DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

lamimilune · 23-03-2014 10:40:33

Bonjour DM tres important a rendre demain a 8h
Aidez moi svp

Question 1: On suppose que f est une fonction definit sur I= (1;3) par f(x)= 5 - 1/5 (x-4)^2
Verifiez que f est positive et croissante sur I et determinez un encadrement de l'aire A de la partie situee sous la courbe de f
(j ai calcule a derivee mais je n'arrive pas a faire le tableau de variation et de signe)
QUESTION 1 http://nosdevoirs.fr/devoir/259108

Question 2: On se propose d'améliorer l'encadrement trouve dans la question1
On considère un entier naturel non nul noté n, et une fonction positive et croissant f définit sur l'intervalle I = ( 0;n). L'idée est d'appliquer le résultat de la question 1 à chacun des intervalles (0;1) , (1;2), ... , (n - 1 ; n) afin d'encadrer les aires A1, A2, ... , An
Demontrez que f(0) inferieur ou égal a A1 inferieur ou égale a f(1) / f(1) inferieur ou égal a A2 inferieur ou égale a f(2) / ... / f(n - 1) inferieur ou égal a An inferieur ou égale a f(n)
http://nosdevoirs.fr/devoir/259108 QUESTION 2

les photos sont sur les sites
merci de m aider

yoshi · 23-03-2014 11:28:15

Bonjour,

Je conçois que ce soit urgent...
Mais 2 questions :
1. Je présume que ton DM n'a pas été donné le 22 et à rendre pour Lundi 24... alors, pourquoi attendre d'avoir le couteau sous la gorge ?

2. Ta fonction f est-elle bien telle que [tex]f(x) = 5-\frac 1 5 (x-4)^2[/tex] ou est-elle [tex]f(x) = 5-\frac{1}{5(x-4)^2}[/tex] ???

Je me base sur la première hypothèse
Dérivée
[tex]5-\frac 1 5 (x-4)^2[/tex] est une somme U + V avec [tex]U = 5[/tex] et [tex]V= -\frac 1 5 (x-4)^2[/tex]
La dérivée --> (U+V)'= U'+V'
La dérivée d'une constante est nulle : U '= 0
La dérivée du produit par une constante (k.g(x))' = k.g'(x), reste donc à trouver la dérivée de (x-4)^2.
La dérivée de U² est 2U'U avec U = x - 4 d'où U' = 1.
On a donc [tex]f'(x)= -\frac 1 5 \times 2(x-4) = -\frac 2 5 (x-4)[/tex]

Pour avoir le tableau de variation, il faut avoir le signe de f'(x)...
Le signe de x - 4 est

x   |-oo      4      +oo
----|--------------------
x-4 |-oo  -   0  +   +oo

Mais il faut tenir compte du - (les signes sont alors inversés et aussi de I :

x     |1      3   |    4      +oo
------|-----------| 
f'(x) |    +      | +  0  -  -oo

Il faut ajouter une "ligne" avec f(x) et une flèche montante ou descendante : le signe étant + sur [1 ; 3] ta fonction y est strictement croissante.
Pour compléter le tableau, il te reste encore à calculer f(1) et f(3) : ta calculette fait ça très bien...

Bon pour la question 2

Demontrez que f(0) inferieur ou égal a A1 inferieur ou égale a f(1) / f(1) inferieur ou égal a A2 inferieur ou égale a f(2) / ... / f(n - 1) inferieur ou égal a An inferieur ou égale a f(n)

ça ce n'est pas très clair : je serais vraiment très surpris que ton prof ait écrit ça comme ça...
Si ce n'est pas le cas, veux-tu bien faire l'effort de donner le texte original ? Merci d'avance...

