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LS

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Etude de fonctions

Bonjour
Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?

I) Soit g la fonction définie sur ]0;+ infini[ par : g(x)=x lnx -x +1 et C sa représentation graphique dans le repère (0;vec i, vec j).

1) Etudier les limites de g en 0 et en + infini.
2) Etudier les variations de g. En déduire le signe de g(x) en fonction de x.
3) On note C' la représentation graphique de la fonction logarithme népérien dans le repère (0;vec i, vec j).
Déterminer les points d'intersection des 2 courbes et leurs positions relatives.

II) Soit f la fonction définie sur ]0; + infini[ par f(x)=lnx/(x-1) si x différent de 1 et f(1)=1.

1) Montrer que f est continue en 1. Etudier les limites de f en + infini et 0.
2) Déterminer le sens de variations de f sur ]0;1[ et sur ]1; + infini[.
Dresser, alors, le tableau de variations de f.

III) 1) Quels sont les sens de variations et les limites des suites
(1+1/n) n€N* et (1-1/(n+1)) n€N*?

2) En déduire les sens de variations et les limites des suites (f(1+1/n)) et
(f(1-1/(n+1)).

3) On considère les suites u et v définies sur N* par
un=(1+1/n)^n et vn=(1+1/n)^n+1.

a) Montrer que pour tout n de N*:
ln un=f(1+1/n) et ln vn=f(1-1/(n+1)).
b) Montrer alors que u et v convergent vers e et sont adjacentes.

J'ai fait:
1) lim de g en 0= 1. (car limde xlnx en 0=0).
lim de g en + infini =+ infini.
2) g'(x)=ln x.
g(x) est positif sur ]0;+ infini[.

3) Je trouve sur ]0;1] C au-dessus de ln
sur[1;e] C au-dessous de ln
sur [e; + infini[ C au-dessus de ln.

Pourriez vous me dire si cela est juste et me donner quelques pistes pour la suite s'il vous plaît?

LS

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Re : Etude de fonctions

bonjour
pour le II) 1) je crois qu'il faut commencer par poser X=x-1.

galdinx

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Re : Etude de fonctions

Bonjour,

Parti I, si tes justifications sont bonnes, les résultats sont bons.

Parti II :
1- rappel : f est continue en a si et seulement si limite de f(x) lorsque x tend vers a par valeur supérieure et inférieure egale f(a) :

2- dérivée sur les 2 intervalles puis raccord en faisant attention a la valeur interdite.

Rappelle moi s'il y a quelque chose que tu ne comprends pas.

A++

LS

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Re : Etude de fonctions

Merci pour votre aide.

POur le II) 1) f est continue en 1 et f(1)=1 donc je devrais trouver que lim de x tend vers 1 de f(x)=1.
Mais je ne trouve pas ça.

Pour limite de x tend vers + infini, j'ai trouvé 0.
car f(x)=ln x/(x-1)=ln x/x  *   1/(1-1/x) et lim de x tend vers + infini de ln x/x =0.

Dernière modification par LS (24-01-2007 22:39:13)

LS

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Re : Etude de fonctions

II) 1) montrer que f est continue en 1 (c'est bon j'y suis arrivée).

Lim de tend vers + infini de f(x)=0 et
lim de x tend vers 0 de f(x)=+ infini.

2) f' est négative sur ]0; + infini[ et f est donc décroissante sur ]0; + infini[.

III) 1) je calcule u(n+1) - un=-1 / n(n+1).
Donc la suite est décroissante.

v(n+1) - vn=1/(n+1)(n+2).
Donc la suite est croissante.

Pourriez vous m'aider pour la suite s'il vous plaît???

Dernière modification par LS (25-01-2007 18:38:07)

galdinx

Modo gentil

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Re : Etude de fonctions

II. 1) Non il faut étudier la limite a gauche et a droite de x = 1 et vérifié que ca vaut f(1).

2) ok

III. 1) ok

2) tu dois avoir dans ton cour, le sens de varition de la composée de 2 fonctions monotones.
Si ce n'est pas le cas, réfléchis un petit peu : si la suite est croissante, ca veut dire qu'elle prend des valeurs de plus en plus grandes. si la fonction est décroissante, ca veut dire qu'elle prend des valeurs de plus en plus petites.
donc si on pose n augmente, vn augmente et donc que fait f(vn)??

Idem pour f(un).

3)a) alligner les calculs de maniere a égaliser les 2 membres

b) definition de suites adjacentes : 1 croissante, 1 decroissante et elle convergent toutes les 2 vers la meme limite

LS

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Re : Etude de fonctions

Merci beaucoup pour votre aide.

thomas

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Re : Etude de fonctions

bonjour
sa serré pour un resseignemen

yoshi

Modo Ferox

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Re : Etude de fonctions

Bonjour Thomas,

Tu es prié d'ouvrir une nouvelle discussion en cliquant sur Nouvelle discussion en haut et à droite de la page d'accueil de l'entraide...
De plus si tu ne dis pas ce que tu souhaites, comment veux-tu qu'on t'aide ?

@+