Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Moi ;)

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Problème sur les suites

Bonjour,

J'écris sur ce forum car je suis actuellement bloqué ...
On nous donne : Un+1=1/2Un+1 et U0=4
Dans l'exercice il est demandé de représenté graphiquement la fonction f(x)=1/2x+1

Puis on nous demande quel semble Etre le sens de variation de la suite (Un), j'ai mit qu'elle semblait être décroissante, puis il est demande quel comportement conjecture t'on pour la suite (Un) lorsque n tend vers +l'infini ...

Je suis bloqué a cette question !

De plus par la suite il est demandé :
Soit la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par : Vn=Un-2
1) Calculer V0 et prouver que, pour tout entier naturel n, Vn+1=1/2Vn

Voila en gros ou je suis bloqué !

En espérant que vous pourriez m'aider,

Merci

@+

yoshi

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Re : Problème sur les suites

Bonsoir,

Trois interprétations possibles de ce que tu écris...
Laquelle est la bonne :
1. [tex]U_{n+1}=\frac{1}{2U_n+1}[/tex]  ?

2. [tex]U_{n+1}=\frac{1}{2U_n}+1[/tex]  ?

3. [tex]U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n+1[/tex]  ?

@+

Moi ;)

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Re : Problème sur les suites

Excusez-moi, la bonne interprétation et la troisième que vous proposez !

Merci
@+

yoshi

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Re : Problème sur les suites

Salut,

Je reviendrai, mais il faut que je trouve le temps...
Rapidement :
[tex]\lim_{n \to +\infty} U_n = 2[/tex]

@+

yoshi

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Re : Problème sur les suites

Bonjour,

Dans l'exercice il est demandé de représenté graphiquement la fonction [tex]f(x)=\frac 1 2 x+1[/tex]

Cette fonction, elle, est croissante...
Toi, tu conjectures alors [tex]U_n[/tex] décroissante (ce qui est exact)...
Comment arrives-tu à cette conclusion ?
Quel rapport fais-tu entre la représentation graphique demandée et la question suivante de la conjecture sur [tex]U_n[/tex] ?
Ton énoncé est-il complet ?
N'aurais-tu pas omis un petit quelque chose entre les deux ?
Parce que :

On nous donne (...)
Dans l'exercice il est demandé de (...)
Puis on nous demande quel semble être (...)

n'est pas l'énoncé que ru as sous les yeux, c'est une interprétation de ta part !

Ensuite.
[tex]V_n= U_n-2[/tex] équivaut à [tex]U_n=V_n+2[/tex]
L'énoncé te dit :
[tex]U_{n+1}=\frac 1 2 U_n+1[/tex]
Remplace donc
[tex]U_{n+1}[/tex]  par  [tex]V_{n+1}+2[/tex]
et
[tex]U_n[/tex]  par  [tex]V_n+2[/tex]
Développe, réduis et tu trouves alors ce qu'on te demande...
Avec [tex]V_{n+1}=\frac 1 2 V_n[/tex] et [tex]V_0 = 2[/tex], tu obtiens [tex]V_n=\frac{1}{2^n}V_0=V_n=\frac{1}{2^n}\times 2 =\frac{1}{2^{n-1}}[/tex]

Et tu trouves facilement [tex]\lim_{n\,\to\, +\infty} V_n[/tex], et donc  [tex]\lim_{n_,\to\, +\infty} U_n[/tex]

@+

Dernière modification par yoshi (06-09-2014 12:31:27)

Moi ;)

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Re : Problème sur les suites

Bonjour,

J'ai trouvé je me suis trompé dans les priorités j'avais oublié les parenthèses.

mais j'ai un autre problème, je dois trouver le sens de variation de Vn sachant que je sais que Vn=2*(1/2)^n. Je n'arrive pas à dériver et je ne comprends pas comment faire Vn+1-Vn.
Merci

@+

Dernière modification par Moi ;) (06-09-2014 14:00:50)

yoshi

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Re : Problème sur les suites

Salut,

Tu n'as pas répondu à ma question :

Ton énoncé est-il complet ?

Quant à ta dernière question, tu peux aussi montrer que
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n}<1[/tex]
Cela dit, les deux sont aussi directs l'un que l'autre :
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^{n-1}}}=\frac{1}{2^n}\times \frac{2^{n-1}}{1}=\cdots[/tex]
ou
[tex]V_{n+1}-V_n=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{n-1}}\left(\frac{1}{2}-1\right)=\cdots[/tex]

A toi de jouer...

@+

Moi ;)

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Re : Problème sur les suites

Merci beaucoup, je viens de comprendre et oui mon énoncé était complet

@+

yoshi

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Re : Problème sur les suites

Re,

Il serait donc bien que tu le complètes... pour la postérité ! ;-)

Et moi, j'ai réinventé la roue !
Pffff...
C'était direct :
D'après l'énoncé, [tex]V_{n+1}=\frac{1}{2}V_n[/tex] alors  [tex]\frac{V_{n+1}}{V_n} =\frac 1 2 < 1[/tex]
Pas de calculs à faire...

@+

Moi ;)

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Re : Problème sur les suites

Ok ^^ merci beaucoup votre aide m'a été bien utile