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#251 04-08-2014 23:10:32

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Re,

Je me suis relevé, pris d'un doute.
Et effectivement : une parenthèse mal placée...
Donc il y a des réponses, un tas de réponse aux 3 conditions posées...
Mais !
Ces conditions sont des conditions nécessaires mais pas suffisantes...
La preuve :
100 101 3378.0 58.12056434688156 3311.0 57.54128952326321
Sorties :
a,b,(2*b**2+a**2)/9,sqrt((2*b**2+a**2)/9),(4*a**2-b**2)/9,sqrt((4*a**2-b**2)/9)

Les résultats entiers 3378 et 3311 sont les résultats des divisions par 9 et pourtant, ce ne sont pas pour autant des carrés parfaits...

@+


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#252 05-08-2014 00:36:19

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Re,

Diable oui!!

       Malheur...


J'aurais dû dire que

[tex]2b^2+a^2[/tex]     et     [tex]4a^2-b^2[/tex]    doivent être des multiples de 9 mais aussi des carrés parfaits.


Bien vu!!


@+

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#253 05-08-2014 08:25:40

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

RE,

J'ai la certitude qu'il est impossible de trouver [tex]x,y \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]\exists z \in \mathbb{N}[/tex] vérifiant [tex]x^2+2y^2=z^2[/tex] ce qui mettrait un point final définitif à cette quête...
Je n'arrive pas à le prouver.
Je vais essayer encore.

Si je ne trouve pas, et c'est probable, je demanderai à plus fort que moi...

@+


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#254 05-08-2014 10:37:02

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Salut,

A défaut de démonstration algébrique pure, en voici une géométrique :
140805104236794221.jpg
Soit un triangle isocèle ABC de sommet principal A. On pose AB = AC = a et BC = b.
On construit le point D de [BC) tel que [tex]BD = b\sqrt 2[/tex].
La question était : peut-on trouver a et b tels que [tex]a^2+2b^2[/tex] carré parfait ?
L'idée m'est venue en écrivant que [tex]a^2+2b^2=a^2+(b\sqrt 2)^2[/tex]
Donc : peut-on trouver a et b tels que [tex]AB^2+BD^2=AD^2[/tex] ?
La réponse est non, sinon l'angle [tex]\widehat{ABD}[/tex] serait droit, ce qui n'est jamais le cas en partant du triangle ABC isocèle en A.

Et si D était de l'autre côté (i.e [tex]B \in [CD][/tex])?
L'angle [tex]\widehat{ABC}[/tex] n'étant jamais droit, son supplément l'angle [tex]\widehat{ABD}[/tex] ne le sera jamais non plus...

Je vais quand même voir si quelqu'un peut me trouver une démo calculatoire pure...

Voilà qui met fin à la quête : 'une des conditions nécessaires [tex]a^2+2b^2[/tex] carré parfait n'étant jamais vraie, il est impossible que le centre de gravité d'un triangle isocèle soit à distances entières des sommets...

@+


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#255 05-08-2014 12:20:44

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Bonjour,

Ta démonstration est bonne, voilà donc un problème de plus qui est résolu!

Je conserve le choix n° 3 dans ton programme en substituant cependant au module ton explication géométrique...

___

Reste encore l'observation faite page 9 au post #207. 

Trivial ou pas?


@+

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#256 05-08-2014 22:13:59

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Bonsoir,

Aire de ABM = 5.33268225192538543772... 

Aire de BCM = 4.33398441474128122894...

                                                                                 Aire de ABM + Aire de BCM = 29/3 ???


Aire de ACM = 14.3333333333333333333... = 43/3 ???

