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benlap

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DM de math

Bonjour,
Je suis élève  en 2nd. Nous etudions les fonctions. Je suis bloqué sur le 3eme exercice de mon DM et ne vois pas comment utiliser les fonctions pour resoudre ce problème.
Intitulé: ABCD est un carré. E est le milieu du segment AB et F celui de [BC].
Que peut on dire des droites (DE) et (AF)?
J'ai une aide: introduire le milieu K de [BF]

J'ai réfléchi: je vois que les droites (AF) et (DE) sont sécantes et perpendiculaires mais je ne vois pas comment le prouver car je n'ai aucune mesure pour calculer les antécédents ou les images et ainsi trouver les fonctions qui constituent les deux droites.

Merci de votre aide.

Dernière modification par benlap (12-10-2014 13:12:43)

mad83

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Re : DM de math

Je ne vois pas bien ce qui pourrait impliquer l'utilisation de "fonctions". En effet, la notion de fonction implique qu'il existe une variable, dans ton problème il n'y en a aucune. Arrêtez-moi si je me trompe mais j'ai plus l'impression d'avoir affaire à un exercice sur le calcul vectoriel...
Auquel cas tu devras utiliser les notions dont tu disposes sur les vecteurs pour déterminer que les droites sont séquentes, voir peut-être plus si on réflechit bien...

Enfin parfois je suis un peu aveugle et la subtilité des exercices m'échappe alors garde une réserve sur mes propos...

yoshi

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Re : DM de math

Salut,

Bienvenue à Benlap et à toi aussi mad83...

Enfin parfois je suis un peu aveugle

Bah, alors là, tout le monde passe par là (et pas qu'une fois !)

Arrêtez-moi si je me trompe mais j'ai plus l'impression d'avoir affaire à un exercice sur le calcul vectoriel...

Je suis assez d'accord avec toi.
Moi ce qui me gène, curieusement, c'est quoi faire de l'indice qu'on lui donne !!!
Avec les vecteurs, par contre, en utilisant ce qu'il peut savoir en 2nde, c'est assez simple à condition d'y penser...
Je propose d'utiliser un repère orthonormé centré en D si D est en bas en gauche, A sur l'axe des ordonnée, C sur celui des abscisses.
J'utilise donc le repère (D,[tex]\overrightarrow{DC}[/tex],[tex]\overrightarrow{DA}[/tex]).
Sans ce repère les coordonnées des points sont
D(0,0) ; C(1,0) ; B(1,1) et A(0,1)
Benlap, après, il ne te reste plus qu'à prendre les coordonnées de E et F.
Ensuite tu calcules les coordonnées des vecteurs [tex]\overrightarrow{DE}[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{AF}[/tex]
Si tu as vu cela en cours après 1 mois et demi en gros,  il y a la condition d'orthogonalité de vecteurs :
Etant donnés 2 vecteurs [tex]\overrightarrow{V}(X,Y)[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{V'}(X',Y')[/tex], les 2 vecteurs sont perpendiculaires si [tex]XX'+YY' = 0[/tex].

Si tu n'as pas vu cela, sais tu calculer l'équation d'une droite passant par deux points ? Si oui, calcule les équations de (DE) et (EF) et utilise la condition d'orthogonalité de 2 droites : leurs coefficients directeurs étant m et m', si [tex] m\times m' = -1[/tex] alors ces droites sont perpendiculaires (et réciproquement).

Mais je parierais gros, vu l'indice qu'on te donne, que tu n'as pas encore vu cela...
Dans ce cas, je sèche !

@+

[EDIT] Je crois avoir trouvé.
(EK) // (AF)  (preuve simple à apporter.
M intersection de (AF) et (DE) [tex]\widehat{DMF}=\widehat{DEK}[/tex] comme angles correspondants...
Il faut montrer que le le triangle DEK est rectangle en K...
Il suffit de noter AB = BC = CD = DA = a  de calculer DE², EK² et DK² en fonction de a² puis de constater que le triangle est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore..
Mais toujours pas de fonctions...

