmer permet de faire raisonner l'ordinateur à votre place. Il permet aussi d'étudier ce qui se passe quand on fait varier les données du problème.
Notons en particulier qu'il faut être très prudent dans la construction d'énigmes de ce type, car les inégalités fixées au départ 1 < X < Y et X + Y ≤ 100 sont utilisées dans le cours du raisonnement et le changement d'une seule peut tout bouleverser. Si les inconnues X et Y vérifiaient : 2 ≤ X ≤ Y ≤ 20. il y a bien les deux nombres X = 4 et Y = 13 de la solution. Pourtant, l'énigme n'a pas de solution, car le traitement des listes, quand on prend en compte les deux derniers échanges entre Patricia et Sylvie, est maintenant différent et ne donne plus rien.
C’est le cas si 1 ≤ x + y ≤ 11 et x ≤ y ; on démontre que 1 ; 4 est la seule solution. Par contre si on prend x < y, l’énigme n’a pas de solution !
Si on remplace 100, on obtient une suite infinie de problèmes qui peuvent avoir 0, 1 ou plusieurs solutions selon le nombre M retenu. La solution X = 4, Y = 13 du problème initial reste valide pour tous les M à partir de 65 et donc reste une solution quand M tend vers l'infini : on dit que c'est une solution stable.
Ce n'est pas le cas de la solution X = 67, Y = 82 qui n'est une solution que si M appartient à l'intervalle des entiers entre M = 4721 et M = 5485 : on dit que c'est une solution fantôme.
La solution X = 4, Y = 13 est l'unique solution pour toutes les valeurs de M entre 65 et 1684. Vous pouvez donc modifier l'énoncé initial en précisant 1 < X < Y et X + Y ≤ 1684, il n'aura toujours qu'une seule solution (et le problème sera devenu plus difficile bien sûr).

Impressionnant non? Il y a peut-être une erreur, mais la conclusion est corroborée par d'autres auteurs.

Il existe une autre démonstration utilisant une matrice A(s,p) plus abordable pour moi.

A°°

totomm · 14-12-2014 16:40:42

Bonjour,

sotsirave au premier post de la discussion a écrit :

bonjour
On dit à Pierre:" ton nombre est le produit de deux naturels dont Serge a la somme",
et à Serge : 'ton nombre est la somme de deux naturels non nuls dont Pierre a le produit ".
Ils entament le dialogue suivant:
-J'affirme que tu ne peux pas deviner mon nombre.
-Maintenant que tu as fait cette affirmation, ton nombre est 82.
Qui a parlé le premier et peut-on connaître ces deux nombres?

@ sotsirave : C'est votre solution de cette énigme qui est attendue !

sotsirave · 14-12-2014 17:20:02

Bonjour

Ok Totomm. Voici la personne qui parle en premier. Cela vous permettra de trouver les nombres demandés.

▼Solution1

totomm · 14-12-2014 18:50:25

Bonsoir,

Même avec l'aide fournie par sotsirave, je ne comprends pas.

Celui qui parle en premier sait qu'on lui a donné 82.
Si c'est Serge, Pierre a pu recevoir :
1+81 soit un produit P=1x81=81 ou
2+80 soit un produit P=2x80=160 ou
.
.
41+41 soit un produit P=41x41=1681.

Connaissant un de ces P, qu'est- ce qui permet à Pierre d'annoncer S=82 sans autre information que Serge venant de dire : "J'affirme que tu ne peux pas deviner mon nombre" ?

sotsirave · 14-12-2014 22:46:14

Bonsoir Totomm

▼indication

A++

totomm · 14-12-2014 23:14:45

Bonsoir,

@ sotsirave: Je ne vous suivrai plus dans votre démarche fantaisiste. Problème classé pour moi.

sotsirave · 15-12-2014 00:43:12

Bonjour

Voici une solution qui ne me paraît pas fantaisiste mais bien plus simple que celle de Sophie et Patricia.

Enoncé:
On dit à Pierre:" ton nombre est le produit de deux naturels dont Serge a la somme",
et à Serge : 'ton nombre est la somme de deux naturels non nuls dont Pierre a le produit ".

Ils entament le dialogue suivant:

-J'affirme que tu ne peux pas deviner mon nombre.
-Maintenant que tu as fait cette affirmation, ton nombre est 82.

Qui a parlé le premier et peut-on connaître ces deux nombres?

.

▼solution

s = a + b et p = ab la somme et le produit des deux nombres a et b, a≤ b et n>3 le nombre attribué au premier qui parle.

1) Serge(s) s’exprime en premier et ensuite Pierre (p) donne le nombre (n) de Serge.
Démonstration
Seuls s = 2 ou s = 3 indiquent à Serge le nombre de Pierre (p=1 ou p = 2 respectivement).
En effet ; p < 3 < == > s ≤ 3
Si Pierre parle le premier (p = n >3) , comme il affirme : « tu ne peux pas deviner mon nombre ». Serge le sait puisqu’il n’a ni 2 ni 3. Ce renseignement ne peut pas l’aider à trouver n.
En conséquence, puisque Serge ne pourrait pas affirmer : le nombre de Pierre est n, il parle le premier.

