Exercice sur les matrices (Terminale S)

AresTocade · 25-10-2014 12:03:12

La population d'une île vit dans une ville principale ou dans un des villages de campagne.
Des études ont montré que, d'une année sur l'autre:
-10% de la population de la ville part vivre à la campagne;
-20% de la population rurale part habiter en ville.
En 2010, 8 000 individus habitaient en ville et 2 000 à la campagne. On suppose que le nombre d'habitants de l'île reste constant au cours des années.
Pour un nombre entier naturel n, on note a_n (resp b_n) le nombre d'individus, en milliers, qui habitent la ville (resp. la campagne) en 2010+n.
On se propose de trouver une formule donnant le nombre d'individus habitant en ville, quelle que soit l'année.

Partie A- Modélisation à l'aide de suites

1) a. Donner a₀ et b₀ puis a₁ et b₁.
( Ici j'ai mis pour a₀=8 000 et b₀=2 000 puis 7 600 pour a₁ et 2 400 pour b₁ )

Maintenant tout se complique :(
b. Montrer que pour tout n de [tex]\mathbb{N}[/tex]:
[tex]\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}[/tex] avec une matrice carrée A que l'on précisera
Donc ici il faut que je fasse une récurrence ? Mais je n'y arrive pas. La matrice A correspond t-elle aux valeurs de départ ?

c) Démontrer par recurrence que, pour tout n[tex]\ge[/tex]1:
[tex]\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}[/tex]=Aⁿ[tex]\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\end{pmatrix}[/tex]

2) P=[tex]\begin{pmatrix}-1&2\\1&1\end{pmatrix}[/tex]

a) Avec un logiciel de calcul formel (Calculatrice), montrer que:
P^-1[tex]\times[/tex]A[tex]\times[/tex]P=D où D=[tex]\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{pmatrix}[/tex] avec [tex]\lambda_{1}[/tex]et [tex] \lambda_{2}[/tex] des nombres réels que l'on précisera.
b) En déduire que A=PDP^-1, puis, par récurrence que, pour tout n[tex]\ge[/tex]1:
Aⁿ=P[tex]\begin{pmatrix}\lambda_{1} ^n&0\\0&\lambda_{2} ^n\end{pmatrix}[/tex]
c) En déduire une expression de Aⁿ en fonction de n.

Partie B- Nombre de citadins

a) Utiliser la partie A pour exprimer [tex]a_{n}[/tex], puis [tex]b_{n}[/tex] en fonction de n.

Bon b franchement je n'ai absolument rien compris... Le peu d'exercices que nous avons fait en mêlant suite et matrice furent relativement simple mais là je bloque complètement.
Merci de bien vouloir m'aider.

Dernière modification par AresTocade (25-10-2014 12:04:39)

freddy · 25-10-2014 12:28:10

Salut,

la prochaine fois que tu oublies le principe de base de toute communication entre êtres humains, tu te feras sortir du site, vu ?

Ton sujet est simple, mais tu ne sais pas le formaliser simplement. Pourtant, tout est dit, suffit d'écrire.

La population d'une île vit dans une ville principale ou dans un des villages de campagne.
Des études ont montré que, d'une année sur l'autre:
-10% de la population de la ville part vivre à la campagne;
-20% de la population rurale part habiter en ville.
En 2010, 8 000 individus habitaient en ville et 2 000 à la campagne. On suppose que le nombre d'habitants de l'île reste constant au cours des années.
Pour un nombre entier naturel n, on note a_n (resp b_n) le nombre d'individus, en milliers, qui habitent la ville (resp. la campagne) en 2010+n.
On se propose de trouver une formule donnant le nombre d'individus habitant en ville, quelle que soit l'année.

Partie A- Modélisation à l'aide de suites

1) a. Donner a₀ et b₀ puis a₁ et b₁.

On a : [tex]a_0=8 000[/tex] et [tex]b_0=2 000[/tex] puis

[tex]a_1=7 600[/tex] et[tex] a_2=2 400[/tex]

b. Montrer que pour tout n de [tex]\mathbb{N}[/tex]:

[tex]\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}[/tex] avec une matrice carrée A que l'on précisera

Au début, on te dit que [tex]a_{n+1}=0.9\times a_n + 0.2\times b_n[/tex] et [tex]b_{n+1}=0.1\times a_n + 0.8\times b_n[/tex], [tex]\forall n\, \in \mathbb{N}^*[/tex]

Donc la matrice A n'est pas très loin ...

Dernière modification par freddy (25-10-2014 13:04:00)

AresTocade · 25-10-2014 12:39:16

Mes plus plates excuses ! Et merci de m'avoir répondu.

D'accord, donc A=[tex]\begin{pmatrix}0,9&0,2\\0,1&0.8\end{pmatrix}[/tex]
Mais il est dit de le montrer pour tout n, dois-je faire une récurrence ?

Dernière modification par AresTocade (25-10-2014 12:39:40)

freddy · 25-10-2014 12:52:10

Pas du tout, puisque c'est un principe intangible déduit des consignes du début d'exo. C'est la simple écriture du modèle de comportement de la population de l'île entre la ville et la campagne. C'est vrai en soi.

L'objet de l'exo est de montrer qu'à partir d'un certain temps, la taille de la population en ville et dans la campagne ne bougera plus, malgré des flux migratoires inchangés en proportion.

Dernière modification par freddy (25-10-2014 12:54:51)

AresTocade · 25-10-2014 13:09:28

Très bien, je vais essayer de faire le question c).

Soit P(n):"[tex]\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}[/tex]=Aⁿ[tex]\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\end{pmatrix}[/tex]"

Initialisation: Vérifions que P(1) est vraie

A¹[tex]\begin{pmatrix}8 000\\2 000\end{pmatrix}[/tex]=[tex]\begin{pmatrix}0,9&0,2\\0,1&0.8\end{pmatrix}[/tex][tex]\begin{pmatrix}8 000\\2 000\end{pmatrix}[/tex]=[tex]\begin{pmatrix}7 600\\2 400\end{pmatrix}[/tex]=[tex]\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}[/tex]
Donc P(1) est vraie.

Hérédité: On admet que P(n) est vraie pour n de[tex]\mathbb{N}[/tex]
Vérifions que P(n+1) est vraie.

Là je bloque je ne sais pas quoi faire :/

freddy · 25-10-2014 13:24:33

Re,

commence par écrire le produit matriciel suivant [tex]v_{n+1}=A\times v_n = A\times A^n\times v_0[/tex], non ?
avec [tex] v_n=\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}[/tex]

et tu conclus !

AresTocade · 25-10-2014 13:54:16

Ah je vois il fallait réutiliser la question faîtes juste au-dessus.
Pour la question suivante je trouve: [tex]\lambda_{1}[/tex]=0,7et [tex] \lambda_{2}[/tex]=1

Ensuite 2. b) P^-1AP=D
P^-1PAP=PD
AP=PD
APP^-1=PDP^-1
A=PDP^-1

Aⁿ=A[tex]\times[/tex]A...[tex]\times[/tex]A
( Or A=PDP^-1 )
= PDP^-1[tex]\times[/tex]PDP^-1[tex]\times[/tex]...[tex]\times[/tex]PDP^-1
Aⁿ=PDⁿP^-1

Récurrence je n'ai pas compris comment faire...

freddy · 25-10-2014 15:02:00

Re,

"par récurrence" signifie : tu vérifies que c'est vrai pour un rang donné, soit par exemple n=1 ; puis tu supposes que c'est OK pour le rang p, et tu montres qu'alors c'est vrai pour le rang suivant p+1.
Ensuite, tu conclus !

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