Forum de mathématiques - Bibm@th.net

margotjglt

Membre

Inscription : 01-10-2014

Messages : 3

polynome

Bonjour, je n'arrive pas cette exercice pas encore vu en classe (sa paraît bizarre mais c'est vrai), j'aurais besoin de votre aide 

1. on considère le polynôme P défini par p(x)=x3-4x²-7x+10
a. vérifier que P(x)=(x+2)(x²-6x+5).
b. A l'aide d'un tableau de signes, déterminer le signe de P(x).
2. on considère la fonction f définit sur R par (x)=x²-4x-3 est la fonction g définis sur R par g(x)=-10/x+4
Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans u repère orthogonal.
a. Montrer que f(x)-g(x)=P(x)/x
b. Déterminer le signe de f(x)-g(x) et en déduire la position relative des courbes Cf et Cg.
merci beaucoup de votre aide

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : polynome

Bonsoir,

Et bienvenue chez nous...
Question 1 a)
Il n'est pas demander de "prouver" mais de vérifier.
Donc tu démarres de [tex](x+2)(x^2-6x+5)[/tex], tu développes et tu réduis. Pas besoin d'avoir vu ça en clase : tu pouvais lev faire l'an dernier déjà.
b) Signe de P(x).
Le a) t'y incite, il faut  partir de la forme [tex]P(x)=(x+2)(x^2-6x+5)[/tex].
Tu es déjà capable d'étudier le signe de x+2 sachant que x+2 s'annule pour x = -2...
Il te reste à trouver le signe de [tex]x^2-6x+5[/tex].
Qu'en dit le cours ?
Il dit le polynôme est du signe du coefficient de [tex]x^2[/tex] à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines.
Ici, si a et b sont ces racines avec a < b tu as :

     x   |           a           b     |
---------|-----------------------------|
x²-6x+5  |     +     0    -      0   + |

Il te reste à trouver ces racines...
Sais-tu calculer un discriminant ?
Si non, on fera autrement...

On passera à la suite après ta réponse...

@+

margotjglt

Membre

Inscription : 01-10-2014

Messages : 3

Re : polynome

j'ai bien trouver pareil
pour le petit b le signe de p(x) je ne trouve pas
le signe de (x+2) est + ou pas

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : polynome

Re,

Je repose ma question : sais-tu trouver les racine d'un trinôme du 2nd degré à l'aide du discriminant ?
Si oui, fais le,
Si non, l'as-tu vu en classe ou pas ? Si non, on va faire autrement...
Si oui et que tu as oublié, je te redonnerai les formules...

le signe de (x+2) est + ou pas

Tss ! tss ! tsss ! Ça, tu as du le voir...
x+2 est du signe du coefficient de x après la racine, du signe opposé avant. La racine, je te l'ai donnée c'est -2.
Donc

x   |       -2
----|-------------------
x+2 |   -    0     +

Si tu ne sais pas ça par cœur, voilà une astuce :
je prends une valeur simple de x, ici 0 va bien et je calcule 0+2 = 2 >0
Et le 0 est après -2.
Donc on met + après le 0 de la 2e ligne et - avant...

@+

margotjglt

Membre

Inscription : 01-10-2014

Messages : 3

Re : polynome

non je ne sais pas faire les trinôme avec le disciminant

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : polynome

Re,

Bin, ça c'est ennuyeux...
On a besoin des racines de x²-6x+5 pour cela, on va factoriser ce trinôme...
Je te propose deux méthodes "simples", plus celle du discriminant
J'espère que tu as vu la 1ere.
Méthode 1
On remarque [tex]x^2-6x[/tex] : cela ressemble au développement de  [tex](x-3)^2[/tex]. En effet [tex](x-3)^2=x^2-6x+9[/tex]
Mais le 9 n'y figure pas...
Qu'à cela ne tienne !
On part de  [tex]x^2-6x+9=(x-3)^2[/tex]
Et on change le +9 de membre :
[tex]x^2-6x=(x-3)^2-9[/tex]
Et on remplace [tex]x^2-6x[/tex] par [tex](x-3)^2-9[/tex] dans [tex]x^2-6x+5[/tex] :
[tex]x^2-6x+5=(x-3)^2-9+5 [/tex]
On réduit :
[tex]x^2-6x+5=(x-3)^2-9+5 = (x-3)^2-4[/tex]
Or [tex]4 =2^2[/tex]
Donc [tex]x^2-6x+5=(x-3)^2-2^2[/tex]
Et là, tu reconnais une différence de 2 carrés vue en 3e.
Tu factorises : [tex]x^2-6x+5=(x-3)^2-2^2=(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1)[/tex]
Les racines sont les nombres qui annulent [tex](x-5)(x-1)[/tex] soit x = 5 et x = 1...