Dernière modification par yoshi (12-10-2014 15:50:01)

benlap

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Re : DM de math

Merci mais il me semble que cela doit se rapporter à mon cours sur les repères orthonormés. Avez-vous une idée ?

mad83

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Re : DM de math

Ah, bon ben du coup ça devient plus simple et cohérent. Alors, imagine que tu aies un repère orthonormé. On est en dimension 2 donc tu as une origine et deux axes. Dans ce repère tu traces ton carré. Tu as donc tes quatre points, tous repérés par une coordonnées sur laxe des abscisses (souvent noté x) et l'autre sur l'axe des ordonnées (souvent y).
Tu auras donc quatre points qui auront chacun leurs coordonnées. Fais de même avec les points E et F, puis détermine leurs coordonnées. Si tu n'y arrives pas, dis-le et je t'y aiderai, mais si tu lis le message de Yoshi, cela devrait te sembler clair.
Par la suite, tu devras utiliser le calcul vectoriel, en déterminant les vecteurs directeurs de tes droites. En théorie une opération très simple sur les vecteurs devrait te permettre de connaître le lien entre tes droites.

Essaye de composer avec ce qu'on t'a donné et si tu bloques encore dis-le, nous t'aiderons.

PS: Merci, content de savoir que je ne suis pas le seul atteint de perte d'acuité visuelle temporaire. Concernant l'indice, je ne le comprends pas non plus...

Dernière modification par mad83 (12-10-2014 17:23:20)

benlap

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Re : DM de math

merci pour l'aide, le seul problème c'est que je n'ai pas encore vu ce qu'est un vecteur. Je ne peux donc pas les utiliser pour mon DM... y a t-il une possibilité pour faire sans?

Dernière modification par benlap (12-10-2014 17:23:33)

yoshi

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Re : DM de math

RE,

merci pour l'aide, le seul problème c'est que je n'ai pas encore vu ce qu'est un vecteur. Je ne peux donc pas les utiliser pour mon DM... y a t-il une possibilité pour faire sans?

Alors je redis ce que je t'ai expliqué (fais l'effort de suivre sur ton dessin !) :

(EK) // (AF)  (preuve simple à apporter).
Sooit M l'intersection de (AF) et (DE) DMFˆ=DEKˆ comme angles correspondants...
Il faut montrer que le le triangle DEK est rectangle en K...
Il suffit de noter AB = BC = CD = DA = a  de calculer DE², EK² et DK² en fonction de a² puis de constater que le triangle est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore..
Mais toujours pas de fonctions...

Ça, c'est faisable en Collège, à condition de poser des questions intermédiaires...
Dire que ça m'a arrêté un temps fou et que c'était si simple : voilà un cas d'aveuglement caractérisé !

Sinon, il y a encore la possibilité via les équations de droite. Mais je n'utilise pas K...
Je suis parti là dessus :
Avec des points placés ainsi
A  B
D  C
Je choisis le repère orthonormé (A,[tex]\overrightarrow{DC}[/tex],[tex]\overrightarrow{DA})[/tex]
Là, tu as déjà vu en 3e les repères er un peu de vecteurs : je ne les utilise pas.
Je dis simplement que dans un repère orthonormé je place D en O, A sur Oy, C sur Ox tels que : DA = DB =1, puis lre point B tel que ABCD soit un carré. C'est plus clair comme ça ?
Comme on ignore la longueur du côté du carré, j'ai donc choisi le plus simple 1 (ça fonctionnerait avec n'importe quelle valeur)
Donc les coordonnées des points dans ce repère sont : A(0,1) ; B(1,1) ; C(1,0) ; D(0, 0) ;  E(1/2,1)  ; F(1, 1/2)
Tu cherches les équations des droitess (AE) et (DF) et tu montres que  leur produit des coefficients directeurs est : [tex]a\times a'=-1[/tex]
J'appelle f la fonction affine associée à  (DA).
Tu sais depuis l'an dernier que [tex]f(x) = ax+b[/tex]
(DE) passe par D(0,0)  donc [tex]f(0)=a \times+b =0[/tex] tu en déduis b = 0 que tu remplaces :
f(x) =ax.
(DE) passe par E(1/2,1)  donc [tex]f(0)=a \times \frac 1 2 = 1[/tex] tu en déduis a que tu remplaces :
[tex]f(x) =2x[/tex]
Après tu passes à (AF)
Tu appelles g la fonction affine représentée par (AF)
[tex]g(x)=a'x+b'[/tex]
tu tombes sur un système :
[tex]\begin{cases}a'\times 0 + b' &= 1\\a'\times 1 +b &=\frac 1 2\end{cases}[/tex]
1ere équation la droite passe par A donc [tex]f(0)=1[/tex]
2e équation la droite passe par F donc [tex]f(1) = \frac 1 2[/tex]
Tu résous le système et tu trouves a' et b'.
Cela, tu es censé savoir le faire depuis l'an dernier.
La seule interrogation est celle ci : sais ru que si a \times a' = -1 les droites sont parallèles ?
Si tu ne l'as pas appris, alors tu as la première méthode que je viens de te donner...

