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coucou23

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Dm Fonction sinus et autres

Bonjour à tous, 3 autres personnes de ma classe de terminale S et moi devons faire un DM ensemble, cependant nous le trouvons très compliqué et dès les premières questions nous sommes bloquées, nous avons essayé de continuer en passant les questions où nous bloquons mais cela ne change rien nous n'avançons pas . Je vous mets donc l'énoncé ainsi que ce que nous avons fait en espérant que vous nous donnerez des pistes afin de réussir ce dm.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on dispose de la courbe C représentative de la foncion sinus et du point A et de coordonnées (0 ; 3 ).
Voir Image
Les objectifs de l'exercie sont de :
_trouver la position de M sur C minimisant la longeur entre le point A et la courbe représentative de la fonction sinus
_déterminer les points M de C en lesquels la tangente à C est perpendicuaire à la droite (AM).

1. Visualiser le problème posé sous Geogebra et conjecturer les résultats.
2. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x - 3 cos x + sin x cos x
a) Etudier les variations de f sur [(-3π)/2 ; 3π/2], dresser son tableau des variations sur ce même intervalle puis démontrer que l'équation f(x) = 0 admet 3 solutions sur l'intervalle [(-3π)/2 ; 3π/2] dont on donnera un encadrement à 10^-2.
b) Démontrer que pour tout x appartenant à [3π/2 ; + infini ], f(x) > 0 et que pour tout x appartenant à [- infini ; (-3π)/2 ], f(x) < 0. En déduire que l'équation f(x) = 0 admet 3 solutions réelles.
c) Etablir le signe de f(x) selon les valeurs du réel x.
3.
a) On note x l'abscisse du point M. Démontrer que la longueur AM s'écrit d(x) = racine carrée de (x² + (sinx-3)²)
b) Démontrer que, pour tout x appartenant à R, d'(x) est du signe de f(x)
c) Etudier les variations de d et conclure quant à la position de M minimisant la longueur entre le point A et la courbe représentative de la fonction sinus.
4.
a) Démontrer que lorsque la longueur AM est minimale, la droite (AM) est perpendiculaire à la tangente à C en M
b) Existe-t-il d'autres points M de C en lesquels la tangente à C est perpendiculaire à la droite (AM) ?
Donc nous avons fait la première question :
1. Il semble que M doit avoir les coordonnées (1,06 ; 0,872) pour que la longueur entre le point A et la courbe représentative de la fonction sinus soit minimale.
Et il semble que M doit avoir les coordonnées (-3.07 ; -0.072) ou (1,06 ; 0,872) pour que la tangente à C au point M soit perpendiculaire à la droite (AM)
Ensuite nous avons commencé la question 2 nous avons donc voulu pour étudier les variations de f faire la dérivée de f, ensuite étudier le signe de f' afin d'avoir les variations de f. Mais le problème c'est que nous avons comme dérivée : 1 + 3sinx + cos²x - sin²x et donc nous ne voyons pas comment nous pouvons étudier le signe de f'.
Nous espérons vraiment obtenir de l'aide, nous ne demandons pas des réponses mais des pistes pour chaque question.
Merci d'avance.

Fred

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Re : Dm Fonction sinus et autres

Bonjour,

  Cela n'a effectivement pas l'air si facile. Voici une piste pour la question 2)a)
Pour simplifier l'étude de f'(x), j'écrirais que [tex]cos^2(x)=1-sin^2(x)[/tex], c'st-à-dire que
[tex]f'(x)=2+3\sin x-2\sin^2 (x).[/tex]
Ensuite, je poserais
[tex]g(t)=2+3t-2t^2[/tex]
(c'est-à-dire que je pose [tex]t=\sin x[/tex]).
g est un polynôme de degré 2, tu sais étudier son signe... (sauf erreur de ma part, on
a [tex]g(t)\geq 0[/tex] si [tex]\frac{-1}2\leq t\leq 2[/tex] et [tex]g(t)\leq 0[/tex] sinon.
Si on se ramène a f'(x), ceci signifie que
[tex]f'(x)\geq 0[/tex] si [tex]\frac{-1}2\leq \sin x\leq 1[/tex] et [tex]f'(x)\leq 0[/tex] si [tex]-1\leq \sin(x)\leq \frac{-1}2[/tex].