@+

lamimilune · 23-03-2014 12:31:20

Bonjour, je te remercie de ton aide

Voici comment cela est écrit:
Demontrez que f(0)≤ A1≤ f(1) / f(1) ≤ A2 ≤ f(2) / ... / f(n - 1) ≤ An ≤f(n)

yoshi · 23-03-2014 13:50:51

Bonjour,

Oui, je comprends mieux : j'avais fini par me ire que tes / étaient des séparateurs qui auraient pu avantageusement être remplacés par des ;
Voilà un schéma ;

La première aire, [tex]\mathcal{A_1}[/tex], en dessous de la courbe est ici en orange...
Elle est encadrée entre celle du rectangle OA₁AA'₁ et celle du rectangle OA₁BB'₁.
[tex]\mathcal{A_2}[/tex] est elle encadrée par celle des rectangles A₁C₁DB et A₁C₁CE...
Chacun de ces rectangles a une largeur [tex]l = x_i-x_{i-1} = i-(i-1) = 1[/tex] avec [tex]i \in [0\;;\;n][/tex].
Chacun de ces rectangles a une Longueur égale à soit f(i-1), soit f(i) avec [tex]i \in [0\;;\;n][/tex].

L'aire d'un rectangle se calcule par l * L
Moyennant quoi, tu va bien arriver à montrer que :
[tex]f(0)\leqslant \mathcal{A_1}\leqslant f(1)[/tex]
[tex]f(1)\leqslant \mathcal{A_2}\leqslant f(2)[/tex]
................................................
[tex]f(n-1)\leqslant \mathcal{A_n}\leqslant f(n)[/tex]...

J'attends tes propositions.

@+

[EDIT]
Ce que j'ai rayé dans mon premier post ne doit pas figurer dans une copie : ce n'est là que pour toi, pour que tu comprennes bien cette histoire de signes...

Dernière modification par yoshi (23-03-2014 13:59:43)

lamimilune · 23-03-2014 16:41:22

Il semblerait que les longueurs des rectangles valent toutes 1 et donc que l'air de A1, A2,... dépendent alors de la largeur qui est i-(i-1)
Comme la premiere egalite possede toujours une largeur inferieur a celle à gauche alors elles sont bien inferieur ou egal entre elles. Par exemple: f(0)⩽A1⩽f(1) car l aire est donne par la formule L*l

j ai réfléchis pendant 2bonnes heures et je pense à ca sinon cela veut dire que je n ai toujours pas compris

Dernière modification par lamimilune (23-03-2014 16:44:22)

yoshi · 23-03-2014 20:01:23

Salut,

Encadrement de [tex]\mathcal{A_1}[/tex]
I L'aire du rectangle OA₁AA'₁ se calcule par OA₁ * OA'₁
1. OA₁ = 1
2. OA'₁ = f(0)
3. L'aire du rectangle OA₁AA'₁ vaut donc ?

II L'aire du rectangle OA₁BB'₁ se calcule par OA₁ * OB'₁
1. OA₁ = 1
2. OB'₁ = f(1)
3. L'aire du rectangle OA₁BB'₁ vaut donc ?

Maintenant tu as l'encadrement de l'aire [tex]\mathcal{A_1}[/tex]

-----------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------
Encadrement de [tex]\mathcal{A_2}[/tex]
I L'aire du rectangle A₁C₁DB se calcule par A₁C₁ * A₁B
1. A₁C₁ = OA₁ = 1
2. A₁B = OB'₁ = f(1)
3. L'aire du rectangle OA₁AA'₁ vaut donc ?

II L'aire du rectangle A₁C₁CE se calcule par A₁C₁ * A₁E
1. A₁C₁ = OA₁ = 1
2. A₁E = f(2)
3. L'aire du rectangle A₁C₁CE vaut donc ?

Maintenant tu as l'encadrement de l'aire [tex]\mathcal{A_2}[/tex]

--------------------------------------------------------------------

Encadrement de [tex]\mathcal{A_i}[/tex] pour [tex]i \in[1\;;\;n][/tex]
1. La largeur du rectangle en dessous de la courbe est 1
2. L'autre dimension est f(i-1)
3. L'aire du rectangle en dessous de la courbe vaut donc ?