                       
                                   Aire de ABM + Aire de BCM +  Aire de ACM = 24


@+


[  EDIT: en rouge  ]

Dernière modification par 0^0 (06-08-2014 10:13:51)

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#257 05-08-2014 22:56:46

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Re

Alors là, tes résultats secs ne me satisfont pas du tout...
Je demande à voir comment tu fais...
Qu'est-ce que tu veux que ça me fasse tes valeurs approchées ? Elle prouvent quoi ?
Y compris 14.3333333333333333333..
Tu pourrais bien me fournir 2000 chiffres décimaux égaux à 3 que ça ne donnerait qu'une probabilité très forte, pas une certitude...

Parce que là, puisque tu es capable de calculer les aires des triangles, je ne vois pas pourquoi tu me poses la question et donc pourquoi je continuerais à m'escrimer à faire des calculs théoriques à valeurs exactes...
J'en tire donc les conséquences et supprime mon post.
Tes résultats sortent de l'emploi d'un site internet ? T'as des formules magiques que tu caches dans ta manche ce qui te permet de tendre des pièges ?

Donc si tu peux faire les questions et les réponses, plus besoin que je passe mon temps dessus, je ne vois pas bien à quoi je sers, je le perds ce temps et ça me déplaît ; en outre l'heure est venue de me mettre à rassembler, taper des articles et les mettre en forme pour la revue trimestrielle de 24 pages que je gère...
Je lui ai sacrifié une journée pour faire des calculs que tu balaies en 3 clics de souris.

A un de ces jours donc...


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#258 06-08-2014 01:43:34

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Oh la la, il y a méprise!!

Loin de moi l'idée de me pavaner avec ces résultats approchés!

Je les ai juste mis là dans un but d'indiquer le fait qu'il y a effectivement une forte chance qu'ils correspondent à ce que j'ai dit, sans évidemment prouver quoi que ce soit, je ne le sais que trop bien.

Quand tu écris:

yoshi a écrit :

Tu pourrais bien me fournir 2000 chiffres décimaux égaux à 3 que ça ne donnerait qu'une probabilité très forte, pas une certitude...

C'est parfaitement exact, c'est pourquoi je comptais justement sur toi, car il est bien clair que ce n'est pas moi - je pense que tu as souvenir de mon ancien pseudo qui était sans prétention - qui vais faire ces calculs théoriques...

Remets donc ce que tu avais écrit, tu sais bien que c'est beaucoup plus intéressant que mes résultats suivis de trois petits points ! (Je pense que tout le monde sera d'accord.)


Ne pense pas que je cherche à tendre des pièges ou te coincer, ce n'est pas du tout mon esprit. Et je ne balaies pas non plus tes calculs en 3 clics de souris comme tu dis, ce n'est pas ça. Je ne connais que trop bien leur valeur, passant moi-même des heures à essayer de me frayer un chemin dans ce labyrinthe de problèmes que me posent ces maudits triangles (que j'affectionne pourtant). 


Je te dis donc la même chose: à un de ces jours donc, sans rancune si j'ai pu t'échauffer, j'espère le plus tôt possible, en toute amitié.


@+

__

Ps: Et encore désolé si j'ai pu être malencontreusement vexant.

[  Edit: j'ai modifié le post plus haut de façon à ce qu'il ne porte plus à confusion.  ]

Dernière modification par 0^0 (06-08-2014 10:25:15)

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#259 06-08-2014 09:09:47

Imed1
Invité

Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

yoshi a écrit :

RE,

J'ai la certitude qu'il est impossible de trouver [tex]x,y \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]\exists z \in \mathbb{N}[/tex] vérifiant [tex]x^2+2y^2=z^2[/tex] ce qui mettrait un point final définitif à cette quête...
Je n'arrive pas à le prouver.

@+

Heureusement, sinon tu aurais démontré la rationnalité de Racine de 2...

#260 06-08-2014 10:33:29

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Bonjour,

Ce n'était pas le but, le but était de prouver que les triangles isocèles dont les cotés sont entiers n'ont jamais leur centre de gravité à distances entières de leur sommets.

C'était bien moins évident que la non rationalité de racine carrée de 2.

Mais fut un temps où même cela n'était pas si évident...

