Forum de mathématiques - Bibm@th.net

nosta

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exercice de maths

bonjour

merci de m'aider à résoudre cette question d'une suite numerique

soit la suite définie par recurrence suivante

[tex]u_{n+2}=\frac{1}{27}(12u_{n+1}-u_n)[/tex] avec [tex]u_0 = 2[/tex] et [tex]u_1 =\frac{4}{9}[/tex]

on pose [tex]v_n = u_n - \frac{1}{3^n}[/tex] [tex]\forall n \geq 0[/tex]

il est demandé de montrer que : [tex]u_{n+1}=\frac{1}{9}u_n +\frac{2}{3^{n+2}}[/tex]

pour repondre à cette question j'ai procédé par recurrence

pour n= 1, la relation donnée est vraie :[tex]u_1= \frac{1}{9}u_0+\frac{2}{3^{2}} = \frac{4}{9}[/tex]

je suppose que c'est vrai pour n et (n+1) et la demontre pour n+2

[tex]u_{n+2}=\frac{1}{27}(12u_{n+1}-u_n)[/tex]
[tex]u_{n+2}=\frac{1}{27}(12\frac{1}{9}u_n +\frac{24}{3^{n+2}}-u_n)[/tex]

là je bloque
en fait je ne sais même pas si je dois utiliser la recurrence ou pas

merci pour l'aide car dans cet exercice il y a d'autres questions que je dois resoudre

cordialement

Dernière modification par nosta (13-10-2014 18:26:06)

yoshi

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Re : exercice de maths

Salut,

Bienvenue à bord...
C'était tout bête, mais j'ai quand même mis 1/4 h à piger le truc...
C'est bien ça qu'il faur faire, mais il faut scinder les[tex] u_{n+1}[/tex].
[tex]u_{n+2}=\frac{1}{27}(12u_{n+1}-u_n)=\frac 4 9 u_{n+1}-\frac{u_n}{27}[/tex]
Et c'est là le tournant du match !
On met de côté le 1/9 !!!
[tex]u_{n+2}=\frac 1 9 u_{n+1}+\frac 1 3 u_{n+1}-\frac{u_n}{27}[/tex]
[tex]u_{n+2}=\frac 1 9 u_{n+1}+\frac 1 3\left( \frac{u_n}{9}+\frac{2}{3^{n+2}}\right)-\frac{u_n}{27}[/tex]

Et tu vas arriver à :
[tex]u_{n+2}=\frac{1}{9}u_{n+1} +\frac{2}{3^{n+3}}[/tex]
La multiplication par 1/3 permet de passer l'exposant de n+2 à n+3.
L'idée m'est venue quand j'ai fini par remarquer qu'en gardant 4/9 je n'arrivais pas à n'avoir que 1/9 et que 4/9 = 1/9 + 1/3...

Ça te va ?

@+

nosta

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Re : exercice de maths

Merci pour la réponse, effectivement il fallait "simplement" uitliser l'hypothèse
de recurrence et exprimer  [tex]u_{n}[/tex] en fct de[tex]u_{n+1}[/tex]:

[tex]u_n= 9u_{n+1}-\frac {2}{3^{n+2}}[/tex]

d'où [tex]u_{n+2}=\frac {4u_{n+1}}{9}-\frac{u_n}{27}[/tex]

en remplaçant [tex]u_n[/tex], on obtient:

[tex]u_{n+2}=\frac{1}{9}u_{n+1}+\frac{2}{3^{n+3}}[/tex]

et ainsi l'hypothèse de recurrence est assurée

merci encore pour l'aide

cdt

Dernière modification par yoshi (14-10-2014 16:04:40)

yoshi

Modo Ferox

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Re : exercice de maths

Bonsoir,

La suite [tex](v_,)[/tex] est ce qu'on appelle une suite auxiliaire.
Parmi les questions suivantes, doivent normalement figurer :
Exprimer [tex]v_n[/tex] en fonction de n
En déduire l'expression de [tex]u_n[/tex] en fonction de n
Donc, je m'auto-réponds puisque nosta est déjà passé 3 ou 4 fois depuis hier soir et n'a pas dû oser le demander ou alors il a vérifié si je méritais mon diplôme de "voyante extralucide"...
Alors on a établi que :
[tex]u_{n+1}=\frac{1}{9}u_n +\frac{2}{3^{n+2}}[/tex] (1)
Et la suite [tex](v_n)[/tex] est : [tex]v_n = u_n - \frac{1}{3^n}[/tex] : on en déduit que [tex]u_n = v_n + \frac{1}{3^n}[/tex]
Ce qui permet d'écrire : [tex]u_{n+1} = v_{n+1} + \frac{1}{3^{n+1}}[/tex]
que je "colle" dans (1) :
[tex]v_{n+1} + \frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{9}\left(v_n + \frac{1}{3^n}\right)+\frac{2}{3^{n+2}}[/tex]

[tex]v_{n+1} + \frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{9}v_n + \frac{1}{3^{n+2}}+\frac{2}{3^{n+2}}[/tex]

[tex]v_{n+1}=\frac{1}{9}v_n + \frac{3}{3^{n+2}} - \frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{9}v_n + \frac{1}{3^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}} [/tex]
D'où [tex]v_{n+1}=\frac{1}{9}v_n[/tex]
La suite coule de source...

@+

nosta

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Re : exercice de maths

Bonsoir

effectivement,  l'exercice comporte d'autres questions (exprimer [tex](v_n)[/tex] et [tex](u_n)[/tex] en fct de [tex]n[/tex]; ...)

J'ai pas voulu vs deranger pour rien.

en tous cas merci pour la disponibilité et l'intérêt.

Cordialement

yoshi

Modo Ferox

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Re : exercice de maths

Re,

De rien !
C'est aussi bien pour toi que tu n'aies pas besoin de nous !

@+