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violette · 22-04-2014 17:00:37

Bonjour j'ai besoin d'aide
Alexi se sert plusieurs fois du gâteau placé devant lui il prend à chaque fois le tiers de ce qui reste .Quelle part aura-il mangé lorsqu'ilse sera resservi pour la vingtiéme fois?

Fred · 22-04-2014 18:08:35

Bonjour,

Je veux bien t'aider, mais pas te donner la solution.... Il faut raisonner étape par étape.
A la première étape, il mange 1/3 du gâteau. Il va lui en rester
[tex]1-\frac 13[/tex]
A la deuxième étape, il va manger 1/3 de ce qu'il reste, c'est à dire [tex]\frac 13\left(1-\frac 13\right) [/tex]

Il va lui en rester
[tex]\left(1-\frac 13\right)-\frac 13\left(1-\frac 13\right)[/tex]

Que se passe-t-il si là dedans tu mets [tex]\left(1-\frac 13\right)[/tex] en facteur????

Vois-tu comment cela va se généraliser pour 3,4,5... 20 étapes?

Fred.

Fred · 22-04-2014 18:10:04

Ou alors...plus simplement, s'il mange 1/3 du gâteau, il lui en reste 2/3....
S'il en mange encore 1/3, il lui reste 2/3 du reste, soit [tex]\frac 23\times\frac 23[/tex].... et après 3,4, ..., 20 étapes???

F.

violette · 22-04-2014 19:32:09

Bonsoir je ne comprends pas ton idée

yoshi · 24-04-2014 08:15:23

Salut,

On va essayer comme ça...
A chaque fois qu'Alexis prend [tex]\frac 1 3[/tex] du reste du gâteau, il reste [tex]\frac 2 3[/tex] du précédent reste

1. Il prend une 1ere part 1/3, soit [tex]1 \times \frac 1 3 = \frac 1 3[/tex]
il reste [tex]1-\frac 1 3 = \frac 2 3[/tex]
[tex]\frac 2 3[/tex] c'est bien \frac 2 3 du reste précédent soit [tex]1 \times \frac 2 3 =\frac 2 3[/tex]
Remarquons que : [tex]2 = 2^1[/tex] et [tex]3 = 3^1[/tex] et qu'il s'est servi pour la 1ere fois
Le reste est donc bien après la 1e prise : [tex]\frac{2^1}{3^1}=\frac{2}{3}[/tex]
il a donc mangé en tout [tex]1-\frac 2 3 = \frac 1 3[/tex]

2. Il prend une 2e part : 1/3 du reste précédent, soit [tex]\frac 2 3\times \frac 1 3 = \frac 2 9[/tex]
Il reste [tex]\frac 2 3 - \frac 2 9 = \frac 6 9-\frac 2 9 =\frac 4 9[/tex]
[tex]\frac 4 9[/tex] c'est bien \frac 2 3 du reste précédent soit [tex]\frac 2 3 \times \frac 2 3 =\frac 4 9[/tex]

Remarquons que : [tex]4 = 2^2[/tex] et [tex]9 = 3^2[/tex] et qu'il s'est servi pour la 2e fois
Le reste est donc bien après la 2e prise : [tex]\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}[/tex]

Il a donc mangé en tout [tex]1 - \frac 4 9 = \frac 5 9[/tex]

3. Il prend une 3e part : 1/3 du reste précédent, soit [tex]\frac 4 9\times \frac 1 3 = \frac{4}{27}[/tex]
Il reste [tex]\frac 4 9 - \frac{4}{27} = \frac{12}{27}-\frac{4}{27}=\frac{8}{27}[/tex]
[tex]\frac{8}{27}[/tex] c'est bien [tex]\frac 2 3[/tex] du reste précédent soit [tex]\frac 4 9 \times \frac 2 3 = \frac{8}{27}[/tex]

Remarquons que : [tex]8 = 2^3[/tex] et [tex]279 = 3^3[/tex] et qu'il s'est servi pour la 3e fois
Le reste est donc bien après la 3e prise : [tex]\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}[/tex]

Il a donc mangé en tout [tex]1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}[/tex]

Allez encore un essai :
4. Il prend une 4e part : 1/3 du reste précédent, soit [tex]\frac{8}{27}\times \frac 1 3 = \frac{8}{81}[/tex]
Il reste [tex]\frac{8}{27} - \frac{8}{81} = \frac{24}{81}-\frac{8}{27}=\frac{16}{81}[/tex]

Remarquons que : [tex]16 = 2^4[/tex] et [tex]81 = 3^4[/tex] et qu'il s'est servi pour la 4e fois
Le reste est donc bien après la 4e prise : [tex]\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}[/tex]

Il a donc mangé en tout [tex]1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}[/tex]

Maintenant, tu dois pouvoir passer directement à la 20e fois :
* Écrire la fraction de gâteau restant
* En déduire ce qui a été mangé : 1 - la fraction précédente

Ca te va ?

@+

Dernière modification par yoshi (02-05-2014 15:26:25)

yoshi · 30-04-2014 09:50:00

Re,

Hello Violette ?
Pas très bavarde, tu pourrais donner signe de vie afin qu'on puisse éventuellement t'aider plus efficacement...