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#261 06-08-2014 13:08:14

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Bonjour,

@imed.
Et pourtant j'avais tort. La preuve
1. En image :
140806125422211243.jpg
2. Par le calcul :
a,b=69,30
[tex]a^2+2b^2=69^2+2\times 30^2 = 4761+1800 =6561 = 81^2[/tex]
------------------------------------------------------------------------------------
Concernant le triangle rectangle.
L'aire du triangle AMC ne dépend pas de la longueur CM, seulement des coordonnées du point M
J'appelle H le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur (AB).
J'appelle K le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur (AC).
On {AMB}=3+4+6=13
[tex]Aire_{AMB}= \frac{\sqrt{13(13-3)(13-8)(13-12)}}{4}=\frac{\sqrt{455}}{4}[/tex]
[tex]Aire=\frac{AB\times AH}{2}[/tex]  d'où  [tex]AH =\frac{2\times Aire}{AB} =\frac{\sqrt{455}}{12}=x_M[/tex]

Pour y_M, le plus simple est de passer par [tex]x_M^2+y_M^2 = 16[/tex]
[tex]y_M^2=16-\left(\frac{\sqrt{455}}{12}\right)^2 =\frac{1849}{144}[/tex]
Et [tex]AK =y_M= \frac{43}{12}[/tex]Puisque AK est rationnel et AC entière, l'aire sera rationnelle :
[tex]Aire_{AMC}=\frac{AC\times AK}{2}=\dfrac{8 \times \frac{43}{12}}{2}=8 \times \frac{43}{24}=\frac{43}{3}[/tex]

Conclusion AC étant entière, l'aire du triangle AMC sera toujours rationnelle si AK l'est.
Ce qui reporte la question plus loin :
Dans le triangle ABC rectangle en A aux côtés de longueurs entières, M étant un point intérieur ou pas, à quelle(s) condition(s) AK est-elle rationnelle ?
-----------------------------------------
Centre de gravité et triangle isocèle, [tex]a,b,m,n \in\mathbb{N}^*[/tex], les 2 conditions à vérifier sont, en fait, très précisément :
[tex]a^2+2b^2 = 9m^2[/tex]   et   [tex]4a^2-b^2 = 9n^2[/tex]

@+


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#262 06-08-2014 16:42:54

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Bonjour,

Concernant le triangle rectangle.

yoshi a écrit :

Conclusion AC étant entière, l'aire du triangle AMC sera toujours rationnelle si AK l'est.
Ce qui reporte la question plus loin :
Dans le triangle ABC rectangle en A aux côtés de longueurs entières, M étant un point intérieur ou pas, à quelle(s) condition(s) AK est-elle rationnelle ?

Bien vu!!

Les choses paraissent toujours bien simples une fois que l'on a l'explication...

Je vois bien maintenant - merci yoshi! - que du moment que les longueurs AB, BM et AM sont entières, AK sera toujours rationnelle.

Démonstration:

    Si (MK) est la hauteur du triangle ABM passant par A            et si            AB, AM et AM sont des longueurs entières,  l'on aura:

               [tex]AK = \frac{AB^2+AM^2-BM^2}{2AB}[/tex]

    Or, comme les carrés de nombres entiers sont toujours entiers, ainsi que leur sommes, différences et ou produits, l'on aura toujours toujours:

                 [tex]AK = \frac{p}{q}[/tex] avec p et q entiers.

____

Concernant le centre de gravité des triangles isocèles:

yoshi a écrit :

[si]  [tex]a,b,m,n \in\mathbb{N}^*[/tex], les 2 conditions à vérifier sont, en fait, très précisément :
[tex]a^2+2b^2 = 9m^2[/tex]   et   [tex]4a^2-b^2 = 9n^2[/tex]

Oui, et ton dessin semble prouver que ces deux conditions peuvent être réunies.

Alors, qu'en est-il pour nos points M centres de gravité de triangles isocèles?  En existerait-il?