Je veux bien chercher encore une autre méthode (j'en ai encore une, mais via les vecteurs, alors à oublier) utilisant les fonctions et le point K... Mais là, je ne suis pas sûr de trouver quelque chose.

@+

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM de math

Re,

J'ai vu passer benlap hier soir : il n'a pas daigné laisser un petit mot même rapide...
Voilà donc pour la postérité une compilation de démonstrations dont seules les 2 dernière sont accessibles - aujourd'hui ! - en 2nde...

Je choisis un repère orthonormé (O,\vec i,\vec j) et un carré ABCD tel que AB = BC = CD = DA = 1
Je place les points :
A = O(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1), [tex]E\left(\frac 1 2,0\right)[/tex] et[tex] F\left((1,\frac 1 2\right)[/tex]

Utilisation des vecteurs : hélas, en 2nde on ne sait voir que 2 vecteurs sont perpendiculaires, qu'au travers de l'orthogonaloté des droites supports.
Les démos suivantes sont donc hors-programme...
[tex]\overrightarrow{AF}\left(1,\frac 1 2\right)[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{DF}\left(\frac 1 2,-1\right)[/tex]
Condition d'orthogonalité :
[tex]XX'+YY' =1 \times \frac 1 2 + \left(\frac 1 2\right)\times  (-1) = 0.[/tex]
Les vecteurs sont perpendiculaires.
Dommage !

Il y avait aussi l'emploi de la relation de Chasles :
[tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{DE}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{AE}[/tex]
Les droites (AB) et (DA) d'une part et (BD) et (AE) s'autre part sont perpendiculaires donc [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DA}=0[/tex] et [tex]\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{AE}=0[/tex]
D'où :
[tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{DA}[/tex]
Mais
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}\times \frac 1 2\overrightarrow{AB}=\frac 1 2 AB^2[/tex]
Et
[tex]\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{DA}=-\frac 1 2\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}=-\frac 1 2 DA^2[/tex]
AB = BC + CD = DA = 1  donc :
[tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{DE}= \frac 1 2 -\frac 1 2 = 0[/tex]
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{AF}[/tex]  et [tex] \overrightarrow{DE}[/tex] sont perpendiculaires.

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Utilisation des fonctions affines : hélas, en 2nde on ne connaît la condition d'orthogonalité de deux droites (et pourtant ce fut enseigné - il y a quelques années en arrière ** pas 40 ! hien...- en 3e).
La démo suivante est donc elle aussi hors-programme...

f : f(x) = ax+b représentée par (AE). Donc f(0) =0 et f(1) =1/2
[tex]\begin{cases}a \times 0 + b &= 0\\ a \times 1 + b &= \frac 1 2\end{cases}[/tex]
On en tire a 2 et b = 0 : [tex]f(x)=2x[/tex] coefficient directeur a = 2

g: g(x)=a'x+b' représentées par (DF) donc g(0) = 1 et [tex] g(1)=\frac 1 2 [/tex]
[tex]\begin{cases}b'&= 1\\a'+b&=\frac 1 2\end{cases}[/tex]
D'où [tex]g(x)=-\frac 1 2 x +1[/tex] coefficient directeur [tex]a'=-\frac 1 2[/tex]
D'où [tex]a \times a' = 2 \times \left(-\frac 1 2\right) = -1[/tex]
Les droites sont perpendiculaires. Mais ce n'est plus connu. Dommage encore !

