Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jeanrek

Membre

Inscription : 10-01-2014

Messages : 10

simplification de fractions algébriques

Bonjour,

  Je n'arrive pas à simplifier les 2 fractions algébriques suivantes :

1) Racine de ( 111 111 111 x 1 000 000 005  + 1 )
     [tex]\sqrt{ 111 111 111 \times 1 000 000 005  + 1}[/tex]
   Ici je ne vois pas comment factoriser cette somme pour aller plus loin. A moins qu'il y ait une autre voie...

2) Si T =  ( 2 + racine3 ) /  ( racine 2 + racine ( 2 + racine3 ))   +   ( 2- racine3) / ( racine 2 - racine (2- racine3 ))  combien vaut T au carré? 
      [tex] T =\frac{2+\sqrt 3}{\sqrt 2+\sqrt{2+\sqrt 3}}+\frac{2-\sqrt 3}{\sqrt 2-\sqrt{2-\sqrt 3}}[/tex]
  Ici j'ai essayé de simplifier d'abord chaque fraction par les conjugués, puis de ramener d'abord les 2 fractions à un même dénominateur, puis d'élever d'entrée au carré, sans vraiment progresser dans la simplification.

  Merci de votre aide et vos éventuels conseils méthodologiques.

Dernière modification par yoshi (09-05-2014 11:30:54)

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : simplification de fractions algébriques

Bonjour Jeanrek, pour le 1, xcas donne la réponse :

▼rép 1

[tex]2*43*983*3943[/tex]

pour le 2, même chose, xcas me donne la réponse :

▼rép 2

[tex]\sqrt{2}[/tex] 

;

mais reste à trouver une méthode, et là, tout de suite, je n'ai pas d'idée ...

Dernière modification par ymagnyma (09-05-2014 11:48:16)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : simplification de fractions algébriques

Salut,

Bienvenue chez nous...
Pour le 1. j'ai trouvé, il y avait une astuce...
J'ai tout de suite pensé à (a-1)(a+1)+1 =a²-1
Mas ça ne collait pas, il n'y avait pas un écart de 2.. .alors j'ai laissé courir, fait autre chose, puis j'y suis revenu et ai remarqué que :
1 000 000 005 = 1000000005/3 = 333333335..
[tex]\sqrt{ 111 111 111 \times 1 000 000 005  + 1} = \sqrt{ 111 111 111 \times 3 \times 3333333355  + 1}[/tex]
Alors j'ai comparé 333 333 335 et 111 111 111 et j'ai trouvé ce qu'on fait du 3 !

2. Là je coince encore...
J'ai eu une piste, je ne sais pas ce qu'elle va donner :
[tex]\sqrt 2+\sqrt{2+\sqrt 3} = \sqrt 2+ \sqrt{\frac{4+2\sqrt 3}{2}}=\sqrt 2+ \frac{\sqrt{(1+\sqrt 3)^2}}{\sqrt 2}=\sqrt 2+ \frac{1+\sqrt 3}{\sqrt 2}[/tex]

@+

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : simplification de fractions algébriques

Bravo Yoshi, je n'ai pas encore vérifiée la 1, mais tu dis que ça tourne, et pour la 2, la piste est bonne, ça s'arrange bien, (en faisant la même transformation pour le second dénominateur).

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : simplification de fractions algébriques

Ah oui, décidément, un thème qu'on retrouve :

▼remarquable

[tex]333 333 335 = 3*111 111 111 +2[/tex]
Notons [tex]a=3*111 111 111 = 333 333 333[/tex]
Alors, [tex]111 111 111 * 3 * 333 333 335 + 1 = (111 111 111 * 3)*(111 111 111 *3 + 2) + 1
                                                                   = a(a+2)+1=a^2+2a+1=(a+1)^2[/tex]
Le résultat cherché est donc 333 333 334.

jeanrek

Membre

Inscription : 10-01-2014

Messages : 10

Re : simplification de fractions algébriques

Suite à la piste que m'a ouvert Yoshi ( qui peut me confirmer que c'est ça puisqu'il a trouvé pour le 1:
Je crois que c'est ça :

  racine [ ( 111 111 111 x 333 333 335 x 3 +  1]
= racine ( 111 111 111 x ( 333 333 333 +2) x 3 + 1 ]
= racine [ 3 x 111 111 111  x ( 3 x 111 111 111 + 2) + 1 ]

     A ce moment j'ai verifie que a x ( a+2) + 1 =  axa + 2a +1 =  ( a+1) au carré   avec ici a = 3 x 111 111 111

donc = racine ( 3 x 111 111 111 +1 ) au carré
         = 3 x 111 111 111 +1
         = 333 333 334               ce qui correspond à la réponse 2*43*983*3943 recue en premier.

  Merci de votre aide Yoshi, il me manquait cette relation a (a+2) +1 qui permet la résolution en "intégrant" le +1.

jeanrek

Membre

Inscription : 10-01-2014

Messages : 10

Re : simplification de fractions algébriques

Precision, je n'avais pas encore lu la réponse d'ymagnyma qui donne exactement cela. Merci donc aussi Ymagnyma!