     Je ne sais plus très bien quoi penser...


@+

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#263 06-08-2014 19:23:50

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Re,

Oui, et ton dessin semble prouver que ces deux conditions peuvent être réunies.

Oui et Non.
Non.
Mon dessin prouve seulement que l'on peut trouver a et b tels que [tex]4a^2-b^2 = carré[/tex]  et [tex]a^2+2b^2 = carré[/tex] simultanément...
Je ne peux voir, par contre, sur mon dessin si [tex]a^2+2b^2 = 9\times b^2[/tex]
Mais si par ex [tex]a^2+2b^2=69^2+2\times 30^2 = 4761+1800 =6561 = 81^2[/tex] est un carré et reste un carré après division par 9 :
[tex]\sqrt{\frac{81^2}{9}} = 27[/tex]
Par contre [tex]4a^2-b^2 = 4\times 69^2-30^3 = 4\times 4761 -900 = 18144[/tex] s'il est bien divisible par 9, n'est pas un carré après :
[tex]\sqrt{\frac{18144}{9}} = \sqrt{2016} \approx 44.8998886412873[/tex]
[tex]2016 = 2^5 \times 3^2 \times 7 [/tex] !!

Donc si je peux écrire [tex]a^2+b^2 = 9n^2[/tex], j'écris ici [tex]4a^2-b^2 = 9k[/tex] k n'étant pas un carré....
Que [tex]a^2+2b^2[/tex] et [tex]4a^2-b^2[/tex] ne garantit en rien qu'ils soient des multiples de 9...

Oui, parce que si [tex]a^2+2b^2[/tex] et [tex]4a^2-b^2[/tex]  sont des carrés et multiple 9, j'aurai encore des carrés après division par 9...

Alors ? Pourquoi on ne trouve pas de solution ?

On ne trouve pas de solution entière...
J'ai construit sans problème sur mon dessin [tex]b\sqrt 2[/tex] sans pour autant que celui-ci soit un entier, ni même un rationnel...

C'est pour ça que j'ai écrit :

les 2 conditions à vérifier sont, en fait, très précisément :
[tex]a^2+2b^2 = 9\times m^2[/tex]    et    [tex]4a^2−b^2 = 9\times n^2[/tex]

Si tu préfères :
[tex]a^2+2b^2 = (3m)^2[/tex]  et  [tex]4a^2−b^2 = (3n)^2[/tex] : [tex]a^2+2b^2 = (3m)^2[/tex]  et  [tex]4a^2−b^2 = (3n)^2[/tex] sont simultanément des carrés de multiples entiers de 3.

C'est le mot entier qui coince...

from math import sqrt

for a in range(10,2001):
    for b in range(10,2001):
        if 2*a>b:
            m,n = 2*b**2+a**2,4*a**2-b**2
            if m%9==0 and n%9==0:              
                if float(int(sqrt(m)))== sqrt(m)and float(int(sqrt(n)))== sqrt(n):
                    print (a,b,m/9,sqrt(m/9),n/9,sqrt(n/9))

Presque 4.000.000 de tests sans résultat...

@+

Dernière modification par yoshi (06-08-2014 20:05:40)


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#264 06-08-2014 20:51:29

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Salut,

Code modifié :

from math import sqrt

for b in range(10,2001):
    c=2*b+1
    for a in range(c,4003):
        m,n = 2*b**2+a**2,4*a**2-b**2
        if m%9==0 and n%9==0:
            p,p1=sqrt(m),sqrt(n)
            if float(int(p))== p and float(int(p1))== p1:
                print (a,b,m/9,p/3,n/9,p1/3)

@+


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#265 06-08-2014 20:54:38

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Re,

Merci pour tes explications.

Il y a des aspects que je comprends bien et d'autres qui m'échappent. Je n'arrive pas encore à voir clairement ce qui empêcherait que m et n soient simultanément des entiers...


