Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yogii

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nb complexe

Bonjour merci de votre aide d'avances
on pose j=-1/2+i racine carre de 3/2
montrer que j cube =1 et  que 1 +j+jcarré=0
Justifier que 1/j=j barre=jcarre
placer les points A et B d'affixe respectives j et jcarre dans le plan complexe et determiner la nature du triangle IAB ou I désigne le point d'affixe 1

yoshi

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Re : nb complexe

Bonjour,

Bienvenue sur BibMath...
[tex]j^3 = 1[/tex]
Tu aurais pu appliquer la méthode "bourrin" :
[tex]j^3=\left(-\frac 1 2 +i\frac{\sqrt 3}{2}\right)^3[/tex]
Et développer en utilisant :
[tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex] produit remarquable connu à ton niveau...
en n'oubliant pas que [tex]i^3=-i,\;i^2=-1[/tex].

Mais Je présume que tu sais que :
[tex]z=a+ib[/tex] forme algébrique peut avoir une forme trigonométrique : [tex]z = r(\cos \alpha+i\sin\alpha)[/tex] avec [tex]r = \sqrt{a^2+b^2}[/tex],  [tex]\cos \alpha = \frac a r[/tex] et [tex]\sin \alpha = \frac b r[/tex]

Que intérêt ? Tu as dû voir la formule de Moivre :
[tex](\cos \alpha+i\sin\alpha)^n =\cos n\alpha+i\sin n\alpha[/tex]

Plus rapide, d'autant qu'ici le [tex]\alpha[/tex] est "évident" et r=1 ce qui simplifie beaucoup les calculs...
[tex]1+j+j^2[/tex] ne te rappelle rien ?
A moi, si !
Un autre produit remarquable : [tex]a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex]
Et si b=1 : [tex]a^3-1= (a-1)(a^2+a+1)[/tex]...
Vois-tu où je veux en venir ?
Non ?
Alors, on remonte le temps...
On t'a demandé de montrer en tout début que [tex]j^3 = 1[/tex] et bien, vois-tu : [tex]j^3 = 1\;\Leftrightarrow j^3-1=0[/tex] dont tu vas t'empresser de factoriser le 1er... Et comme[tex] j\neq 1[/tex] puisque [tex]j = -\frac 1 2 +i\frac{\sqrt 3}{2}[/tex],  alors ...
Bon, on verra le reste après...
Commence donc par là, reviens avec tes résultats et on passera à la suite...

@+