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : simplification de fractions algébriques

Ave,

Bien compliqué !
J'avais pensé à bien plus simple (niveau 3e !) et dans la  logique de ce que j'ai écrit:
[tex]\sqrt{ 111 111 111 \times 1 000 000 005  + 1} = \sqrt{ 111 111 111 \times 3 \times 3333333355  + 1}= \sqrt{ (111 111 111 \times 3) \times 3333333355  + 1}= \sqrt{ 333 333 333 \times 3333333355  + 1}[/tex]
[tex]= \sqrt{ 333 333 333 \times 3333333355  + 1}=\sqrt{ (333 333 334-1) \times (333333334  + 1)+1}=\sqrt{333 333 334^2-1+1}\\=333 333 334[/tex]
L'écart de 2 : 333333335-333333333 = 2 d'où le 333333334+1 et le 333333334-1

Quant aux racines de la 2e question, je pensais bien que cela devait s'arranger : j'avais vu que après traitement identique de la 2e fraction, cela devenait... intéressant.
Je n'étais pas allé plus loin, pris par autre chose d'urgent.
Mais en général, si je poste quelque chose d'incomplet, c'est que je suis sûr quand même à 90 % minimum, de tenir le bon bout, sinon, je ferme ma g... (habitude de joueur d'échecs)

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : simplification de fractions algébriques

Re,

En fait, c'est aussi une idée qui n'est pas neuve : l'associativité de la multiplication...
J'avais rencontré ça dans le temps (ça ne me revient qu'aujourd'hui !) :
Sauriez-vous montrer, sans effectuer les multiplications, que 6565 x 43 = 65 x 4343 ?

Je donnais en 3e de temps du calcul mental basé sur les produits remarquables et en
particulier a² - b².
Par ex : 95 x 105 facile de faire (100-5)(100+5) = 100² - 5² = 10000 - 25 = 99975
ou encore 99² = (100 -1)² = 100² -2 x 100 x 1 +1 = 10000 -200 + 1 = 9801 plus "simple" à faire que (90+9)².
Alors que 91² = (90 + 1)² est préférable à (100 - 9)²...

@+

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : simplification de fractions algébriques

▼associativité, c'est beau

6565*43=65(100+1)*43=43(100+1)*65=4343*65

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : simplification de fractions algébriques

Salut,

Oui, bien sûr, mais là, coco, tu fais aussi appel à la commutativité... Est-ce bien nécessaire ?

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : simplification de fractions algébriques

Hello tutti,

bon, ça y est, je le tiens, "Et au nom de Dieu, vive la coloniale !"
 
[tex] T =\frac{2+\sqrt 3}{\sqrt 2+\sqrt{2+\sqrt 3}}+\frac{2-\sqrt 3}{\sqrt 2-\sqrt{2-\sqrt 3}}[/tex]

En multipliant haut et bas chaque fraction par le conjugué de son dénominateur, on a :

[tex]T= \frac{(2+\sqrt 3)(\sqrt 2-\sqrt{2+\sqrt 3})}{-\sqrt 3}+\frac{(2-\sqrt 3)(\sqrt 2+\sqrt{2-\sqrt 3})}{\sqrt 3} [/tex]

Là, on utilise la ruse de yoshi mais gaffe, il y a une erreur à ne pas commettre :

[tex] T = \sqrt{\frac 16}\left(-(2+\sqrt 3)(2-\sqrt{(1+\sqrt 3)^2})+(2-\sqrt 3)(2+\sqrt{(1-\sqrt 3)^2})\right)[/tex]

[tex]T=\sqrt{\frac 16}\left(-(2+\sqrt 3)(1-\sqrt 3)+(2-\sqrt 3)(1+\sqrt 3)\right)=\sqrt 2[/tex]

Donc  [tex]T^2=2[/tex]

Dernière modification par freddy (12-05-2014 22:47:42)

ymagnyma

Membre

Inscription : 06-10-2012

Messages : 412

Re : simplification de fractions algébriques

Bonjour
Certes, la commutativité n'est pas nécessaire, car  (a*b)*c=a*(b*c), mais en commutant, c'est ce que j'ai voulu exprimer, ... mais si.

Dernière modification par ymagnyma (13-05-2014 11:47:49)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : simplification de fractions algébriques

Salut,

Je vois que t'es de retour...
Le couplet sur la commutativité, c'était juste pour te taquiner... ^_^

Ce WE, j'ai assuré ton interim sans trop de succès : l'une avait déjà tout compris (on va chanter comme Stromae "Fooormidableu !"), quant au second, après nous avoir aiguillé sur les produits scalaires, paf ! il a sorti Al Kashi de son chapeau... Allez tous en chœur Fooormidableu !!!...

Et puis, et puis heureusement, :
Il a a freddy qu'est fort en calcul littéral
Et qui aime le calcul
Pareil que le calcul aime freddy...

Ah, nerosson que n'es-tu encore là : t'aurais bin trouvé une vacherie bien peaufinée à sortir..

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : simplification de fractions algébriques

Salut,

il aurait dit que si l'arithmétique est la reine des mathématiques qui est, comme chacun sait, la reine des sciences, l'algèbre est et restera la duchesse des mathématiques :-)

Dernière modification par freddy (15-05-2014 21:02:58)