Méthode 2
Si a et b sont les solutions du système, alors :
[tex]x^2-6x+5=(x-a)(x-b)[/tex]
Je développe et je réduis :
[tex]x^2-6x+5=(x-a)(x-b)= x^2-(a+b)x+ab[/tex]
On voit alors que :
a+b=6  et ab=5
Si les solutions sont entières alors comme [tex]5 = 5 \times 1[/tex]
a et b valent 1 et 5...
Et [tex]x^2-6x+5 =(x-1)(x-5)[/tex]

Méthode du discriminant (*)
Le discriminant se note [tex]\Delta[/tex]... Bizarre que tu ne l'aies pas vu !
Voici la méthode à utiliser :
[tex]x^2-6x+5[/tex]
[tex]\Delta= (-(-6))^2 - 4\times 1 \times 5 = 36-20 = 16 = 41^2[/tex]
Et les racines sont :
[tex]x_1,x_2 = \frac{-(-6)\pm\sqrt{4^2}}{2\times 1}[/tex]

D'où [tex] x_1 = \frac{6-4}{2}=1[/tex]  et  [tex]x_2=\frac{6+4}{2}=5[/tex]
Donc P(x) s'écrit [tex] P(x)=(x+2)(x-1)(x-5)[/tex]
Maintenant tu ranges les solutions dans l'ordre croissant : -2, 1 et 5 et tu fais le tableau final:

x       |       -2       1      5     |
--------|-------|--------|------|-----|
x+2     |   -   0    +   |   +  |   + |
--------|-------|--------|------|-----|
x²-6x+5 |  +    |    +   0   -  0   + |
--------|-------|--------|------|-----|
P(x)    |       0        0      0     |

Dans chaque colonne tu fais le produit des signes des cases au dessus...

Pigé ?

(*) Pour info :
recherche des racines de l'équation [tex]ax^2+bx+c = 0[/tex]
[tex]\Delta = b^2-4ac[/tex]
--> si [tex]\Delta <0[/tex] pas de solutions. Le polynôme est toujours du signe de a.
--> si [tex]\Delta > 0[/tex] deux solutions :
      [tex]x_1,x_2 = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
      Et [tex]ax^2+bx+c[/tex] est du signe de a à l'extérieur des racines, du signe opposé à celui de a entre les racines.

@+

Dernière modification par yoshi (02-10-2014 10:53:38)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : polynome

Re,

Pour la question 2a)
Je lance le calcul et tu le termines.
[tex]f(x)-g(x)=x^2-4x-3-\left(-\frac{10}{x}+4\right)[/tex]

[tex]f(x)-g(x)=x^2-4x-3+\frac{10}{x}-4[/tex]
Là tu dois tout mettre sur le dénominateur [tex]x[/tex] :
[tex]f(x)-g(x)=\frac{(x^2-4x-3)x}{x}+\cdots - \cdots[/tex]
A toi de compléter...
et ajouter le valeur 0 puisque x est nul pour x =) 0
Mais x étant au dénominateur, 0 est une valeur interdite : double barre:

x       |-oo   -2        0      1     5  +oo|
--------|-------|-------||------|-----|-----|
x       |    -  |   -   ||  +   |   + | +   |
--------|-------|-------||------|-----|-----|
P(x)    |       0       ||      0     0     |
--------|-------|-------||------|-----|-----|
P(x)/x  |       0       ||      0     0     |

Tu complètes avec le signe de P(x) en tenant compte du fait que la colonne -2 <--> 1 s'est dédoublée en   -2 <--> 0 <--> 1
il te faudra rajouter des signes.
Enfin tu feras les produits de signes.

Bon ce soir, je suis HS.

Demain sera un autre jour...

@+

mathieu

Invité

Re : polynome

Bonjour, je ne comprend pas comment donné l'ensemble de définitition de racine carré de-x^2 + 9x -16 ... la racine me bloque en faite

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : polynome

Re,

Cette question ne fait pas partie de la discussion en cours...
N'as-tu pas ceci : Nouvelle discussion en cliquant sur Entraide Collège/Lycée ?
Je vais te répondre quand même, une seule réponse sans plus, je Danss 24 h, je supprimerai ton post et ma réponse...

C'est pourtant simple et dans ton cours (cahier+manuel).
La quantité sous la racine doit toujours être positive ou nulle.
Ton domaine de définition est donc l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a [tex]-x^2+9x-16\geqslant 0[/tex]...
Ouvre ta propre discussion, si tu en veux plus.
Merci

@+