@+

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#266 06-08-2014 21:16:43

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Re,

Pas de résultat...... presque autant de tests.....




@+

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#267 07-08-2014 11:00:19

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Re,

Code incorrect, le voilà corrigé :

from math import sqrt

for b in range(6,4003,2):
    c=b/2+1
    for a in range(c,2003):
        m,n = 2*b**2+a**2,4*a**2-b**2
        if m%9==0 and n%9==0:
            p,p1=sqrt(m),sqrt(n)
            if float(int(p))== p and float(int(p1))== p1:
                print (a,b,m/9,sqrt(m/9),n/9,sqrt(n/9))

@+


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#268 07-08-2014 20:51:42

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Bonsoir,

La dernière version ne fonctionne pas chez moi...


@+

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#269 07-08-2014 21:49:41

yoshi
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Salut,

Je viens de vérifier : t'as raison.
Le message d'erreur dit - grosso modo - que "c" est un nombre en virgule flottante et non un entier, or les boucles doivent fonctionner avec des entiers...
Moyennant quoi on tombe tout de suite sur la faute  : en Python 3.x, la division entière c'est // et non /.
Correction : c=b//2+1.
Ce qui est curieux c'est que le prog chez moi n'a pas cette erreur...
Ça a été l'occasion de m'ôter un doute.
Pour être sur d'avoir 2a>b ou encore a>b/2, j'étais parti du principe de choisir pour tout b, le début de boucle pour a à b//2+1.
Et donc j'avais limité b aux nombres pairs (d'où le "pas" de 2 dans la boucle).
Mais j'ai regardé ce qui se passe avec
b :
4   --> b//2+1 = 3  si c = 2 commencer avec a=c=2 entraîne 2a=4 triangle aplati. Début de boucle a impératif à 3. c=b//2+1
5   --> b//2+1 = 3  si c = 2 commencer avec a=c=2 entraîne 2a=4 <5  le triangle n'existe pas. Début de boucle a impératif à 3. c=b//2+1
6   --> b//2+1 = 4  si c = 3 commencer avec a=c=3 entraîne 2a=6  triangle aplati.. Début de boucle a impératif à 4. c=b//2+1
7   --> b//2+1 = 4  si c = 3 commencer avec a=c=3 entraîne 2a=6 <7  le triangle n'existe pas. Début de boucle a impératif à 4. c=b//2+1
8   --> b//2+1 = 5  si c = 4 commencer avec a=c=4 entraîne 2a=8    triangle aplati.. Début de boucle a impératif à 5. c=b//2+1
9   --> b//2+1 = 5  si c = 4 commencer avec a=c=43 entraîne 2a=8 <9  le triangle n'existe pas. Début de boucle a impératif à 5. c=b//2+1

Donc en ne prenant que des valeurs paires pour b, je supprime des couples potentiels : je supprime donc le 3e paramètre dans la boucle de b :
for b in range (6,2003):
si je choisis 2003, b s'arrête à 2002 et b//2+1 = 1002 donc, je mets ce que jeux comme fin de boucle pour a, à partir de 1003...
for a in range(c, 1051): par ex...
Là, je n'oublie rien...

from math import sqrt
 
for b in range(4,2003):
    c=b//2+1
    for a in range(c,1050):
        m,n = 2*b**2+a**2,4*a**2-b**2
        if m%9==0 and n%9==0:
            p,p1=sqrt(m),sqrt(n)
            if float(int(p))== p and float(int(p1))== p1:
                print (a,b,m/9,sqrt(m/9),n/9,sqrt(n/9))

Ai-je été clair ?

(Code testé via copier/coller)

@+


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#270 07-08-2014 22:17:44

0^0
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Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

Re,

Oui très clair merci!

Mais toujours pas de résultats et je ne comprends pas pourquoi... J'essaye de suivre ce qui se dit dans l'autre fil sur le sujet, mais je ne vois encore poindre aucune justification éclairante...


@+

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