1. La largeur du rectangle au dessus de la courbe est 1
2. L'autre dimension est f(i)
3. L'aire du rectangle en dessous de la courbe vaut donc ?

Chaque portion de courbe est située entre les points d'abscisses i-1 et i.
L'aire située en dessous de cette portion de cette courbe est encadrée par les aires de 2 rectangles, l'un en dessous de la courbe, l'autre au dessus... (c'est l'énoncé)
Ces 2 rectangles ont en commun d'avoir la même largeur .
Le rectangle inférieur a pour autre dimension f(i-1)
Le rectangle inférieur a pour autre dimension f(i)

Si je prends i = 5, je trace les 2 verticales d'équations x = 4 et x =5 jusqu'à ce qu'on rencontre la courbe.
Le point de la courbe d'abscisse 4 a pour ordonnée f(4). A partir de ce point, je construis le rectangle inférieur de dimensions 1 et f(4)..
Le point de la courbe d'abscisse 5 a pour ordonnée f(5). A partir de ce point, je construis le rectangle supérieur de dimensions 1 et f(5)..
L'aire [tex]\mathcal{A_5}[/tex] est encadrée par les aires des 2 rectangles ci-dessus...

.Est-ce que c'est plus clair ?

@+

yoshi · 24-03-2014 09:29:21

Re,

Lamimilune, je vois que probablement tu n'es pas repassée...
2 h de recherche, c'est admirable, mais sur un sujet aussi simple (= direct et sans complication) c'était beaucoup trop.
Tu cherchais 1/2 h et tu revenais à la pêche aux renseignements ...
On aurait pu boucler rapidement, même si en général, je ne suis pas disponible entre 17 h 45 et 19 h...
Pour l'aire [tex]\mathcal{A_1}[/tex], les 2 aires des rectangles qui l'encadrent valent respectivement :
[tex]1 \times f(0)[/tex] et [tex]1 \times f(1)[/tex], donc entre [tex]f(0)[/tex] et [tex]f(1)[/tex].
La fonction f est croissante (énoncé) donc puisque [tex]0 \leqslant 1[/tex] alors [tex]f(0) \leqslant f(1)[/tex] .
On peut donc écrire :
[tex]f(0) \leqslant \mathcal{A_1}\leqslant f(1)[/tex].

Pour l'aire située sous la portion de courbe comprise entre les droites d'équations [tex]x = i-1[/tex] et [tex]x = i[/tex] avec[tex] i \in [1\;;\;n][/tex] :
les 2 aires des rectangles qui encadrent [tex]\mathcal{A_i}[/tex]valent respectivement :
[tex]1 \times f(i-1[/tex] et [tex]1 \times f(i)[/tex], donc entre [tex]f(i-1)[/tex] et [tex]f(i1)[/tex].
La fonction f est croissante (énoncé) donc puisque [tex]i-1 \leqslant i[/tex] alors [tex]f(i-1) \leqslant f(i)[/tex] .
On peut donc écrire :
[tex]f(i-1) \leqslant \mathcal{A_i}\leqslant f(i)[/tex].

@+

lamimilune · 24-03-2014 12:10:24

Merci beaucoup pour l'aide apporté et également pour la patience de m'avoir réexpliqué les éléments que je ne comprenais pas.
Je pense maintenant être capable de refaire un exercice du même genre grâce à ces aides
Merci
a+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 23-03-2014 10:40:33

DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

#2 23-03-2014 11:28:15

Re : DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

#3 23-03-2014 12:31:20

Re : DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

#4 23-03-2014 13:50:51

Re : DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

#5 23-03-2014 16:41:22

Re : DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

#6 23-03-2014 20:01:23

Re : DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

#7 24-03-2014 09:29:21

Re : DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

#8 24-03-2014 12:10:24

Re : DM FONCTION DERIVEES POUR DEMAIN 8h

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