2) CNS de la la détermination de a et b.

Recherche d’une condition nécessaire.

On sait que la paire de naturels est unique
Le nombre p de Pierre n’est pas un nombre premier car il aurait donné la somme de Serge (p + 1) = 2k avant même que celui-ci ne parle . L’affirmation de Pierre serait inutile pour la détermination de n : conséquence, p est composé .
On voit donc une solution possible simple 1 et ( s – 1 ) si (s-1)*1 = p est composé (sinon l’affirmation de Serge serait fausse )

Recherche d’une condition suffisante

. Il suffit maintenant de montrer : il n’existe pas d’autres paires solutions .

En résumé : Condition nécessaire : Serge (s) parle en premier, s – 1 est composé.
Condition suffisante : il n’y a pas d’autre solution que la paire 1 et (s – 1).

3) a = 1 et b = n-1 est la seule solution .

Démonstration

On sait que n – 1 et 1 ont pour somme n et produit p = n -1 . n – 1 doit être composé.
Pour démontrer l’unicité, on considère n = a+ b et b = p/a.

. Donc n – 1 = a + p/a – 1 .

Méthode utilisé par Pierre

- a est un diviseur de p. Pierre divise son nombre p successivement par ses diviseurs d = d1, d2, …non triviaux (autres que 1 et p)
en nombre fini, puis, il calcule Pr = d + p/d – 1. (On pose la question d peut-il être a ?)
- S’ il obtient toujours des nombres premiers seuls d = 1 ou d = p conviennent.
- Il en déduit que n – 1 = p = b et a =1 est la paire solution.
-
Si n = 82, la paire 1 et 81 sera la solution.

En général la solution est 1 ; p, p>3 si quels que soient d, d≠1 et d≠p diviseurs de p, le nombre d + p/d – 1 est premier

Vérification du calcul de Pierre

Il reste à vérifier si 81 et 1 conviennent.

Les diviseurs de 81 sont d = 1, 3, 9, 27, 81.
Comme a et b jouent des rôles symétriques, il suffit de vérifier la nature de Pr = d + 81/d -1 uniquement pour d = 3 et 9.

d = 3 , Pr = 29 premier.
d = 9 , Pr = 17 premier : la seule solution est la paire 1 et 81
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Remarque
*Les naturels n s’appellent les nombres méditerranéens (Med).
Ils sont définis par
n € Med <==>-- si n ≥ 3 alors (n – 1) est composé et quels que soient d, d≠1 et d≠ (n -1) diviseurs de (n – 1),
les nombres d + (n – 1)/d – 1 sont premiers
ou bien n = 2

Med = { 2, 5, 9, 10, 16, 28, 33, 34, 36, 46, 50, 52, 66, 78, 82, 88, 92, 96, 120, 124, 126, 136, 144, 162, 178, 186,...}
**5 et 513 sont les seuls Med impairs < 1000.
***l’énigme n’ a une solution que pour les nombres de Med.
****Conjecture de sotsirave
Med est infini et ne comporte que 2 naturels premiers.

A++

sotsirave · 15-12-2014 23:48:27

Bonsoir Freddy

Hans Freudenthal est à l'origine de ce genre d'énigmes .
Je n'ai pas trouvé le nom de ce mathématicien (et pédagogue) dans ce site mais sur le net.

A+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 16-11-2014 15:58:37

qui a parlé le premier?

#2 18-11-2014 10:08:56

Re : qui a parlé le premier?

#3 18-11-2014 11:34:05

Re : qui a parlé le premier?

#4 18-11-2014 13:04:10

Re : qui a parlé le premier?

#5 18-11-2014 16:38:33

Re : qui a parlé le premier?

#6 19-11-2014 07:30:36

Re : qui a parlé le premier?

#7 20-11-2014 11:01:28

Re : qui a parlé le premier?

#8 26-11-2014 19:42:08

Re : qui a parlé le premier?

#9 14-12-2014 03:14:46

Re : qui a parlé le premier?

#10 14-12-2014 05:05:30

Re : qui a parlé le premier?

#11 14-12-2014 11:35:23

Re : qui a parlé le premier?

#12 14-12-2014 16:26:19

Re : qui a parlé le premier?

#13 14-12-2014 16:40:42

Re : qui a parlé le premier?

#14 14-12-2014 17:20:02

Re : qui a parlé le premier?

#15 14-12-2014 18:50:25

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#16 14-12-2014 22:46:14

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#17 14-12-2014 23:14:45

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#18 15-12-2014 00:43:12

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#19 15-12-2014 23:48:27

Re : qui a parlé le premier?

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