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britneyb

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Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Autant les chiffres ça me connaît (nombre d'or c'était facile), que la géométrie c'est pas encore ça....c'est pour cela qu'il me faut de l'aide pour cet exercice car j'ai beau réfléchir je ne trouve pas de solution.

Dans le trapèze quelconque ABCD, (AB) // (CD). Les diagonales se coupent en L. La parallèle à (AB) passant par L coupe (AD) en K.

1. Démontrer que :

[tex]{KL \over AB}={DK \over DA}[/tex]

et [tex]{KL \over DC}={AK \over AD}[/tex]

2. Démontrer que :

[tex]{KL \over AB}+{KL \over DC}=1[/tex]

En déduire que :

[tex]{1 \over AB}+{1 \over CD}={1 \over KL}[/tex]

3. (KL) coupe (BC) en K'. Démontrer que :

[tex]{1 \over AB}+{1 \over CD}={1 \over LK'}[/tex]

Que peut-on en déduire ?

MERCI d'un peu beaucoup d'aide pour cet exercice !!!

Dernière modification par britneyb (21-02-2007 14:32:50)

yoshi

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Bonjour Britneyb,

Mais non, tu te fais des idées, la Géométrie, ce n'est pas forcément difficile...

1 Théorème de Thalès à appliquer dans le triangle DAB...
2. Théorème de Thalès à appliquer dans le triangle ADC pour un rapport égal au rapport : [tex]{KL \over DC}[/tex]
Ensuite pour :
[tex]{KL \over AB}+{KL \over DC}=1[/tex]
Il te faut reprendre les deux rapports par ceux obtenus à la 1ere question et au début de la deuxième : la somme obtenue aura pour dénominateur DA, il faudra faire cette somme..
Ensuite, tu n'auras pas été sans remarquer que dans l'égalité demandée, le numérateur des deux rapports est le même : KL...
Factorise et après c'est évident...

3. C'est la même chose que précédemment dans les triangles CAB et BDC cette fois...
Pour ce que qu'on peut en conclure, je tee laisse observer les deux égalités incriminées l'une en dessous de l'autre :
[tex]{1 \over AB}+{1 \over DC}={1 \over LK}[/tex]
[tex]{1 \over AB}+{1 \over CD}={1 \over LK'}[/tex]
Conclusion pour lees seconds membres ?

Reviens si besoin est,

@+

britneyb

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Oui j'avais repéré pour les 2 premiers qu'iil fallait utiliser le théorème de Thalès, seulement je ne vois pas comment je peux démontrer l'égalité ??

john

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Re,
je viens de vérifier que les triangles semblables sont bien au programme de seconde...
Lorsque des triangles sont semblables, par exemple
DKL
DAB
tu peux écrire (sans réfléchir)
DK/DA = DL/DB = KL/AB
A+
et précise stp l'égalité où tu bloques.

britneyb

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

ben déjà pour les deux égalités de départ (KL/AB et DK/DA), je comprend pa comment démontrer car selon la propriétés de Thalès c'est évident c'est pour ça que je comprend pas comment et pourquoi le démontrer.

Je n'ai pas encore vu les triangles semblables sinon.

Donc quel procédés/méthodes doit-je suivre pour démontrer par exemple KL/AB ?

yoshi

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Bonsoir,

Triangle ABC et "Thalès" : (KL)//(AB)
[tex]{DK \over DA}={DL \over DB}={KL \over AB}[/tex]
Seuls les 1er et dernier rapports servent...

Triangle ACD et "Thalès"  (KL)//(AB) et (AB)//(CD) donc (KL)//(CD) :
Même procédé et seuls les 1er et dernier rapport servent...

Après on reprend l'égalité qui doit être égale à 1, on remplace le 1er rapport par DK/DA et le deuxième rapport par AK/DA, tu mets tout sur le dénominateur DA, et au numérateur, tu te retrouves avec AK + DK...
Conclusion...

@+

britneyb

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Pour le 1, 2ème démonstration les rapports sont bien ceux-ci donc ? :

[tex]{AK \over AD}={AB \over DC}={KL \over DC}[/tex] ???
et les deux extrémités sont ceux que l'on cherchait.(celui du mileu je ne suis pas sûr merci de confirmer)

Ensuite pour le 2, les rapport égaux à 1, ça fait

[tex]{KL \over AB}+{KL \over DC}=1[/tex]

[tex]{DK+AK \over DA}=1[/tex]

DA=1
DK+KA = 1 car K appartient à (AD)

[tex]{1 \over 1}=1[/tex]

C'est bon pour cette démonstration ??

Après pour le déduire que :

[tex]{1 \over AB}+{1 \over CD}={1 \over KL}[/tex]

Je rebloque

Dernière modification par britneyb (24-02-2007 03:05:55)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Bonjour,

Oui, c'est ça... Je te rassure, il vaut mieux bloquer que "débloquer"... ;-)
Donc, à partir de  :
[tex]{KL \over AB}+{KL \over DC}=1[/tex]
Tu mets KL en facteur au premier membre de façon à n'avoir que des 1 en numérateur, puis après tu divises par KL les deux membres :
KL disparait au 1er membre et apparaît en dénominateur au 2nd.

Pour la suite, relis attentivement mon post du 21/02 15:54...

Au fait :

et les deux extrémités sont ceux que l'on cherchait.(celui du mileu je ne suis pas sûr merci de confirmer)

Je ne comprends pas ta question...
A ce stade, il n'y a pas de milieu. Il y en aura un à la fin...

@+

britneyb

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

D'accord donc [tex]KL({1 \over AB}+{1 \over DC})=1[/tex]

et donc [tex]{1 \over AB}+{1 \over DC}={1 \over KL}[/tex]

Et on a ce qu'on cherchait

Pour ce que vous n'avez pas compris, je voulais jsute sa voir si l'égalité AB/DC était juste même si elle ne sert à rien.

Je vais partir un moment et après je reviendrais faire la suite

Dernière modification par britneyb (24-02-2007 15:38:35)

britneyb

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Voilà j'ai fait le 3. Finalement c'était simple :

K' appartient à (KL) donc (toutes les égalités possédant K sont valable pour K') :

- [tex]{LK' \over AB}={DK' \over DA}[/tex] et [tex]{LK' \over DC}={AK' \over AD}[/tex]

- [tex]{LK' \over AB}+{LK' \over DC}=1[/tex]

- [tex]LK'({1 \over AB}+{1 \over DC})=1[/tex]

ET DONC [tex]{1 \over AB}+{1 \over DC}={1 \over LK'}[/tex]

On en déduit donc que [tex]{1 \over LK}={1 \over LK'}[/tex].

Est-ce nécessaire de préciser que :

De ce fait, LK=LK'

???????????????????????

La démonstration est suffisante ???

Dernière modification par britneyb (25-02-2007 00:01:52)

yoshi

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Bonjour,

Oui, je considère que c'est suffisant...
Pour ce qu'on peut en déduire, étant donné qu'on est parti d'un trapèze quelconque, je pense que oui on peut ajouter LK = LK' et aboutir sur : donc L est le milieu de [KK'] : c'est quand même un résultat remarquable, non ?

@+

britneyb

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Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

Oui aussi L est le milieu de [KK'] ! J'y avais même pas pensé !

Oui remarquable, on est quand même parti de pas grand chose.

Bref merci beaucoup de m'avoir suivi au long de l'exercice, je vous suis très reconnaissant !

76**p202

Invité

Re : Propriétés dans un trapèze [Résolu]

merci cela m'a servis aussi ce n'était pas si compliqué