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Géométrie Collège. Je ne vois plus que ça...
Niveau 4e.
Je pose AB = BC = CD = DA = a.
Dans le triangle ADE rectangle en D :
[tex]DE^2=DA^2+AE^2=a^2+\left(\frac a 2\right)^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}[/tex]
Dans le triangle EBK rectangle en B :
[tex]EK^2=EB^2+BK^2=\left(\frac a 2\right)^2+\left(\frac a 4\right)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{16}=\frac{5a^2}{16}[/tex]
Dans le triangle DCK rectangle en C :
[tex]DK^2=DC^2+CK^2=a^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2=a^2+\frac{9a^2}{16}=\frac{25a^2}{16}[/tex]
Dans le triangle DEK, on a :
[tex]\begin{cases}DK^2 &=\dfrac{25a^2}{16}\\DE^2+EK^2 &=\dfrac{5a^2}{4}+\dfrac{5a^2}{16}=\dfrac{25a^2}{16}\end{cases}[/tex]
On constate que [tex]DE^2+EK^2 =DK^2[/tex], donc d'après la réciproque du théorème de Pyrhagore, le triangle DEK est rectangle en E.
Donc [tex](DE)\perp(EK)[/tex]
Considérons le triangle ABE :
dans ce triangle  puisque E est le milieu de [AB], et K celui de [BF], donc la droite (EK) est parallèle au 3e côté : (EK)//(AF).
Puisque [tex](DE)\perp(EK)[/tex] et (EK)//(AF) alors [tex](DE)\perp(AF)[/tex]

Niveau 3e

Dans le triangle DAE rectangle en A : [tex]\tan(\widehat{EDA})=\frac{AE}{AD}=\frac 1 2[/tex]

Dans le triangle AFB rectangle en A : [tex]\tan(\widehat{FAB})=\frac{BF}{AB}=\frac 1 2[/tex]
Donc les tangentes des angles [tex]\widehat{EDA}[/tex] et [tex]\widehat{FAB}[/tex] étant égales,  ces angles sont égaux :
[tex]\widehat{EDA}=\widehat{FAB}[/tex] (1)

Dans le triangle rectangle DAE, les angles aigus sont complémentaires :
[tex]\widehat{EDA}+\widehat{AED}=90°[/tex]
or  [tex]\widehat{EDA}=\widehat{FAB}[/tex] (1)
Donc  [tex]\widehat{FAB}+\widehat{AED} = 90°[/tex] (2)
M est sur [FB] et sur [DE], E sur [AB] :
cette dernière égalité (2) s'écrit donc :
[tex]\widehat{MAE}+\widehat{AEM} = 90°[/tex]

Il en résulte que le troisième angle, [tex]\widehat{AME}[/tex], du triangle AEM est donc droit.
et [tex](AD)\perp(DE)[/tex]

Pas besoin de K non plus...

Bon, on pouvait quand même par le même procédé montrer que la somme des angles [tex]\widehat{DEA}+\widehat{KEB}[/tex] mesurait 90° et en déduire que [tex]\widehat{DEK}=90°[/tex].
Montrer ensuite le parallélisme de (BK) et (AF) et en déduire l'égalité des angles  [tex]\widehat{DMF}[/tex] et [tex]\widehat{DEK}[/tex].
On utilisait K, mais c'était plus long !)

@+

Dernière modification par yoshi (13-10-2014 15:54:08)

benlap

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Re : DM de math

merci beaucoup yoshi je crois que la dernière solution va beaucoup m'aider et désolé d'avoir oublié de répondre à tes messages

benlap

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Re : DM de math

je vais finalement prendre la solution niveau 4eme (l'avant dernière) Merci pour cette précieuse aide!