Il faut encore traduire ce que signifie ces inégalités non sur [tex]\sin x[/tex], mais sur [tex]x[/tex] pour construire le bon tableau de variations.

F.

Fred

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Re : Dm Fonction sinus et autres

Allez.. une autre piste....
Pour démontrer que [tex]f(x)>0[/tex] sur l'intervalle [tex] [\frac{3\pi}2,+\infty[ [/tex], je remarquerais que
[tex]\frac{3\pi}2\geq 4[/tex] et que [tex]-3\cos x+\sin x\cos x\leq 4[/tex]....

F.

Frederic65

Invité

Re : Dm Fonction sinus et autres

Bonjour,
j'aide moi aussi une élève de terminale pour ses maths et je suis ok avec vous pour le début du problème (il a fallu que je me creuse un peu la tête pour trouver tout de même mais bon...). Par contre, lorsque nous devons trouver la longueur du segment AM, je pense que nous devons écrire que
[tex]d(A;M) =\sqrt{(x_M-x_A)^2 + (y_M-y_A)^2}[/tex] avec les coordonnées de A(0;3) et M(x;f(x)). Mais lorsque je développe cette équation, je trouve:
[tex]d(A;M) = \sqrt{x^2 + (x-3cosx+sinxcosx-3)^2}[/tex] mais, je ne parviens pas à retomber sur le fait de montrer que cela peut s'écrire sous la forme
[tex]d(A;M) = \sqrt{x^2 + (sinx-3)^2}[/tex].
Pouvez vous me donner une indication si vous en avez?
Merci et bonne journée

Frédéric

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dm Fonction sinus et autres

Bonjour,

Je ne comprends pas où est le problème...
Par hypothèse, M est un point de (C), courbe représentative de la fonction sinus :

(...) on dispose de la courbe C représentative de la fonction sinus (...=
_trouver la position de M sur (C) (...)
_déterminer les points M de (C) (...)

On a donc [tex]M(x\;;\;\sin(x))[/tex]
[tex]\overrightarrow{AM}(x - 0\;;\;sin(x) -3)[/tex] (étape pas vraiment utile. Elle est juste là pour fixer les idées)
et
[tex]AM^2 = x^2+(\sin(x)-3)^2[/tex] c'est direct !
Si je développe :
[tex]AM^2 = x^2+\sin^2(x)-6\sin(x)+9[/tex]

Donc,
qu'est-ce qui ne va pas ?

@+

Frederic65

Invité

Re : Dm Fonction sinus et autres

Bonjour,
mon problème est que je n'avais pas lu l'énoncé correctement tout simplement.......je vous remercie.
Frédéric

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dm Fonction sinus et autres

Re,

Ah, bin ça ce sont des choses qui arrivent plus souvent qu'on ne le croit et retourner lire l'énoncé régulièrement est un réflexe qu'il faut acquérir : ça peut servir !
^_^

Que celui qui n'a jamais mal lu un énoncé te jette la première pierre (et à moi aussi alors !)

@+

coucou23

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Re : Dm Fonction sinus et autres

Voici pour la question 2 a ce que nous avon fait:
f'(x)=1+3sin(x)+cos²(x)-sin²(x)
or on sait que cos²(x)+sin²(x)=1
Donc cos²(x) = 1-sin²(x)
Ainsi on trouve f'(x)=1+3sin(x)+cos²(x)-sin²(x)=1+3*sin(x)+1-sin²(x)-sin²(x)
=2+3sin(x)-2sin²(x)
on pose X=sin(x)
Donc f'(x)= -2X²+3X+2
Delta = b²-4ac
=3²-4*(-2)*2
=9+16
=25
Donc x1=[-b+racinecarréede(delta)]/2a
=[-3+racinecarréede(25)]/2*(-2)
=(2)/(-4)=-1/2
Et x2=[-b-racinecarréede(delta)]/2a
=[-3-racinecarréede(25)]/2*(-2)
=(-8)/(-4)=2

Donc pour continuer nous avons mis que sin(x) = -0.5 car -1 <(ou égale) sin(x) <(ou égale) 1 et donc x = -pi/6 ou x=-5pi/6 ou x=7pi/6 dans l'intervalle [-3pi/2 ; 3pi/2], nous avons pu trouvé ces résultats grâce au cercle trigonométrique, il y avait d'autres valeurs mais elles n'étaient pas comprises dans l'intervalle.
Ensuite, nous pouvons faire le tableau de signe de f'(x) et donc le tableau de variation de f(x). ( nous n'arrivons pas à le poster...)

