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britneyb

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Fonctions

Bonjour j'ai un problème avec une question sur les fonctions, merci beaucoup par avance de m'aider.

Soit f la fonction défini sur R par : f(x) = x3 (cube) - 6x² + 11x - 6

Montrer que : f(x) = (x-1) (x-2) (x-3)

Voilà !!!!!! Merci encore de votre aide

yoshi

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Re : Fonctions

Bonjour,

En pareil cas et la forme à obtenir le confirme, il faut rechercher une "solution évidente" (c'est comme ça que ça s'appelle !).
1. Il est facile de voir que x = 1 en est une : 1-6+11-6=0
2. Ce polynôme du troisième degré x^3 -6x² + 11x - 6 se factorise donc ainsi : (x - 1)(ax² + bx + c) où a, b et c sont des constantes à déterminer...
3. On développe, on réduit et on ordonne donc (x - 1)(ax² + bx + c) qu'on identifie ensuite à x^3 -6x² + 11x - 6, ce qui permet de déduire a, b et c.
On factorise ensuite le trinôme du second degré obtenu. Voilà pour la méthode générale...
On peut d'ailleurs remplacer direct a par 1, le coefficient de x^3 étant 1....

Voilà, j'espère que ça répond à la question.

@+

britneyb

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Re : Fonctions

Merci beaucoup, j'ai relu plusieurs fois votre réponse et je n'ai absolument rien compris ! Je m'en sort assez bien en math cette année (seconde) mais là je bloque vraiment.

En fait, je ne vois pas comment démarrer, j'ai essayé avec votre réponse mais je bloque, je n'ai pas très bien compris vos explications à vrai dire.

Serait-il possible d'avoir quelque chose de plus concret, un exemple par exemple ???

Merci de m'aider en tout cas c'est très gentil !

Sinon, dans l'expression (x - 1)(ax² + bx + c), je ne vois pas comment je peux remplacer a, b et c si ça peut vous aidez à m'expliquer.

Dernière modification par britneyb (20-02-2007 14:32:10)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Fonctions

Bonjour,

1. Solution évidente, c'est 98 fois sur 100  x = 1 et alors on a le facteur (x - 1) ou x = -1 et là c'est le facteur (x + 1). Plus rarement 2 ou -2. Ca doit se "deviner", se sentir... On montre par le calcul ensuite que c'est vrai...

2. J'ai écrit : développer et ordonner (x - 1)(ax² + bx + c)...
(x - 1)(ax²+bx+c) = ax^3+bx²+cx-ax²-bx-c = ax^3+(b - a)x²+(c-b)x -c
On écrit alors l'un en dessous de l'autre :
ax^3+(b - a)x²+(c-b)x -c
1x^3+(-6)x² + 11x -6
Ces deux écritures devant être égales, on en déduit que
* a = 1
* b - a = -6
* c -b = 11
* c = 6
Méthode qui elle doit avoir être vue en cours pour qu'on y pense (sauf élève très inventif)....
On arrive à x² -5x + 6...
Après pour factoriser x² - 5x + 6, un petit raisonnement suffit : 6 c'est 2 * 3 ou (-2)*(-3)... et comme -5 = (-2)+(-3)...

Sinon, autre méthode (normalement elle se voit en seconde)
Chacun  sait sans aucun doute que :
a² - 2ab + b² = (a - b)²
On peut donc encore écrire cette égalité ainsi :
a² - 2ab = (a - b)² - b²
(en faisant passer le b² dans le deuxième membre)

Examinons l'expression : x² - 5x + 6… Est-elle factorisable par les moyens classiques ? Non !

Après x² - 5x si on avait eu + 25/4 on aurait alors pu écrire que c'était la forme développée de (x + 5/2)²…

Grâce à ce qui précède, on va donc écrire que :
x² - 5x + 25/4 = (x - 5/2)² 
et donc que     x² -5x            = (x - 5/2)² - 25/4
puis enfin que   x² -5x + 6 =  (x - 5/2)² - 25/4 + 6
Soit :              x² -5x + 6 =  (x - 5/2)² - 25/4 + 24/4 = (x - 5/2)² - 1/4 = (x - 5/2)² - (1/2)²
Voilà donc une forme connue : a2 - b2 = (a + b)(a - b).

Donc  (x - 5/2)² - (1/2)² =(x - 5/2 + 1/2)(x - 5/2 - 1/2) = (x - 2)(x - 3)

Troisième solution, mais qui pour moi est une vérification pas une démonstration (cf question : montrer que)  :
Tu pars de (x - 1)(x - 2)(x - 3), tu développes et tu réduis et tu constates que tu arrives à :
x^3 -6x² + 11x - 6.

Tout dépend de ce que tu auras vu en cours...

Voilà, j'espère avoir été clair cette fois...

@+

britneyb

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Re : Fonctions

Merci beaucoup !!!! C'est très clair cette foi-ci !!!!!
Bye

john

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Re : Fonctions

Hello britneyb & yoshi,
... chuis pas prof. et j'ai un peu perdu de vue ma seconde  mais yoshi, peux-tu me donner ton avis stp sur la suite...
Pour montrer une égalité A = B, il suffit de partir de A et par quelques calculs d'aboutir à B ou l'inverse indifféremment.
Donc, je pars de B = (x-1) (x-2) (x-3)
je développe le produit et j'obtiens A, c'est suffisant me semble-t-il.
4ème méthode :
On me donne les 3 racines 1, 2 et 3. Si f(1) = f(2) = f(3) = 0 alors A = B (même en seconde on sait ça non ?)
A+

yoshi

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Re : Fonctions

Salut John,

En théorie oui tu as raison, c'est ce que j'ai aussi montré dans ma 3e méthode...
Cependant....
(Oui, je sais, tu vas dire que je pinaille).
Les matheux, surtout après la 2nde font une nuance entre "Montrer que" et "Vérifier que"...
Partir de la réponse pour aller à l'énoncé c'est une vérification, pas une démonstration : prendre cette habitude serait handicapant pour la suite dans la perspective d'une 1ere et Term S voire ES...
Ou encore, procéder ainsi, c'est "mal vu"... Même en 3e, on leur apprend ce distinguo...

Quant à la 4e méthode, inutile même de l'évoquer : il n'y "aucun" calcul (si ce n'est "bestialement" numérique, comme on disait dans ma jeunesse) et ce n'est pas du tout la démarche que celui qui donne le problème attend qu'on adopte. Une classe qui "ruserai" comme cela pourrait s'attendre à un exercice, par la suite, où la réponse n'est pas donnée. Et là, ils sont  bien avancés....
Alors pourquoi donner la réponse ?
1. Pour permettre de continuer le pb si on ne sait pas faire,
2. Pour permettre à l"élève, et c'est une lapalissade certes, de savoir où il va en gardant cette solution en point de mire.

J'en profite pour te demander de jeter un oeil sur le post de M. Lipizan et de me rafraîchir la mémoire sur la méthode de résolution (à la main, hein, pas du Maple ou autre chose...) de ce type d'équation.
J'ai su, mais hélas que "c'est dur de vouloir être quand on a été..." ! Après, je te soumettrai un problème de chèvre et de champ circulaire où on aboutit à une équation de ce genre...

@+

john

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Re : Fonctions

OK merci yoshi... ça c'est du vécu !
Pour le reste, j'ai lu ceci qqpart : Mieux vaut être "has been" que... "has never been".
A+