Forum de mathématiques - Bibm@th.net

claire.proteau

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Vendredi 13

Bonjour,
Ma fille qui est en 3ème à un DM de math et j'avoue que je ne comprends pas et par conséquent je demande de l'aide. Voici les questions :

1) Existe t-il une année sans vendredi 13 ? Justifiez
Je sais qu 'il y a tjs un vendredi 13 ds une année mais quel calcul je dois faire: je ne sais pas.

2) Quel est le nombre maximum de vendredi 13 dans une année.

là encore je sais qu'il y a 3 vendredi 13 ds une année (je l'ai lu sur wikipédia mais je ne sais tjs pas comment élucider ce problème).

Je vous remercie énormément de m'aider.
Claire

freddy

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Re : Vendredi 13

Salut,

il faut commencer de manière simple pour bien voir le sujet. On commence par supposer que l'année est non bissextile et commence un lundi 1 janvier. Donc le 8 janvier est à nouveau un lundi (comme le 15, le 22 et le 29). Vendredi est le cinquième jour de la semaine (qui commence un lundi dans notre calendrier). Donc pour ce mois de janvier, on a vendredi 12 ... C'est raté pour janvier, regardons février.

Février commence un ??? Ben puisque le 29 est un lundi (on peut toujours faire un petit tableau), 30 = mardi, 31 = mercredi et donc on a jeudi 01 février ; une semaine plus tard, on a jeudi 8 février, puis jeudi 15 et jeudi 22. Donc rien en février. Mars commence un jeudi aussi (puisque le 28 février est un mercredi) ; on  a alors jeudi 8, puis jeudi 15 et 22 et 29, vendredi 30, samedi 31 et donc dimanche 01 avril. S'ensuivent dimanche 8 et dimanche 15, ce qui signifie qu'on a samedi 14 et donc vendredi 13. Euréka :-)
Conclusion : quand un mois commence un dimanche, il est obligatoirement suivi d'un vendredi 13. Ce qui permet de déplacer la recherche sur les dimanches premier jour du mois.

Continuons : en avril de cette année de 365 jours, on a dimanche 1, 8, 15, 22 et 29 ; lundi est un 30 et mardi est le 1 mai => mardi est aussi le 29 mai, soit mercredi 30, jeudi 31 et donc jeudi 01 juin = jeudi 29 juin, soit vendredi 30 et samedi 01 juillet. Donc le 29 juillet est un samedi, le 30 un dimanche, le 31 un lundi et le 01 août est un mardi. Si tu me suis bien, le 01 septembre est un vendredi et le 01 octobre et un dimanche, ce qui implique qu'on a un second vendredi 13 qui tombe en octobre.

Tu recommences avec un tableau en faisant commencer l'année un mardi, puis mercredi ... jusqu'à samedi, puisque commencer l'année un dimanche conduit à un vendredi 13 janvier inexorablement.

Ensuite, tu refais le raisonnement en supposant que l'année contient 366 jours, et tu montreras que dans tous les cas, il est certain qu'il y a au moins un vendredi 13. (je crois même me souvenir que si tout se passe bien, il peut y avoir au plus 5 vendredi 13 dans une année bissextile, il faut que je le vérifie).

Tu vois mieux ?

Pense à faire faire à ta fille un tableau, c'est le plus explicite.

Dernière modification par freddy (12-10-2014 21:44:25)

freddy

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Re : Vendredi 13

Re,

erratum : au moins 1 et au plus 3 vendredi 13 dans une année :-)

freddy

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Re : Vendredi 13

Salut,

dommage que la maman ne soit pas venue nous dire si on l'avait bien aidé. Perso, ça a continué à me triturer un peu les méninges, et j'ai fini par trouver comment apporter la preuve recherchée. Cela étant, je ne pense pas que ce soit immédiatement accessible à un élève de troisième, quoique ...

On utilise le premier résultat, savoir que si le mois commence un dimanche, alors le vendredi qui suit 12 jours plus tard est le treizième jour du mois.

Ensuite, on déroule le tapis grâce aux congruence modulo 7, avec la convention suivante : 0 = dimanche, 1 = lundi,  ... , 6 = samedi !

A partir de là, si le 01/01/AA est un dimanche, 31 jours plus tard, le 01/02/AA est un 31= 3 [7] soit un mercredi.  Et 28 jours plus tard (ou 29), le 01/03/AA est un 3+28 = 3 [7] donc le même, ou bien 3+29 = 4 [7] donc un jeudi.

Le tableau qui suit donne le jour de chaque début de mois à partir des 7 premiers jours possibles du début de l'année, en complétant selon que l'année a 365 ou 366 jours.  Dans ce cas, le numéro du jour s'affiche entre parenthèses. Il donne ensuite le premier jour de l'année suivante, permettant de boucler ensuite sur la première ligne du tableau.

On cherche dans chaque colonne, combien de mois commence le dimanche (code 0), qui correspond au vendredi 13 du même mois.

Conclusion : chaque année contient au moins un vendredi 13, et au plus 3.

\begin{matrix} 01/01/AA & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 01/02/AA & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2  \\ 01/03/AA & 3(4) & 4(5) & 5(6) & 6(0) & 0(1) & 1(2) & 2(3) \\ 01/04/AA & 6(0) & 0(1) & 1(2) & 2(3) & 3(4) & 4(5) & 5(6) \\ 01/05/AA & 1(2) & 2(3) & 3(4) & 4(5) & 5(6) & 6(0) & 0(1) \\ 01/06/AA & 4(5) & 5(6) & 6(0) & 0(1) & 1(2) & 2(3) & 3(4) \\ 01/07/AA & 6(0) & 0(1) & 1(2) & 2(3) & 3(4) & 5(6) & 6(0)  \\ 01/08/AA  & 2(3) & 3(4) & 4(5) & 5(6) & 6(0) & 0(1) & 1(2) \\ 01/09/AA   & 5(6) & 6(0) & 0(1) & 1(2)  & 2(3) & 3(4) & 4(5) \\ 01/10/AA    & 0(1) & 1(2)  & 2(3) & 3(4) & 4(5) & 5(6) & 6(0) \\ 01/11/AA  & 3(4) & 4(5) & 5(6) & 6(0) & 0(1) & 1(2) & 2(3) \\ 01/12/AA  & 5(6) & 6(0) & 0(1) & 1(2) & 2(3) & 3(4) & 4(5)  \\ 01/01/AA+1  & 1(2) & 2(3) & 3(4) & 4(5) & 5(6) & 6(0) & 0(1)  \end{matrix}

Dernière modification par freddy (30-10-2014 22:36:32)