definition nombre irrationnel par une coupure de dedekind

jeanrek · 10-01-2014 11:13:54

Bonjour,

Je me réfère à l'article de Bibmath sur les "coupures de dedekind".Il y est défini (cas no2) une "coupure ouverte non triviale" où les ensembles A et B ne forment pas une partition, et où A n'a pas de plus grand élement, ni B de plus petit. Cela permet de définir un irrationnel (dit l'article) et l'exemple de racine de 2 est donné ( [tex] A=\{x \in\mathbb Q et x^2<2\}, B=\{x\in\mathbb Q et x^2>2\}[/tex]. Cela me convient a priori. Et je suppose que s'il n'y a pas partition, c'est parce qu'on a > et < stricts, sans "=' .Mais...

Mon interrogation est que, dans l'article Wikipedia sur la "coupure" comme dans d'autres sources, cette même formule ci-dessus est donnée avec, concernant B, x appartient à Q et [tex]x^2[/tex] supérieur ou égal à 2. Il est aussi précisé que A et B forment une partition ( A U B = Q). Pourquoi cette divergence et pourquoi le concept de coupure ouverte ou non, triviale ou non, n'est pas toujours repris?
De surcroit, et c'est ce qui me frappe d'abord, comment peut-on écrire x appartient à Q et x2> ou égal à 2? puisque dans le cas où x2=2, x n'est justement pas rationnel et ne peut donc appartenir à Q. Je ne comprends rien à cela, où y a t-il une subtilité de raisonnement que je ne perçois pas?

Question subsidiaire: on donne toujours comme exemple d'irrationnel par coupure, racine de 2. Pouvez-vous me donner un autre exemple, une définition par coupure de Pi par exemple (s'il y en a une spécifique)

Fred · 10-01-2014 12:57:14

Bonjour,

Les coupures de Dedekind, qui sont des couples de deux parties de [tex]\mathbb Q[/tex], permettent de définir tous les nombres réels. Il y a plusieurs façons de les présenter, celle de Bibm@th diffère un peu de celle de Wikipedia, mais donne la même définition.
L'avantage de la présentation de Bibm@th est, suivant la nature de la coupure, de déterminer si elle définit un nombre rationnel ou un nombre irrationnel. Celle de Wikipedia est plus concise.

Quand tu considères [tex]B=\{x\in\mathbb Q,\ x^2\geq 2\}[/tex], tu définis exactement le même ensemble que lorsque tu considères le même ensemble avec une inégalité stricte, puisque comme tu l'as dit [tex]\sqrt 2[/tex] n'est pas rationnel. Dans l'exemple de Wikipedia, l'ensemble [tex]B[/tex] n'admet pas de borne inférieure dans [tex]Q[/tex], et c'est ce qui définit [tex]\sqrt 2[/tex].

On ne présente en général pas un exemple de coupure pour définir [tex]\pi[/tex], car
1. comment définir simplement algébriquement [tex]\pi[/tex] juste à partir des rationnels? Pour [tex]\sqrt 2[/tex], c'est facile, c'est la racine positive de [tex]x^2=2[/tex].
2. comment démontrer que [tex]\pi[/tex] est irrationnel? C'est beaucoup plus difficile que [tex]\sqrt 2[/tex] !!!

Fred.

jeanrek · 11-01-2014 11:56:22

Ta réponse me convient tout à fait. En plus, entretemps, je suis tombé sur un livre de P.Dugac : " Dedekind et les fondts des maths" où justement Dedekind distingue bien comme vous entre coupure par un rationnel (qui est le plus petit, ou plus grand element, au choix, de B ou A) et coupure par un irrationnel ( et alors B et A n'ont pas de plus petit/plus grand element).

Thierry Fourtic · 29-08-2023 23:24:59

Bonsoir,

Quels sont les 8 premiers nombres de Dedekind ?

Merci,

Dernière modification par yoshi (30-08-2023 07:43:36)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 10-01-2014 11:13:54