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jeanrek

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resolution somme de radicaux emboites

Bonjour,

je ne vois pas comment simplifier l'expression suivante :

racine cubique ( 4+ 4i/9.racine de 15)  +  racine cubique ( 4 - 4i/9.racine de 15)

Cette expression est en fait la racine d'une équation du 3e degré.Malgré la présence de i, c'est en fait une racine réelle que je sais égale à - 2 ( moins 2) . Autrement dit on doit parvenir à éliminer à la fois les parties imaginaires et tous les radicaux.
A toutes fins utiles l'équation dont cette expression est solution, est x3 - 8x - 8 = 0.

Merci d'avance de votre aide, car les formules de cardan donnent en général ce type de résultat, et il serait donc très utile d'avoir une méthode de simplification, ou au moins les "trucs" principaux pour y parvenir.

yoshi

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Re : resolution somme de radicaux emboites

Salut,

S'il te plaît, veux-tu bien te mettre à LaTeX s'il te plaît ?
Est-ce cela que tu cherches :
[tex]\sqrt[3]{4+\frac{4i\sqrt{15}}{9}}+\sqrt[3]{4-\frac{4i\sqrt{15}}{9}}[/tex] ???

@+

jeanreko

Invité

Re : resolution somme de radicaux emboites

A Yoshi : oui c'est bien cela.
En dehors du pb que j'ai posé, peux-tu m'indiquer comment utiliser LaTex?

totomm

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Re : resolution somme de radicaux emboites

Bonjour,

Bizarre !!!
[tex]x^3 - 8x - 8 [/tex] se met immédiatement sous la forme : [tex](x+2)(x²-2x-4)[/tex] dont les racines sont évidentes ?
[tex]-2,\ 1-\sqrt{5},\ et\ 1 +\sqrt{5}[/tex]

Dernière modification par totomm (12-06-2014 11:26:53)

totomm

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Re : resolution somme de radicaux emboites

re,

les 2 nombres sous les radicaux sont des complexes conjugués, il faut en calculer module et argument, diviser les arguments par 3 et additionner les complexes obtenus...

Dernière modification par totomm (12-06-2014 11:42:55)

yoshi

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Re : resolution somme de radicaux emboites

Bonjour,

En dehors du pb que j'ai posé, peux-tu m'indiquer comment utiliser LaTex?

Simple...
2 méthodes
* Avec un prérequis : avoir Java installé sur ta machine... Dans ce cas, tu cliques sur le bouton "Insérer une équation" et tu accèdes à l'interface pondue par Fred semblable à celle de Word ou OpenOffice. Tu pourras accéder à un (tout petit) tuto en pdf (70 ko) pour te familiariser avec mais, c'est très intuitif...

* Sans prérequis mais avec un peu de courage, lire ce tuto : Code LateX et le mettre en pratique sans oublier un usage intensif du bouton prévisualisation.
A titre indicatif, voilà le code LateX de la formule affichée dans mon précédent post :
\sqrt[3]{4+\frac{4i\sqrt{15}}{9}}+\sqrt[3]{4-\frac{4i\sqrt{15}}{9}}

Il m'a suffi de taper ce code, de le sélectionner, puis de cliquer sur le 1er bouton à gauche de la barre d'outils des Messages : la formule est alors encadrée de balises tex et /tex (avec crochets).
Le rôle de ces balises, LaTeX étant un langage interprété est de dire au navigateur : début du code LateX et fin du code LateX prière de transformer ce qui se trouve entre les deux !
C'est la méthode employée par mal d'entre nous, elle permet de contrôler davantage ce que l'on écrit et son aspect
Voilà tu sais tout.

Yaplukaessayer !!!
(on t'aidera)

@+

Dernière modification par yoshi (12-06-2014 13:45:10)

jeanrek

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Re : resolution somme de radicaux emboites

Merci à totomm pour l'indication de calculer module et argument.
Cependant, dans le cas présent, je n'arrive pas à mettre en facteur le module pour avoir les cosinus et sinus nécessaires permettant d'écrire en "forme Euler" et donc diviser ensuite par 3 l'argument. Et quand bien même je pourrais factoriser, le cos et le sin trouvés seront-ils assez "lisibles" pour exprimer un argument comme multiple de PI ? Peux-tu m'aider un peu plus pour que j'arrive à la simplification ultime (-2).

Pour être plus clair sur mon objectif dans cette affaire : Je peux toujours fabriquer une équation du 3e degré avec des racines simples que je choisis d'avance, bien sûr. Mais à l'inverse si je cherche à résoudre l'équation 3e degré en "oubliant" les solutions que j'ai moi-même choisies, j'arriverai via les formules de Cardan à des expressions complexes avec superposition de radicaux. Justement comme dans ce que j'ai soumis.Je voudrais juste avoir, via cet exemple, des idées sur comment simplifier au maximum ces racines, puisque c'est toujours sous leur forme la plus compliquée que je les trouverai.Or sans simplification, il est très difficile de vérifier qu'elles sont correctes, sauf à recourir à un programme (excel, calculette ..)

freddy

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Re : resolution somme de radicaux emboites

Salut,

si ça peut t'aider : Méthode de Cardan

totomm

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Re : resolution somme de radicaux emboites

Bonsoir,

jeanrek cherche à résoudre [tex]\sqrt[3]{4+\frac{4i\sqrt{15}}{9}}+\sqrt[3]{4-\frac{4i\sqrt{15}}{9}}[/tex]
et à écrit :

Cette expression est en fait la racine d'une équation du 3e degré. Malgré la présence de i, c'est en fait une racine réelle que je sais égale à - 2 ( moins 2) . Autrement dit on doit parvenir à éliminer à la fois les parties imaginaires et tous les radicaux.
A toutes fins utiles l'équation dont cette expression est solution, est x3 - 8x - 8 = 0.

Eh bien NON, il faut SUIVRE SOIGNEUSEMENT la suggestion de freddy car un radical cubique d'un nombre imaginaire conduit à 3 solutions et il faut ajouter un des trois nombres solutions à un autre conjugué du premier pour être solution d'une équation du 3ème degré à coefficients réels...

Un petit programme Python 3.2 qui fait le travail :

 from math import sqrt
u=complex(4,4*sqrt(15)/9)**(1/3) #racine cubique
print("racine 1 =",u.real*2)     #somme nombre+nombre conjugué
r=complex(-1/2,sqrt(3)/2)        #rotation 120 degrés
print("racine 2 =",(u*r).real*2)
print("racine 3 =",(u*r*r).real*2)