On sait que f est continue et strictement croissante sur l'intervalle : [-3pi/2 ; -5pi/6]
On sait que f(-3pi/2) < 0 et f(-5pi/6) > 0
Donc 0 appartient à [f(-3pi/2) ; f(-5pi/6) ]
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [-3pi/2 ; -5pi/6], alpha ~ -3.07

On sait que f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle : [-5pi/6 ; -pi/6]
On sait que f(-5pi/6) > 0 et f(-pi/6) < 0
Donc 0 appartient à [ f(-pi/6); f(-5pi/6) ]
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [-5pi/6 ; -pi/6], beta ~ -2.18

On sait que f est continue et strictement croissante sur l'intervalle : [-pi/6 ; 7pi/6]
On sait que f(-pi/6) < 0 et f(7pi/6) > 0
Donc 0 appartient à [f(-pi/6) ; f(7pi/6) ]
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [-pi/6 ; 7pi/6], gamma ~ 1.05

Sur l'intervalle [7pi/6 ; 3pi/2] f est continue et strictement décroissante.
Mais f(7pi/6) > 0 et f(3pi/2) > 0 donc l'équation f(x) = 0 n'admet aucune solution sur l'intervalle [7pi/6 ; 3pi/2]

Donc l'équation f(x) = 0 admet 3 solutions sur l'intervalle ; [-3pi/2 ; 3pi/2] : alpha ~ -3.07, beta ~ -2.18 et gamma ~ 1.05.

Cependant pour la suite nous n'arrivons pas du tout à la question 2.b pouvez vous essayer de nous l'expliquer.

Ensuite nous pensons et nous espérons avoir réussi toutes les autres questions sauf que à la 4.b nous aimerions savoir si il faut simplement citer les autres points M ou faut -il refaire le raisonnement de la question 4.a où nous avons utilisé le produit scalaire.
Merci de votre aide !

Fred

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Re : Dm Fonction sinus et autres

Pour la question 2.B., avez-vous lu le post #3???

coucou23

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Re : Dm Fonction sinus et autres

ah oui non je ne l'avais pas vu :
est ce que ce raisonnement est juste  :
On sait que 3pi/2 > 4 donc afin que f(x) < 0 il faut que 3cosx + sinx * cosx < 4
comme -1 <(ou égale) sinx <(ouégale) 1
-1 <(ou égale) cosx <(ouégale) 1
on a sinx*cosx < 1 car si cox = 1 sinx = 0
De plus -3 <(ouégale) 3 cosx <(ouégale) 3 on a donc bien 3 cos + sinx*cosx <4
Pour tout x appartenant à [3pi/2 ; + infini [ f(x) >0

On sait que 3pi/2 > 4 donc afin que f(x) < 0 il faut que 3cosx + sinx * cosx < 4
D'après ce que l'on a démontré plus haut on a pour tout x appartenant à ] - infini ; -3pi.2] < 0
On en déduit que f(x) = 0 n'admet aucune solution sur  ] - infini ; -3pi.2] U  [3pi/2 ; + infini [  Donc f(x) = 0 admet 3 solutions réelles alpha beta et gamma.

C'est une de mes amies qui avait fait ça mais nous n'avions pas compris et donc nous l'avions laissé de côté donc si imaginons ce raisonnement est juste pouvez me l'expliquer car mon amie n'avait pas réussi à nous l'expliquer.

Fred

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Re : Dm Fonction sinus et autres

Ton raisonnement me semble juste, à un point près. Je n'écrirais pas

On sait que 3pi/2 > 4 donc afin que f(x) < 0 il faut que 3cosx + sinx * cosx < 4

mais il suffit à la place de il faut. Parce que l'implication est
[tex]3\cos x+\sin x\cos x<4\implies f(x)<0[/tex].

Pour le reste de tes réponses, cela me semble correct. Pour la 4.B. si tu as d'autres points, il suffit de les donner.
Mais si tu n'en trouves pas d'autres, il te faudra une preuve qu'il n'existe pas d'autres points.

Fred.