@+

Eliana · 02-05-2014 13:16:26

yoshi a écrit :

Salut,
On va essayer comme ça...
A chaque fois qu'Alexis prend [tex]\frac 1 3[/tex] du reste du gâteau, il reste [tex]\frac 2 3[/tex] du précédent reste
1. Il prend une 1ere part 1/3, soit [tex]1 \times \frac 1 3 = \frac 1 3[/tex]
il reste [tex]1-\frac 1 3 = \frac 2 3[/tex]
[tex]\frac 2 3[/tex] c'est bien \frac 2 3 du reste précédent soit [tex]1 \times \frac 2 3 =\frac 2 3[/tex]
Remarquons que : [tex]2 = 2^1[/tex] et [tex]3 = 3^1[/tex] et qu'il s'est servi pour la 1ere fois
Le reste est donc bien après la 1e prise : [tex]\frac{2^1}{3^1}=\frac{2}{3}[/tex]
il a donc mangé en tout [tex]1-\frac 2 3 = \frac 1 3[/tex]
2. Il prend une 2e part : 1/3 du reste précédent, soit [tex]\frac 2 3\times \frac 1 3 = \frac 2 9[/tex]
Il reste [tex]\frac 2 3 - \frac 2 9 = \frac 6 9-\frac 2 9 =\frac 4 9[/tex]
[tex]\frac 4 9[/tex] c'est bien [tex] \frac 2 3[/tex] du reste précédent soit [tex]\frac 2 3 \times \frac 2 3 =\frac 4 9[/tex]
Remarquons que : [tex]4 = 2^2[/tex] et [tex]9 = 3^2[/tex] et qu'il s'est servi pour la 2e fois
Le reste est donc bien après la 2e prise : [tex]\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}[/tex]
Il a donc mangé en tout [tex]1 - \frac 4 9 = \frac 5 9[/tex]
3. Il prend une 3e part : 1/3 du reste précédent, soit [tex]\frac 4 9\times \frac 1 3 = \frac{4}{27}[/tex]
Il reste [tex]\frac 4 9 - \frac{4}{27} = \frac{12}{27}-\frac{4}{27}=\frac{8}{27}[/tex]
[tex]\frac{8}{27}[/tex] c'est bien [tex]\frac 2 3[/tex] du reste précédent soit [tex]\frac 4 9 \times \frac 2 3 = \frac{8}{27}[/tex]
Remarquons que : [tex]8 = 2^3[/tex] et [tex]279 = 3^3[/tex] et qu'il s'est servi pour la 3e fois
Le reste est donc bien après la 3e prise : [tex]\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}[/tex]
Il a donc mangé en tout [tex]1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}[/tex]

Allez encore un essai :
4. Il prend une 4e part : 1/3 du reste précédent, soit [tex]\frac{8}{27}\times \frac 1 3 = \frac{8}{81}[/tex]
Il reste [tex]\frac{8}{27} - \frac{8}{81} = \frac{24}{81}-\frac{8}{27}=\frac{16}{81}[/tex]
Remarquons que : [tex]16 = 2^4[/tex] et [tex]81 = 3^4[/tex] et qu'il s'est servi pour la 4e fois
Le reste est donc bien après la 4e prise : [tex]\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}[/tex]

Il a donc mangé en tout [tex]1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}[/tex]

Maintenant, tu dois pouvoir passer directement à la 20e fois :
* Écrire la fraction de gâteau restant
* En déduire ce qui a été mangé : 1 - la fraction précédente
Ca te va ?
@+

Bonjour,

j'ai cet exercice a faire aussi et j'ai calculer les 3 première parts mais j'me suis dis que je n'allais pas tout calculer jusqu'à la 20ième et la je bloque, parce que 20ième part il va reprendre 1/3 du reste, donc 1/3*19/27 mais il faut mettre les 17 autres parts qu'il a manger précédemment mais je ne sais pas ou les insérer, pourrais tu m'expliquer s'il te plait ?

Dernière modification par yoshi (02-05-2014 15:28:35)

yoshi · 02-05-2014 15:31:40

Bonjour,

Tu as du mal à tout lire donc...
Je vais résumer ce que j'ai montré ci-dessus, mais dis-toi bien que << Science sans conscience n'est que ruine de l'âme. >>...

Après la 1ere part, il reste [tex]\frac{2^1}{3^1}[/tex]

Après la 2e part, il reste [tex]\frac{2^2}{3^2}[/tex]

Après la 3e part, il reste [tex]\frac{2^3}{3^3}[/tex]

Après la 4e part, il reste [tex]\frac{2^4}{3^4}[/tex]

A chaque étape, il ne reste plus que 2/3 du reste précédent...

Regarde les nos des parts mangées et les exposants...
Tu dois pouvoir compléter la phrase :
après la 20e part, il reste [tex]\frac{2^?}{3^?}[/tex] en remplaçant les points d'interrogation, non ?

Le gâteau entier, c'est 1, ce qui a été mangé, c'est 1 - reste...

Si tu m'avais lu attentivement, tu aurais noté l'étourderie que je viens de rectifier. J'avais écrit :
[tex]\frac{2^2}{3^2}=\frac{8}{27}[/tex] au lieu de [tex]\frac 4 9[/tex]

Suffisant ?

@+

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#1 22-04-2014 17:00:37

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#2 22-04-2014 18:08:35

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#3 22-04-2014 18:10:04

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#4 22-04-2014 19:32:09

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#5 24-04-2014 08:15:23

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#6 30-04-2014 09:50:00

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#7 02-05-2014 13:16:26

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#8 02-05-2014 15:31:40

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