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marioss

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un carré complet

salut,

quelqu'un a des idées pour ce truc !!  voilà :

soient x et y deux nombres naturelles tel que :     

x.y / (x²+y²-x)

montrez que x est un carré complet .

merci d'avance .

Dernière modification par yoshi (30-04-2014 18:35:24)

totomm

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Re : un carré complet

Bonjour,

Je suppose que l'exercice est :

soient x et y deux nombres naturels tel que xy | (x²+y²-x) (   lire "xy divise (x²+y²-x)"  )
montrez que x est un carré complet.

C'est vrai. Avez-vous une solution ?
A+ :-))

marioss

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Re : un carré complet

oui.

pas encore

totomm

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Re : un carré complet

Bonjour,

posons [tex]E=x^2+y^2-x[/tex]
[tex]si\ x=a^2\ on\ peut\ prendre\ y=a, \ alors\ xy=a^3\ et\ E=a^4[/tex] : on a bien xy | E

mais faut-il [tex]x=a^2[/tex] ? oui car
regardons la divisibilité de E par x : il faut que y² soit divisible par x. Posons y² = kx
On ne peut avoir k = x car alors y = x et E = (2x²-x) n'est pas divisible par xy = x²

On pose donc k = m² et x = a² pour pouvoir avoir y = ma et xy = (a².ma) et E = a²(a²+m²-1)
il faut donc regarder ma | (a²+m²-1).
alors il faut m | (a²-1) ET a | (m²-1) ce qui se traduit par :

a étant choisi,  m est pris parmi les diviseurs de (a²-1) tels que a divise (m²-1). m = 1 est toujours possible.

exemple pour a=7 on trouve m=1 ou 6 ou 8 ou 48 (parmi les 10 diviseurs de 48).
choisissant m=8 on a x=49, y=56, xy=2744, E=5488 et on vérifie que E=2xy CQFD

Dernière modification par totomm (01-05-2014 14:28:25)

marioss

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Re : un carré complet

s'il vous plait pourriez-vous m'expliquer encore plus ?

totomm

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Re : un carré complet

Bonsoir,

Voici les principes que j'ai utilisés :

1. Dans les nombres naturels, pour qu'un nombre N soit divisible par un produit xy, il faut qu'il soit divisible au moins par x.
Il suffit d'appliquer le Théorème fondamental de l'arithmétique : Tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs

2. Si tous les termes d'une somme S, sauf un terme y, sont visiblement divisibles par x, la somme S ne sera divisible par x que si y l'est aussi

Vous suffisent-ils pour comprendre la démarche ?
A+

marioss

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Re : un carré complet

pardon c'est encore beaucoup très compliqué

Dernière modification par marioss (03-05-2014 07:39:20)

yoshi

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Re : un carré complet

Bonjour,

Je suis au regret de devoir intervenir... Là, marioss, désolé, tu fais preuve d'une certaine mauvaise volonté, lapidaire qui plus est.
Point 1 de totomm.
   Première partie, c'est d'une évidence absolue : c'est le simple bon sens.
   Deuxième partie, c'est LE théorème fondamental sur la décomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers.
   C'est à cause de ce théorème que 1 n'est pas un nombre premier.

Point 2.
   La preuve peut en être apportées en 5e puisque c'est là que commence les factorisations basées sur la distributivité.

Si, vraiment, tu y as réfléchi et que tes difficultés de compréhension persistent, elles ne peuvent venir du post précédent de totomm.
Alors, fais l'effort de détailler tes difficultés, parce que : « c'est encore beaucoup très trop compliqué » ne peut pas aider beaucoup totomm à débloquer la situation

@+

      Yoshi
- Modérateur -

totomm

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Re : un carré complet

Bonjour,

Merci yoshi pour ce soutien, et aussi merci à ymagnyma qui sait donner des conseils judicieux.

Si marioss veut progresser, il faut qu'il fasse sérieusement appel à son bon sens.
Et le bon sens le plus élémentaire dit que : Si on ne tente rien, on n'a rien !! Exemple :

Soit (x² + y² - x) qui doit être divisible par xy :
Le plus simple bon sens est d'essayer de voir comment il peut être divisible par x.
A-t-on le droit ? oui, d'après le principe que j'ai appelé principe1. ensuite etc…voir post #4

Je m'attendais à ce que marioss demande plus d'explication après le post #4,
car j'ai plutôt tendance à donner une démarche générale, exprès pour faire découvrir les théorèmes sous-jacents qui sont appliqués (yoshi pense que ce n'est pas de la bonne pédagogie, tout au moins pas la meilleure…)
mais en l'occurrence je n'ai plus qu'un seul conseil :

Faire des exemples numériques en suivant la démarche du post #4 pour comprendre.
Pour x=9 cela convient avec y=3 ou 6 ou 12 ou 24 et aucun autre y
Pour x=5 rien ne convient !

yoshi

Modo Ferox

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Re : un carré complet

RE,

Je ne vais pas m'éterniser, seulement dire :

(yoshi pense que ce n'est pas de la bonne pédagogie, tout au moins pas la meilleure…)

C'est un peu lapidaire et un peu réducteur comme formulation, ça mériterait un (long) débat mais pas dans cette discussion.

Ici, j'ai simplement signalé à notre correspondant qu'il avait besoin de se prendre en mains parce que les éléments de réponse apportés étaient largement suffisants et que ses difficultés persistantes ne pouvaient donc provenir du post #6.
Je je l'ai donc invité à s'exprimer davantage parce que vous, je ne sais pas, mais moi, après vos réponses, je ne vois pas bien ce qui l'arrête.
Si marioss voulait bien analyser ses problèmes, il ferait un grand pas en avant vers la solution.

@+

Dernière modification par yoshi (03-05-2014 11:40:35)